概率統(tǒng)計(jì)熱點(diǎn)題型探究

■江蘇省洪澤中學(xué) 劉義才

熱點(diǎn)一、如何應(yīng)用頻率分布直方圖解題

落實(shí)頻率分布直方圖的性質(zhì)是解答這類問題的關(guān)鍵。頻率分布直方圖有如下性質(zhì)：

（1）圖中每個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，即小長方形的面積=組距×頻率。

（2）在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1。

（4）頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之比，各矩形的高度之比也等于頻率之比。

圖1

例 1在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作評(píng)比，作品上交時(shí)間為5月1日至30日。評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如圖1所示）。已知從左到右各長方形的高的比為2:3:4:6:4:1，第三組的頻數(shù)為12。請(qǐng)解答下列問題：

（1）本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比？

（2）哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？

（3）經(jīng)過評(píng)比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng)，這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高？

解析：（1）依題意知第三組的頻率為。

（2）由頻率分布直方圖知第四組上交的作品數(shù)量最多。

點(diǎn)評(píng)：本題解答時(shí)可先由第三小組入手，利用各長方形高的比即面積比，得到各小組頻率的比，從而解決問題。

熱點(diǎn)二、古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合

有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述，還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決。

例 2某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1，2，3，4，5?，F(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表，如表1：

表1

（1）若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；

（2）在（1）的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2，現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率。

解析：（1）抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，所以等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，所以由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，所以a=0.35-b-c=0.1。

（2）從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，所有可能情況為{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，共10個(gè)基本事件。設(shè)事件A表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，其等級(jí)系數(shù)相等”，則A包含{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4個(gè)基本事件。故所求的概率。

點(diǎn)評(píng)：該題考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、必然與或然思想。

熱點(diǎn)三、條件概率

如果事件A發(fā)生與否，會(huì)影響到事件B的發(fā)生，顯然知道了事件A的發(fā)生，研究事件B時(shí)，基本事件空間發(fā)生變化，從而事件B發(fā)生的概率也相應(yīng)地發(fā)生變化，這就是條件概率要研究的問題。求條件概率時(shí)一般應(yīng)用公式求解，其推導(dǎo)如下：

在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生，等價(jià)于事件A和事件B同時(shí)發(fā)生，即AB發(fā)生。對(duì)于古典概型，由于組成事件A的各個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等，因此其條件概率為。

例 3設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任意取出2件，那么在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解法一：設(shè)事件A為“在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格品”，事件B為“另一件產(chǎn)品也是不合格品”，則。

解法二：直接利用公式進(jìn)行計(jì)算。在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格品的取法有（種），兩件產(chǎn)品均為不合格品的取法有m=（種），所以。

點(diǎn)評(píng)：由題設(shè)條件可獲取以下主要信息：①已知產(chǎn)品的數(shù)量及不合格品的件數(shù)。②任取2件產(chǎn)品中有一件為不合格品。解答本題可先設(shè)出兩個(gè)事件分別為A，B，再求概率P（B|A）。

熱點(diǎn)四、利用二項(xiàng)分布求概率

解此類題首先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布。一般地，如果n個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn)具備相同的條件，在這相同的條件下只有兩個(gè)結(jié)果且P（A）相同，那么即可建立二項(xiàng)分布的概率模型。其次，計(jì)算P（X=最后，根據(jù)每次試驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，求出P（X≥k）的概率。

例 4有10臺(tái)都為7.5kW的機(jī)床，如果每臺(tái)機(jī)床的使用情況是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)機(jī)床平均每小時(shí)開動(dòng)12min，問：全部機(jī)床用電超過48kW的可能性有多大？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

解析：由于每臺(tái)機(jī)床正常工作的概率為=0.2，而且每臺(tái)機(jī)床有“工作”與“不工作”兩種情況，故某一時(shí)刻正常工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布。設(shè)X為某一時(shí)刻正常工作的機(jī)床的臺(tái)數(shù)，則0.2k·0.810-k（k=0，1，2，…，10），根據(jù)題意，48kW可供6臺(tái)機(jī)床同時(shí)工作，用電超過48kW，即意味著有7臺(tái)或7臺(tái)以上的機(jī)床在工作，這一事件的概率為P（X≥7）=P（X=7）+P（X=8）+P（X=9）+P（X=10）=。

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是明確某一時(shí)刻正常工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B（10，0.2）。