概率統(tǒng)計(jì)命題新動(dòng)向

■四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 余 強(qiáng)

高考對概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查，往往以實(shí)際應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，這既是這類問題的特點(diǎn)，也符合高考發(fā)展的方向。近兩年高考命題已從“知識立意”“能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”發(fā)生轉(zhuǎn)變，側(cè)重考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及能力。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科技不斷創(chuàng)新，特別是當(dāng)下人工智能化、數(shù)據(jù)的分析與處理等，都與概率統(tǒng)計(jì)息息相關(guān)。概率為人工智能提供隨機(jī)性，為預(yù)測提供基礎(chǔ)；而統(tǒng)計(jì)則對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與分析，讓結(jié)果更好地滿足我們的要求，更具有普適性和一般性，以便于我們的應(yīng)用。概率統(tǒng)計(jì)大題往往以生活實(shí)際問題為背景，例如，產(chǎn)品的檢驗(yàn)檢測問題，經(jīng)濟(jì)效益的決策問題等，對考生的閱讀理解、推理分析、數(shù)據(jù)運(yùn)算等能力要求較高。命題者的命題意圖往往是希望同學(xué)們可以從解題過程中認(rèn)識到統(tǒng)計(jì)與概率的知識在生產(chǎn)與生活中所起的作用。

動(dòng)向一、解答題難度動(dòng)態(tài)變化

以概率與統(tǒng)計(jì)為背景的解答題越來越重要，已成為新高考命題的熱點(diǎn)，甚至可能成為高考的壓軸題。近幾年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)解答題具有以能力為立意、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，2018年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)把概率統(tǒng)計(jì)大題放到了第20題的位置，2019年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)把概率統(tǒng)計(jì)大題放到了第21題的位置，可見命題人對概率統(tǒng)計(jì)考查要求的提高。2020年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)把概率統(tǒng)計(jì)大題放到了第19題的位置，難度相對降低，回歸考查基礎(chǔ)知識。

例 1（2020年高考全國Ⅰ卷理）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束。經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空。設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為。

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率。

解析：（1）記事件M為甲連勝四場，則。

（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為P′=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為。

（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸；記事件M為甲贏，事件N為丙贏，則甲贏的基本事件包括BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，所以甲贏的概率為。

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為P（N）=1-2×。

評注：獨(dú)立事件的概率在近幾年全國高考中出現(xiàn)頻率較高，2019年全國Ⅱ卷的第19題也進(jìn)行了考查，值得關(guān)注。本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)閱讀能力和計(jì)算能力。

動(dòng)向二、加大對數(shù)學(xué)建模的考查

通過建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題是高考要求的重要內(nèi)容。特別是伴隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，人們常常需要對網(wǎng)絡(luò)文本、聲音、圖像等大量信息進(jìn)行數(shù)字化處理，使數(shù)學(xué)模型的研究領(lǐng)域與應(yīng)用領(lǐng)域得到極大拓展，特別是隨著統(tǒng)計(jì)與概率知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中內(nèi)容的增加，為同學(xué)們的數(shù)學(xué)建模提供了知識儲(chǔ)備和解題工具。在對其考查時(shí)可以從模型建立、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷确矫嬖O(shè)置問題。在對數(shù)學(xué)建?？疾闀r(shí)，更為注重根據(jù)題干中的精確數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)知識、思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，淡化對數(shù)據(jù)的分析和處理。因此，回歸直線模型的應(yīng)用在全國卷中一直占據(jù)重要地位。

例 2（2020年高考全國Ⅰ卷理）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，20）得到圖1所示的散點(diǎn)圖：

圖1

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析：由散點(diǎn)圖可知，在10℃至40℃之間，發(fā)芽率y和溫度x所對應(yīng)的點(diǎn)（x，y）在一段對數(shù)函數(shù)的曲線附近，結(jié)合選項(xiàng)可知，y=a+blnx可作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型。

評注：這是2020年全國Ⅰ卷的第5題，雖然難度不大，但是這是回歸分析數(shù)學(xué)模型首次出現(xiàn)在全國高考卷的選擇題中。對于非線性回歸問題來說，雖然課本上有具體的例題，但考查的較少，所以在學(xué)習(xí)中很多同學(xué)并不是很重視。本題考查回歸方程，考查同學(xué)們的讀圖視圖能力和數(shù)學(xué)建模能力，是源于課本的試題類型，因此要引起關(guān)注。

動(dòng)向三、關(guān)注抽樣與數(shù)字特征

數(shù)量關(guān)系的提煉是在同學(xué)們對試題表征分析后，對問題進(jìn)行分析、加工提煉的過程。在這一過程中我們選取的理論依據(jù)直接決定了問題解決的順利與否。因此，在對提煉數(shù)量關(guān)系進(jìn)行考查時(shí)，要挖掘題目內(nèi)涵，選取適當(dāng)?shù)姆椒ú呗?、思維路徑等。統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征在考查中一般同時(shí)出現(xiàn)在一道試題中，這是因?yàn)閮蓚€(gè)知識相輔相成，很難分開，考查的常見形式是根據(jù)給出的莖葉圖、頻率分布表、頻率分布直方圖、列聯(lián)表等統(tǒng)計(jì)圖表，計(jì)算數(shù)字的數(shù)據(jù)特征——平均數(shù)、中位數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差等。這是高考命題的熱點(diǎn)。

例 3（2020年高考全國Ⅱ卷理）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到表1（單位：天）：

表1

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率。

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）。

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成表2所示的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)。

表2

表3

解析：（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為0.43；等級為2的概率為等級為3的概率為等級為4的概率為。

（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為。

（3）2×2列聯(lián)表如表4所示：

表4

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)。

評注：本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力。2020年新高考海南卷和山東卷出現(xiàn)了類似的考題，反映出全國高考卷對統(tǒng)計(jì)案例的青睞，需要同學(xué)們引起重視。

高考全國卷對概率的考查不只停留在對概率計(jì)算的層面，我們的出發(fā)點(diǎn)和歸宿都是解決問題，能夠利用概率的計(jì)算結(jié)果，為我們的決策提供關(guān)鍵性的依據(jù)。高考全國卷對概率的考查重點(diǎn)一般放在以下幾個(gè)方面：

（1）能根據(jù)要解決的問題寫出樣本空間和基本事件或者隨機(jī)變量。

（2）能根據(jù)實(shí)際問題正確地建立概率模型。要求理解古典概型和幾何概型各自的特點(diǎn)，能在實(shí)際問題中加以應(yīng)用，重點(diǎn)考查對兩種概率模型的理解和應(yīng)用，而不是公式的簡單套用。

（3）分析事件的結(jié)構(gòu)或者隨機(jī)變量的分布，進(jìn)行計(jì)算或推證。重點(diǎn)考查互斥事件的概率、事件的獨(dú)立性、離散型隨機(jī)變量等內(nèi)容。

（4）將數(shù)學(xué)解答翻譯成現(xiàn)實(shí)對象，給出實(shí)際問題的解答。

高考全國卷對統(tǒng)計(jì)的考查不僅是計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的大小，更重要的是要會(huì)用計(jì)算得出的樣本的數(shù)字特征去對總體進(jìn)行估計(jì)，能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理決策提供一些依據(jù)，考查樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想。高考全國卷對統(tǒng)計(jì)的考查重點(diǎn)一般放在以下幾個(gè)方面：

（1）能夠根據(jù)要解決的問題選取適合的抽樣方法，體會(huì)隨機(jī)性。能夠明確簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣各自的特點(diǎn)，并能根據(jù)實(shí)際情況選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ā?/p>

（2）能夠把抽取的數(shù)據(jù)用合適的圖表進(jìn)行表示。能夠根據(jù)頻率分布表、直方圖、折線圖和莖葉圖等各自的特點(diǎn)，在具體問題中有針對性地選擇不同的統(tǒng)計(jì)圖表整理信息。

（3）能夠理解樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差等統(tǒng)計(jì)量的意義和作用，能夠根據(jù)具體的統(tǒng)計(jì)問題，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量。

（4）能夠?qū)y(tǒng)計(jì)量的大小進(jìn)行正確計(jì)算。會(huì)利用數(shù)據(jù)處理線性相關(guān)與非線性相關(guān)的擬合問題，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)。

高考是選拔性考試，試題中一定會(huì)體現(xiàn)一些創(chuàng)新性的東西，那么研究高考題發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律性就是復(fù)習(xí)備考的至尊法寶。在高考試卷中對實(shí)踐應(yīng)用能力的考查設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的問題情境，這樣將有利于激發(fā)同學(xué)們進(jìn)行思考。同時(shí)在設(shè)問時(shí)提出有一定跨度的問題引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行自主探索，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，使同學(xué)們在探索的過程中進(jìn)一步理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，掌握解決實(shí)際問題的方法，增強(qiáng)解決問題的能力。因此，同學(xué)們必須養(yǎng)成多練高考題的好習(xí)慣，真正領(lǐng)會(huì)高考命題的意圖及蘊(yùn)含的真諦。