在“變化”中拓展數(shù)學思維，在“過程”中感悟辯證思想
——“殘破鐘面上的數(shù)學”教學實踐

□李國娟

數(shù)學充滿辯證思想，加與減、乘與除、等與不等、正與負、正比例與反比例、圓與方、可能與確定等，既有區(qū)別又有聯(lián)系。本文結(jié)合“殘破鐘面上的數(shù)學”的教學，談?wù)剬B透“相互依存”“對立統(tǒng)一”“運動變化”“矛盾轉(zhuǎn)化”等辯證思想的一些思考。

一、探究時針、分針規(guī)律，體會“相互依存”“對立統(tǒng)一”

通過研究時針、分針的關(guān)系，幫助學生學會用時針的位置確定分針的位置。

1.演示從2∶00走向3∶00。

撥動鐘面上的分針，感受“時針轉(zhuǎn)1大格分針轉(zhuǎn)1圈”的運動規(guī)律。它們運動的時間是相等的，因而1小時=60分。在探究時針與分針轉(zhuǎn)動規(guī)律的過程中，學生懂得應(yīng)珍惜時間，熱愛生活，感恩生命……

2.演示從3∶00走向3∶30。

撥動時針，觀察、比較、分析并歸納：時針走1大格，分針走60小格是1小時，也可以說時針走5小格，分針走60小格是1小時；時針走2小格半，分針走30小格是半小時……一方面為“小格”轉(zhuǎn)化成“分”埋下伏筆，另一方面讓學生感受到“時針與分針”的聯(lián)動，是“相互依存”的“對立統(tǒng)一”。

師：（鐘面出示3:30）你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：時針指在3和4的中間，分針指向6。

師：從3:00到3:30，時針和分針發(fā)生了怎么樣的變化？

生：分針走了半圈。也就是分針走了6大格。師：就是多少小格？

生：分針走了30小格。

師：誰能完整地來說一說從3:00到3:30時針和分針是怎么走的？

生：時針走了2小格半，分針走了30小格。

生：時針走2小格半，分針要走30小格；也就是時針走2小格半與分針要走30小格經(jīng)過的時間相等……

師：太好了，你們發(fā)現(xiàn)了“時針與分針”的依存關(guān)系。

二、研究“半殘破”鐘面，經(jīng)歷“運動變化”的體驗

小故事引入：小明為了很好地把控時間、提高效率，特意將“鐘”掛到墻面上，但一不小心，“鐘”面摔破了……老師把這個“摔破的鐘面”作為素材，供大家“研學”。

師：要確定分針的位置，你認為應(yīng)該在哪里？仔細觀察右邊的鐘面，四人小組討論，可以畫一畫，算一算。

（四人小組合作研究）

師：哪個小組先來發(fā)表研究成果？

生：我們認為分針指向12。

生：我們認為分針指向4的地方。

生：我們認為分針指向3的位置。

生：我們認為分針指向2的位置。

生：我們認為分針應(yīng)該指向數(shù)字2超過2小格的地方。也就是說分針應(yīng)該是走12小格。因為時針走1小格分針走（60除以5）12小格。

師：從剛才這組同學的分析中，你覺得要確定分針的位置什么是至關(guān)重要的？

生：時針的位置。

師：是呀，時針走1小格分針走12小格，如果時針走了2小格，分針走幾小格？時針走3小格呢？時針走4小格呢？

面對10時多一點的“半殘破”的鐘面，學生經(jīng)歷了深度學習，感受了“變化的規(guī)律性”，經(jīng)歷了“批判性思考”。

從半殘破的鐘面可以判斷鐘面上表示的是10時多一點，那到底多多少呢？分針該指向哪里？學生憑經(jīng)驗猜測，判斷不超過30分，因為時針指向10時過一點點，分針不可能指向刻度“6”即30分的地方。倘若分針指向“6”，時針該是在10時超2小格半的位置，顯然時針不在這個位置。學生經(jīng)過“時針與分針”走動的格子數(shù)的統(tǒng)籌考慮，逐漸尋求到了正確答案。

而后的“如果時針走2小格，分針走24小格即24分，鐘面上的指示就為10:24；時針走3小格，分針走36小格即36分，鐘面上的指示就為10:36；時針走4小格，分針走48小格即48分，鐘面上的指示就為10:48……”將課堂帶入了動態(tài)狀況，使學生感受到“時針與分針”運動變化的樣態(tài)，滲透了世間萬物是相互聯(lián)系的觀點。

三、探究“全殘破”鐘面，滲透“矛盾轉(zhuǎn)化”的觀點

下圖是一個“全殘破的鐘面”，只有兩個數(shù)字與時針，為了確定分針的指向位置，課堂上學生開始了有序思考。

1.7時多8時不到，由于沒有小格，不知7時超幾小格，時針的位置確定不下來，根據(jù)剛才半殘破鐘面上的學習經(jīng)驗，無法確定“分針”的位置。

2.猜想分針指向“4、5、6、7、8、9、10”的位置，但無依據(jù)，因此無法確定“分針”的位置，從而產(chǎn)生需要“增加信息”的想法。

3.矛盾轉(zhuǎn)化。增加“分鐘數(shù)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)”的信息后，學生的思考方向快速轉(zhuǎn)移到找4與6的公倍數(shù)上，于是從小到大依次排列為12、24、36、48、60，學生發(fā)現(xiàn)“60”不可能，因為時針指向不到整點“8”；“12”也不合適，因為時針指向“7”與“8”的過半位置。在這個有序排列的過程中，學生的思維是多元的，既要有序思考，又要考慮4和6的公倍數(shù)，還要考慮是否與題目相符（也就是觀察時針的位置），促進了思維的發(fā)展。

4.有序否定。通過剛才的有序思考，分針指向的可能位置是24、36、48；這時僅憑觀察難以解決問題，需在腦中將7與8之間的一小段圓弧平均分成5份，再與分針指向位置結(jié)合起來考慮；如果“分針”指向“24”，時針應(yīng)該是7時過2小格，“24”排除了；如果“分針”指向“48”，時針是7時過4小格，“48”也排除了……最后剩下“36”，分針指向“36”，時針指向7時超3小格，也就是全殘破鐘面上的時間是7：36。

殘破的鐘面，帶給學生的思考卻是完整的。課堂上可感受到學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、處理問題和解決問題能力的提升，促進了猜測、推理、有序思考等核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。其間也滲透了“事物相互依存，運動變化、矛盾轉(zhuǎn)化”等辯證思想。