基于案例式的《線性代數(shù)》課程教學(xué)實(shí)踐與探討

宋愛斌 陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部

《線性代數(shù)》主要以離散量為研究對(duì)象，用數(shù)學(xué)的語言表述自然科學(xué)中最為普遍的線性概念，其典型特點(diǎn)是內(nèi)容抽象、理論性強(qiáng)，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，側(cè)重對(duì)抽象思維和邏輯思維能力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)科學(xué)中具有非常重要的作用，在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以《線性代數(shù)》為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分。

目前，該課程教學(xué)存在的主要矛盾問題是，第一，內(nèi)容抽象，學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解存在困難，學(xué)習(xí)難度大；第二，內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系不夠緊密，對(duì)所學(xué)內(nèi)容的作用和地位不夠清楚，學(xué)生學(xué)完了不知道怎么用。針對(duì)矛盾問題，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中探討案例式教學(xué)，通過知識(shí)點(diǎn)的典型應(yīng)用及MATLAB軟件的引入能夠很好的幫助學(xué)員掌握所學(xué)知識(shí)和應(yīng)用技巧。下面以逆矩陣為例進(jìn)行說明。

一、案例引入

密碼術(shù)伴隨著人類書寫文明產(chǎn)生，而編碼和解碼這場(chǎng)持續(xù)了三千多年的攻防戰(zhàn)至今仍是方興未艾。編碼者努力地建立更強(qiáng)更安全的密碼系統(tǒng)來防衛(wèi)通訊，而解碼者則力爭(zhēng)找到極具威懾力的方法來破解密碼。二者的斗志斗勇產(chǎn)生了很多種密碼。[1]有一種通用的傳遞信息方法，是將每個(gè)字母與一個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)(通常A對(duì)應(yīng)1，B對(duì)應(yīng)2，…，Z對(duì)應(yīng)26，0對(duì)應(yīng)空格)，然后傳輸一串整數(shù)。例如，信息SEND MONEY，可以編碼為：

5,8,10,21,7,2,10,8,3

其中S表示5，E表示為8，等等.但是，這種編碼很容易破譯.在一段較長(zhǎng)的信息中，我們可以根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的相對(duì)頻率猜測(cè)每一數(shù)學(xué)表示的字母.例如，若8為編碼信息中最常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)，則它最有可能表示字母E，即英文中最常出現(xiàn)的字母。

我們可以用矩陣乘法對(duì)信息進(jìn)行進(jìn)一步的偽裝.設(shè)矩陣A是所有元素均為整數(shù)的矩陣（A稱為密鑰矩陣），且其行列式為±1（后面解釋行列式為什么為±1？）。我們可以用這個(gè)矩陣對(duì)信息進(jìn)行變換.變換后的信息將很難破譯.為演示這個(gè)技術(shù)，令：

需要編碼的信息放置在三行矩陣B（B稱為明文矩陣）的各個(gè)列上。

乘積C（C稱為暗文矩陣）為：

給出了用于傳輸?shù)木幋a信息：

31,80,54,37,83,67,29,69,50

接收到信息的人可通過乘以矩陣A的逆矩陣A-1進(jìn)行譯碼，即A-1C=A-1AB=B。那么什么是逆矩陣，怎樣求逆矩陣？這就是我們接下來要講的內(nèi)容。

二、案例求解

（一）逆矩陣

在數(shù)的乘法中，對(duì)不等于零的數(shù)a 總存在惟一的數(shù)b，使得ab=ba=1，此數(shù)b 即是a 的倒數(shù)，即.利用倒數(shù)，數(shù)的除法可轉(zhuǎn)化為乘積的形式：，這里a≠0.把這一思想應(yīng)用到矩陣的運(yùn)算中，并注意到單位矩陣E 在矩陣的乘法中的作用與數(shù)1類似，由此我們引入逆矩陣的定義[1]。對(duì)于n 階矩陣A ,如果有一個(gè)n 階矩陣B，使：

AB=BA=E,

則稱矩陣是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣,記作A-1.如何求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣？由于矩陣A的伴隨矩陣A*滿足：

（二）案例求解

為了信息傳遞的安全性，已知信息和接收到的信息分別是密鑰矩陣A和暗文矩陣C ,這里要求密鑰矩陣A所有元素均為整數(shù)，且其行列式為±1，是為了保證逆矩陣A-1的所有元素均為整數(shù)。根據(jù)逆矩陣求法，求得：

明文矩陣B為：

按照字母與整數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以知道傳遞的信息是：SEND MONEY。

三、案例應(yīng)用

這個(gè)應(yīng)用案例引起學(xué)生極大的興趣，課后給學(xué)生布置一個(gè)任務(wù)，讓每位學(xué)生用密鑰矩陣和暗文矩陣給老師傳遞一個(gè)信息，字母與整數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是字母A對(duì)應(yīng)數(shù)字1，字母B對(duì)應(yīng)數(shù)字2，…，字母Z對(duì)應(yīng)數(shù)字26，0對(duì)應(yīng)空格。這個(gè)任務(wù)有一個(gè)難點(diǎn)，就是密鑰矩陣的構(gòu)造，學(xué)生要通過行列式的性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)其行列式的值為±1的方陣.學(xué)生傳遞的信息各種各樣，充分說明了學(xué)生對(duì)這項(xiàng)任務(wù)非常感興趣.每名學(xué)生傳遞一個(gè)信息，每條信息翻譯成明文都需求解一個(gè)逆矩陣并進(jìn)行矩陣的乘法，計(jì)算量非常大.因此，借助MATLAB這個(gè)數(shù)學(xué)軟件編寫一個(gè)簡(jiǎn)單的程序進(jìn)行計(jì)算就解決這個(gè)問題了，借此還可以教學(xué)生掌握MATLAB軟件的使用.下面舉幾個(gè)學(xué)生傳遞的信息，通過MATLAB編程翻譯成明文。

學(xué)生1傳遞信息：

A=[1 2 3 4 5;0 1 2 3 4;0 0 1 2 3;0 1 2 4 6;1 2 3 4 6];

C=[136 245 169 191 191; 95 179 115 123 138; 63 118 79 74 93; 126 236 158 163 187; 147 266 188 211 210];

An=inv(A);

Bm=An＊C

運(yùn)行結(jié)果：

答案：I like your lesson thinks.

學(xué)生2傳遞的信息：

A=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;1 0 0 1];

C=[13 1 22 5;7 1 0 7;15 15 4 0;4 1 25 0 ];

An=inv(A)

Bm=C＊An

四、結(jié)論

通過案例式教學(xué)，雖然課上加了MATLAB的使用和應(yīng)用實(shí)例的講解，課后加了應(yīng)用的作業(yè)，同樣的時(shí)間內(nèi)需要學(xué)習(xí)的知識(shí)多了，但提起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力（比如編碼問題）。從考核成績(jī)可以看出，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有明顯提高。