常用邏輯用語易錯(cuò)問題辨析

■江蘇省泗洪中學(xué) 陳亞娟

■江蘇省泗洪中學(xué) 陳亞娟

常用邏輯用語是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的工具，但由于其本身也具有非常抽象的邏輯性，大家在學(xué)習(xí)的過程中，容易混淆概念或者對(duì)相關(guān)定義理解不深刻，從而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。本文就同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中常見的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析總結(jié)。

一、書寫命題的否定時(shí)的常見錯(cuò)誤

1.否定詞使用不正確導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 1已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2-x-2＜0，寫出?p。

錯(cuò)解1：?p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2-x-2≥0。

錯(cuò)解2：?p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，使得x2-x-2＜0。

錯(cuò)解3：?p：?x?R，使得x2-x-2≥0。

剖析：該命題是特稱命題，其否定應(yīng)該是全稱命題，即它的否定?p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，使得x2-x-2≥0。錯(cuò)解1仍然是特稱命題，只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，沒有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定；錯(cuò)解2只對(duì)量詞進(jìn)行了否定，沒有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定；錯(cuò)解3對(duì)命題的適用范圍也進(jìn)行了否定。

警示：對(duì)含有量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，一要牢記全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，注意不能只否定結(jié)論，而忘記了對(duì)量詞的否定，也不能只否定量詞，而忘記了對(duì)結(jié)論的否定；二要牢記命題的否定與原命題的真假性相反，可以以此來檢驗(yàn)命題的否定是否正確。

2.忽略省略量詞的全稱命題導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 2寫出下列命題的否定：

（1）可以被5整除的數(shù)，末位是0；

（2）能被3整除的數(shù)，也能被4整除；

（3）平行四邊形是矩形；

（4）若x＞0，則x＞1。

錯(cuò)解：（1）可以被5整除的數(shù)，末位不是0；

（2）能被3整除的數(shù)，不能被4整除；

（3）平行四邊形不是矩形；

（4）若x＞0，則x≤1。

剖析：（1）可以被5整除的數(shù)，末位有的是0，有的不是0，原命題和它的否定都是假命題，這顯然是錯(cuò)誤的。它是省略了全稱量詞“任何一個(gè)”的全稱命題，命題的否定應(yīng)該為：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是0。同理（2）（3）也是省略了全稱量詞“所有”的全稱命題，命題的否定分別為：存在一個(gè)能被3整除的數(shù)，不能被4整除；有的平行四邊形不是矩形。（4）中“若x＞0，則x＞1”與“若x＞0，則x≤1”也都是假命題，也不能互為否定。實(shí)際上，這是一個(gè)“若p，則q”型的命題，一般不書寫否定，如果書寫它的否定要先寫成全稱命題，即q：?x∈（0，+∞），x＞1，其否定?q：?x∈（0，+∞），x≤1。

警示：我們要書寫一個(gè)命題的否定首先要明確這個(gè)命題的結(jié)構(gòu)，在高中教材中，常見的命題按結(jié)構(gòu)可以分為以下幾類：①單稱命題（例如2是偶數(shù)）；②若p，則q型；③復(fù)合命題（含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”）；④全稱命題；⑤特稱命題。由于全稱量詞往往省略不寫，在書寫這類命題的否定時(shí)，必須先找出其省略的全稱量詞，寫成“?x∈M，p（x）”的形式，其否定應(yīng)該是“?x∈M，?p（x）”，不能只否定結(jié)論，不否定量詞，寫出否定后可以結(jié)合它們的真假性（一真一假）進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于“若p，則q”型的命題，我們?cè)谥袑W(xué)階段一般只書寫它的逆命題、否命題、逆否命題，如果要書寫它的否定，則需要把它改寫成全稱命題，然后再書寫它的否定。

3.忽略條件的隱含信息導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 3已知試寫出p，q的否定?p，?q。

錯(cuò)解：p的否定?p為；

q的否定?q為lgx≤0。

剖析：一個(gè)命題的否定是對(duì)它的全盤否定，p等價(jià)于x＜0，它的全盤否定?p等價(jià)于x≥0，而等價(jià)于x＞0，并不是p的否定。同理，q等價(jià)于x＞1，它的全盤否定?q為x≤1，而lgx≤0等價(jià)于0＜x≤1，并不是q的否定。

警示：在書寫一個(gè)命題的否定時(shí)，應(yīng)該先將原命題化簡(jiǎn)，再根據(jù)化簡(jiǎn)后的等價(jià)形式書寫否定就不容易出錯(cuò)了。

二、命題真假判斷中的常見錯(cuò)誤

1.沒有理解全稱命題與特稱命題的本質(zhì)含義導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 4已知命題p：?x∈R，使得x2-mx+1≤0，命題q：?x∈R，使得x2+2x+m＞0。若命題p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯(cuò)解：當(dāng)p是真命題時(shí)，則有Δ=m2-4≤0，解得-2≤m≤2；當(dāng)q是真命題時(shí)，則有Δ=4-4m＜0，解得m＞1。由于p∧q為真命題，則p，q都是真命題，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，2]。

剖析：對(duì)于命題p，二次函數(shù)x2-mx+1的圖像開口向上，若存在實(shí)數(shù)x使得x2-mx+1≤0，即x2-mx+1≤0有解，則拋物線y=x2-mx+1應(yīng)該與x軸有交點(diǎn)，即Δ=m2-4≥0，解得m≤-2或m≥2。當(dāng)q是真命題時(shí)，則有Δ=4-4m＜0，即m＞1。綜上所述，m的取值范圍是[2，+∞）。

警示：我們要深刻理解全稱命題和特稱命題的本質(zhì)含義，特別是全稱命題中元素的任意性和特稱命題中元素的存在性。全稱命題和特稱命題求參數(shù)取值范圍的問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)為載體進(jìn)行考查，解決此類問題，可構(gòu)造函數(shù)或利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解，也可以用分離參數(shù)法，但要注意是否需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。

2.復(fù)合命題的真假性判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤

例 5設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x3-ax-1在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)y=ln（x2+ax+a）的值域是R。如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍。

錯(cuò)解：p為真命題?f′（x）=3x2-a≤0在[-1，1]上恒成立?a≥3x2在[-1，1]上恒成立?a≥3。q為真命題?Δ=a2-4a≥0恒成立?a≤0或a≥4。

由題意命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p真q假，則所以3≤a＜4。

綜上所述，a的取值范圍是[3，4）。

剖析：若p∨q為真命題，則p，q中至少有一個(gè)真命題，即“一真則真”，p∧q為假命題，則p，q中至少有一個(gè)假命題，即“一假則假”。于是上述問題應(yīng)該轉(zhuǎn)化為p與q一真一假，即p真q假或p假q真。

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0]∪[3，4）。

警示：對(duì)于由邏輯連接詞“或、且、非”組成的復(fù)合命題，一定要堅(jiān)持真假性的判斷依據(jù)，即p∨q“一真則真”，p∧q“一假則假”，?p“一真一假”。

三、充分條件與必要條件中的常見錯(cuò)誤

1.忽略分類討論導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 6已知p：?x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立，q：0＜a＜4，則p是q的（ ）。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

錯(cuò)解：對(duì)于p，a＞0，且a2-4a＜0，即p：0＜a＜4，從而p?q，故p是q的充要條件。

剖析：題目中并沒有說明該函數(shù)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況。當(dāng)a=0時(shí)，不等式變?yōu)?＞0，符合題意，故p：0≤a＜4，從而p?/q，q?p，故p是q的必要不充分條件。

警示：忽略對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論是學(xué)習(xí)過程中常犯的錯(cuò)誤，要引起高度重視。

2.忽略空集導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 7已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，記p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯(cuò)解：由題意，A={x|-2≤x≤5}。由p是q的必要條件得B?A，從而解得-3≤m≤3。

剖析：p是q的必要條件，即q?p，則p對(duì)應(yīng)的集合“大”，q對(duì)應(yīng)的集合“小”，B?A。

錯(cuò)解中忽略了B=?的情形，此時(shí)，m+1＞2m-1，解得m＜2。

當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m-1，得m≥2，結(jié)合錯(cuò)解的解答得到2≤m≤3。

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤3。

警示：利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍，要先根據(jù)集合間的包含關(guān)系與充分條件、必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組求解。通俗地講，“大范圍”是“小范圍”的必要條件，“小范圍”是“大范圍”的充分條件。切記討論包含關(guān)系時(shí)不要忘記討論空集，即當(dāng)B?A時(shí)，應(yīng)分B=?和B≠?兩種情形進(jìn)行討論。

3.忘記分母不能為零導(dǎo)致錯(cuò)誤

例 8已知p：x2+x-6=0，q：mx+1=0，且p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的值。

錯(cuò)解：p：x=2或則p，q對(duì)應(yīng)的集合分別為M={2，-3}，由于p是q的必要不充分條件，故N是M的真子集，從而有或-3，所以。

剖析：錯(cuò)解中對(duì)q進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，漏掉了m=0時(shí)的情況，當(dāng)m=0時(shí)，mx+1=0無解，N=?，滿足題意；當(dāng)m≠0時(shí)，才有錯(cuò)解中討論的結(jié)果，故m=0或。

警示：在解方程或?qū)Ρ磉_(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，一定要注意是否為等價(jià)變形，變形之后定義域是否擴(kuò)大或縮小等問題，例如，不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)時(shí)要討論這個(gè)數(shù)的符號(hào)，又如，解方程lgx=lg（x2+2x-2）時(shí)，脫去對(duì)數(shù)符號(hào)后得到x=x2+2x-2，還要注意真數(shù)大于零，否則會(huì)導(dǎo)致增根。