概率統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題歸類剖析

■安徽省霍邱縣第一中學(xué) 魏兆祥

■安徽省霍邱縣第一中學(xué) 余其權(quán)

概率統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容由于易混點(diǎn)多，重復(fù)或遺漏的情況不易察覺等，同學(xué)們感覺易做但易錯(cuò)。下面我們將同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)的錯(cuò)誤列舉出來，并加以辨別分析，以期對(duì)大家的學(xué)習(xí)能提供一些幫助。

一、忘記回歸直線過樣本中心點(diǎn)致誤

例 1某單位為了了解用電量（度）與當(dāng)天平均氣溫（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的當(dāng)天平均氣溫與用電量（如表1）。由數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法得到線性回歸方程?y=-2x+a，則a=____。

表1

錯(cuò)解：將點(diǎn)（18，25）代入?y=-2x+a，得25=-2×18+a，解得a=61。

剖析：不理解回歸直線過樣本中心點(diǎn)，隨便代入數(shù)據(jù)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。求出樣本的中心點(diǎn)，代入回歸方程，即可求解。

正解：因?yàn)?，故樣本中心點(diǎn)為（10，40）。因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，代入回歸方程得40=-2×10+a，解得a=60。

二、混淆“有序”與“無序”致誤

例 2甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10道不同的題目，其中選擇題有6道，判斷題有4道，甲、乙兩人依次各抽取一題。求：

（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率。

（2）甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題的概率。

錯(cuò)解：（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)，又甲、乙兩人依次抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為。

（2）設(shè)甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題為事件A，則甲、乙兩人都未抽到選擇題為事件，由對(duì)立事件的計(jì)算公式得P（A）=1-。

剖析：上述解法錯(cuò)把甲、乙依次抽取一題理解為甲、乙同時(shí)抽取一題，前者與順序有關(guān)，是排列問題；而后者與順序無關(guān)，是組合問題，兩者的本質(zhì)是不同的。

正解：基本事件總數(shù)應(yīng)為=10×9=90（個(gè)）。

（2）設(shè)甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題為事件A，則甲、乙兩人都未抽到選擇題為事件，由對(duì)立事件的計(jì)算公式得P（A）=1-。

三、混淆“獨(dú)立事件”與“互斥事件”致誤

例 3甲、乙、丙三名射手擊中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.8、0.85。若他們?nèi)朔謩e向目標(biāo)發(fā)射一槍，試求三彈都脫靶的概率。

錯(cuò)解：設(shè)甲發(fā)射一槍擊中目標(biāo)為事件A，乙發(fā)射一槍擊中目標(biāo)為事件B，丙發(fā)射一槍擊中目標(biāo)為事件C，則甲、乙、丙三人分別向目標(biāo)發(fā)射一槍擊中目標(biāo)為事件ABC，從而甲、乙、丙三人分別向目標(biāo)發(fā)射一槍擊中目標(biāo)的概率為P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.7×0.8×0.85=0.476，所以三人分別向目標(biāo)發(fā)射一槍三彈都脫靶的概率為1-P（ABC）=1-1.476=0.524。

剖析：上述錯(cuò)誤在于將相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，認(rèn)為“三彈都未中”的對(duì)立事件是“三彈都中”，而事實(shí)上，這兩者不是對(duì)立事件。

正解：設(shè)甲、乙、丙發(fā)射一槍擊中目標(biāo)分別為事件A、B、C，則甲、乙、丙脫靶的概率分別為所以三彈都脫靶的概率為0.3×0.2×0.15=0.09。

四、混淆“隨機(jī)事件”與“互斥事件”致誤

圖1

例 4如圖1，用a、b、c三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)N。當(dāng)元件a正常工作且元件b、c至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N正常工作。已知元件a、b、c正常工作的概率依次為0.80、0.90、0.90。分別求系統(tǒng)N正常工作的概率P。

錯(cuò)解：設(shè)元件a、b、c正常工作為事件A、B、C，則系統(tǒng)正常工作的概率為P=P[A·（B+C）]=P（A）·P（B+C）=P（A）·[P（B）+P（C）]=0.8×（0.9+0.9）=1.44。

剖析：對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件A、B，有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B），特別地，當(dāng)A、B互斥時(shí)，有P（A+B）=P（A）+P（B）。對(duì)于上述解法產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要是B、C不是互斥事件，所以公式P（B+C）=P（B）+P（C）不成立。

正解：系統(tǒng)正常工作的概率為P=P[A·（B+C）]=P（A）·P（B+C）=P（A）·[P（B）+P（C）-P（B）·P（C）]=0.8×（0.9+0.9-0.9×0.9）=0.792。

五、混淆“幾何概型”與“古典概型”致誤

例 5心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)，視覺和空間能力與訓(xùn)練時(shí)間有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，進(jìn)行了對(duì)比試驗(yàn)，經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間為5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間為6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率。

錯(cuò)解：設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”，由題意知，甲完成該題所用的時(shí)間可以是5，6，7分鐘，共3種情況，乙可以是6，7，8分鐘，共3種情況，所以共有3×3=9（個(gè)）基本時(shí)間。其中甲用7分鐘，乙用6分鐘時(shí)，事件A發(fā)生，所以。

剖析：誤認(rèn)為時(shí)間是有離散度的，將其看成了一個(gè)古典概型。實(shí)際上時(shí)間是一個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量，在求解時(shí)應(yīng)建立幾何概率模型。

正解：（1）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)槿鐖D2所示。

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”，則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y。

圖2

六、混淆“超幾何分布”與“二項(xiàng)分布”致誤

圖3

例 6為了解今年某校高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖，如圖3所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1:2:3，其中第二組的頻數(shù)為12。

（1）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；

（2）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)（人數(shù)很多）中任選三人，設(shè)X表示體重超過60公斤的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

錯(cuò)解：由題知，體重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X所有可能的取值為0，1，2，3。

剖析：對(duì)隨機(jī)變量的含義不清楚，不能區(qū)分超幾何分布與二項(xiàng)分布；對(duì)于何時(shí)可以用樣本的頻率代替總體的概率不清楚。注意：（1）超幾何分布的本質(zhì)是“不放回抽樣”，是一種古典概型，而二項(xiàng)分布的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)是“獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)”，強(qiáng)調(diào)每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同，可認(rèn)為是“有放回抽樣”。本題中，“若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)（人數(shù)很多）中任選三人”，特別強(qiáng)調(diào)人數(shù)很多，意味著實(shí)驗(yàn)可以看作是“有放回抽樣”，所以是一個(gè)二項(xiàng)分布。（2）本題明確要求“以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)”，其意思是用頻率來代替概率，即16個(gè)人中每個(gè)人的體重超過60公斤的概率為，也是說，全省每個(gè)學(xué)生的體重超過60公斤的概率為。

正解：（1）設(shè)報(bào)考飛行員的人數(shù)為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，由條件可得解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375。又因?yàn)楣蕁=48。

（2）由（1）可得，一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過60公斤的概率為p=p3+（0.037+0.013）故X服從二項(xiàng)分布，則P（X=k）。

所以隨機(jī)變量X的分布列為表2：

表2