例析二項(xiàng)式定理中經(jīng)典問題的解題策略

■江蘇省寶應(yīng)中學(xué) 殷曉輝

二項(xiàng)式定理是高考和各級各類模擬考試中的一個?？純?nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，多為容易題和中檔題，通過分析近幾年的考題，可以發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理考查的題型比較穩(wěn)定，主要考查以下幾點(diǎn)：（1）考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，包括求展開式的特定項(xiàng)、有理項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)等；（2）考查二項(xiàng)式系數(shù)（或系數(shù)）的最值、和（部分系數(shù)和）等；（3）考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，包括求近似值、整除與余數(shù)等。本文通過例題分析二項(xiàng)式定理相關(guān)經(jīng)典題型的解題策略，與讀者分享交流。

一、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式

1.形如（a+b）n 的展開式問題

例1若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：由二項(xiàng)式定理知且k∈N），令當(dāng)k=4時，n取到最小值為5。故選C。

評注：利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求展開式中的特定項(xiàng)（或有理項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)），根據(jù)要求列出變量的指數(shù)所滿足的關(guān)系式（方程或不等式），其中常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)。求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和k的隱含條件，即n，k均為非負(fù)整數(shù)，且k≤n。

2.形如（a+b）n±（c+d）m 的展 開式問題

例 2在的展開式中，含x的項(xiàng)的系數(shù)為____。

解析：在且n∈N*）的展開式中且k∈N），令則k=n，于是的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為故所求展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為=54。

評注：對于多個二項(xiàng)式相加（或減）的多項(xiàng)式的展開式求特定項(xiàng)（或有理項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)），通常的處理策略是逐個二項(xiàng)式分析，最后對滿足要求的項(xiàng)合并計算即可。

3.形如（a+b+c）n 的展開式問題

例 3在（x2+x+y）5的展開式中，含x5y2的系數(shù)為____。

解析：（x2+x+y）5的展開式中Tk+1=且k∈N），令k=2，則的展開式中令6-r=5，則r=1，于是含x5y2的系數(shù)為。

評注：對于求解形如（a+b+c）n的三項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)（或有理項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)），首先看a+b+c能否化為完全平方式，若能，則轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題，容易處理；若不能，我們可以把三項(xiàng)代數(shù)式變形為兩項(xiàng)代數(shù)式，如變?yōu)閇（a+b）+c]n的形式，求出其展開式通項(xiàng)再利用二項(xiàng)式定理展開（a+b）n-k，通項(xiàng)為Tr+1=且r∈N），計算，根據(jù)題目要求，求出符合題意的k，r后即可解決問題。

二、二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)

（ax+by）n（a，b為常數(shù)）的展開式中（k≤n且k∈N），我們稱為第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，為第k+1項(xiàng)的系數(shù)。

1.二項(xiàng)式展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)問題

例 4在二項(xiàng)式的展開式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為____。

解析：由題知n=6，二項(xiàng)式的展開式中x6-2k（k≤6且k∈N），令6-2k=0，則k=3，于是常數(shù)項(xiàng)為（-2）3=-160。

評注：任意一個二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和都為2n，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和均為2n-1。若n為偶數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)有且僅有一項(xiàng)為；若n為奇數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)有兩項(xiàng)為。

2.二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)最值問題

例 5已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)為等差數(shù)列。

（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

解析：的展開式中Tk+1=且k∈N），前三項(xiàng)的系數(shù)依次為且n≥2，解得n=8。

（1）當(dāng)k=4時，取得最大值，故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為。

（2）設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則N，所以k=2或3，于是系數(shù)最大的項(xiàng)為。

評注：若二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，且系數(shù)最大（?。╉?xiàng)不是首、末項(xiàng)，可以利用求出系數(shù)最大（?。╉?xiàng)對應(yīng)的k值；否則，就只能將系數(shù)看成數(shù)列，判斷系數(shù)的單調(diào)性后求出系數(shù)最大（小）項(xiàng)。

三、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

1.求近似值

例 6求0.9986的近似值，使誤差小于0.001。

2.判斷整除關(guān)系（或求余數(shù)）

例 7（1）求證：對任意正整數(shù)n，33n-26n-1都可以被676整除。

評注：求余數(shù)或證明整除，先依據(jù)除數(shù)湊配，然后利用二項(xiàng)式定理展開，最后證明、計算。關(guān)鍵是對被除式進(jìn)行合理變形，把它寫成恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式形式，使其展開后的某些項(xiàng)都含有除式的因式，進(jìn)而求余數(shù)或證明整除。