耐壓圓柱殼開孔采用非對(duì)稱圍壁加強(qiáng)解析解與有限元解對(duì)比分析

張帆晨，王志鵬，馬建軍

(1. 武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢 430061；2. 海軍裝備部，北京 100000)

0 引 言

典型的水下結(jié)構(gòu)物，需要承受巨大的深水壓力，因此它必須有堅(jiān)固的耐壓外殼。但是由于各種實(shí)際需求，往往要在外殼上開各種各樣的開孔，這些孔的存在破壞了耐壓圓柱殼的結(jié)構(gòu)連續(xù)性，改變了開孔區(qū)域的應(yīng)力分布。尤其對(duì)于單殼體水下航行器開孔采用非對(duì)稱圍壁加強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來說，孔邊應(yīng)力由于圍壁的非對(duì)稱性而變得更加復(fù)雜，值得深入研究。董勝利、宋天舒等[1]給出受外壓情況下長(zhǎng)圓柱殼開任意形狀單孔問題的理論解，同時(shí)分別對(duì)開單圓孔、單橢圓孔、多圓孔及多橢圓孔的長(zhǎng)圓柱殼在受均布外壓情況下的孔邊應(yīng)力進(jìn)行有限元數(shù)值計(jì)算。Zaid Khan等[2]詳細(xì)回顧了ASME給出的圓柱殼大開孔以及開孔補(bǔ)強(qiáng)的設(shè)計(jì)法則，并且提出了新的需要校核的法則。Dr. Dipak K.Chandiramani[3]討論了ASME給出的校核法則中1～7條校核的必要性，根據(jù)Ansys有限元建模計(jì)算的圓柱殼大開孔加強(qiáng)模型的結(jié)果，認(rèn)為在計(jì)算時(shí)沒有必要額外校核ASME法則中的1～7條，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果，給出了原因。Christoforos A. Dimopoulos等[4]探究了分別在有加強(qiáng)與沒有加筋加的情形下，帶開孔的圓柱殼的設(shè)計(jì)方法。S. Miladi * M. S. Razzaghi[5]研究了不同的開孔位置以及開孔大小對(duì)于圓柱殼強(qiáng)度的減弱程度，同時(shí)也探究了連續(xù)開孔，孔與孔之間的相對(duì)位置對(duì)于圓柱殼強(qiáng)度減弱的影響。施濤[6]研究了典型耐壓船體開孔加強(qiáng)結(jié)構(gòu)并進(jìn)行了優(yōu)化分析。周猛猛[7]對(duì)圍壁加強(qiáng)的圓柱殼開孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析。Avinash R.Kharat等[8 - 9]研究了不同幾何參數(shù)的情況下圓柱殼開孔周圍應(yīng)力系數(shù)的變化，之后又研究了不同形式的加強(qiáng)構(gòu)件對(duì)于加強(qiáng)件以及孔邊應(yīng)力的影響，針對(duì)4種加強(qiáng)構(gòu)件的設(shè)計(jì)方式詳細(xì)分析了不同的加強(qiáng)構(gòu)件對(duì)應(yīng)力產(chǎn)生的影響。張錦嵐[10]采用參數(shù)化建模方式，討論了多參數(shù)對(duì)于開孔周圍應(yīng)力的影響。

對(duì)于采用“單邊圍壁”加強(qiáng)方式的單殼體水下航行器，由于孔口圍壁外伸段極短（或缺失），確保圍壁不突出于殼體外，這種極端非對(duì)稱圍壁加強(qiáng)結(jié)構(gòu)改變了傳統(tǒng)開孔區(qū)應(yīng)力特性，使孔口應(yīng)力場(chǎng)復(fù)雜化，不能夠確定傳統(tǒng)的解析解法對(duì)于此類單邊加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的適用性。

本文針對(duì)典型的圓柱殼結(jié)構(gòu)，以對(duì)稱和非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁為研究對(duì)象，采用規(guī)范和有限元計(jì)算方法開展計(jì)算，探究解析解與有限元解方法的異同點(diǎn)并給與一定的討論，對(duì)偏差做出相應(yīng)的解釋，為工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 幾何模型

圓柱殼模型參數(shù)如表1所示。相關(guān)尺寸進(jìn)行了無因次化處理。圖1為有限元方法建立的圓柱殼模型，有限元模型為光圓柱殼計(jì)算模型，為消除邊界效應(yīng)影響，邊界處設(shè)置2檔肋位大厚度過渡段耐壓殼板，并設(shè)置環(huán)肋骨。

1.2 解析解與有限元方法

對(duì)于殼體開孔問題，一般是將開孔引起的孔口區(qū)域法向位移函數(shù)用傅氏貝塞爾級(jí)數(shù)表示為：

表 1 圓柱殼幾何參數(shù)Tab. 1 The parameters of the cylindrical shell model

圖 1 有限元模型Fig. 1 FEM model

在圓柱殼開有圍壁加強(qiáng)圓形切口的模型實(shí)驗(yàn)表明，孔口區(qū)域的法向位移函數(shù)w的變化主要在 ρ方向，可近似地認(rèn)為法向位移函數(shù)w與坐標(biāo) θ無關(guān)，僅是坐標(biāo)ρ的函數(shù)。為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入近似計(jì)算對(duì)法向位移函數(shù)w做如下簡(jiǎn)化假定：

圍壁的作用是補(bǔ)償結(jié)構(gòu)因開孔而引起的強(qiáng)度損失，而這種效果由圍壁有效面積表示：

式中：Ac為 指圍壁的有效面積l′為 圍壁有效高度，ζ是有效長(zhǎng)度系數(shù)。δ為圍壁厚度。

由理論分析和模型實(shí)驗(yàn)可知，圍壁中的最大中面應(yīng)力發(fā)生在圍壁與過孔心圓柱殼體母線的交點(diǎn)處，且中面周向應(yīng)力較大，由圍壁的徑向位移和切向位移可以計(jì)算得到圍壁最大中面周向應(yīng)力，通常可以將最大應(yīng)力集中系數(shù)表示為圖譜形式，通過相關(guān)參數(shù)查閱得到：

Ac/at為圍壁加強(qiáng)程度的幾何參數(shù)；R/t為殼體厚度的幾何參數(shù)；a/R為開孔大小的幾何參數(shù)；ζ為圍壁的有效長(zhǎng)度系數(shù)，取決于圍壁的安裝位置。

有限元方法中模型的加載以及約束情況如圖3所示，圍壁以及周圍殼板的網(wǎng)格劃分如圖4所示，網(wǎng)格均采用四邊形網(wǎng)格，模型艉端剛性固定約束（約束全部自由度），艏端約束周向和徑向位移，釋放軸向位移，并施加軸向載荷，圍壁承受外壓載荷。

2 解析解與有限元解結(jié)果對(duì)比分析

2.1 不同開孔半徑加強(qiáng)圍壁強(qiáng)度分析

分別通過規(guī)范及有限元計(jì)算方法開展了不同開孔半徑單殼體對(duì)稱和非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁強(qiáng)度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2和表3所示。

圖 2 最大應(yīng)力集中系數(shù)圖譜Fig. 2 Graph of maximum stress concentration coefficient

圖 3 圓柱殼幾何模型Fig. 3 Geometric model of cylindrical shell

圖 4 圍壁周圍網(wǎng)格Fig. 4 The grids around the wall

對(duì)稱和非對(duì)稱圍壁強(qiáng)度有限元計(jì)算結(jié)果相對(duì)比規(guī)范計(jì)算結(jié)果偏差見圖5和圖6，孔邊殼板以及圍壁的有限元計(jì)算云圖見圖7和圖8。

計(jì)算結(jié)果表明：

1）開孔強(qiáng)度強(qiáng)度校核有限元計(jì)算結(jié)果比理論計(jì)算結(jié)果偏大，偏差大小和開孔大小有關(guān)。當(dāng)開孔半徑較小時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果吻合較好；當(dāng)開孔半徑越大，偏差越大。

2）隨開孔直徑增加，對(duì)稱圍壁和非對(duì)稱圍壁均表現(xiàn)為圍壁中面周向應(yīng)力和孔邊殼板中面周向應(yīng)力理論求解偏差逐漸增加，且圍壁中面周向應(yīng)力理論求解偏差增加幅度更大。

表 2 對(duì)稱圍壁規(guī)范及有限元計(jì)算結(jié)果

表 3 非對(duì)稱圍壁規(guī)范及有限元計(jì)算結(jié)果（MPa）

圖 5 對(duì)稱加強(qiáng)圍壁Fig. 5 Results of symmetrical wall

圖 6 非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁Fig. 6 Results of asymmetrical wall

圖 7 孔邊殼板中面周向應(yīng)力Fig. 7 Stress of middle surface of shell around the wall

圖 8 圍壁中面周向應(yīng)力Fig. 8 Stress of of middle surface of wall

3）相比于對(duì)稱加強(qiáng)圍壁，開孔越大，非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁理論計(jì)算求解偏差更大。特別是當(dāng)開孔半徑達(dá)550 mm時(shí)，圍壁中面周向應(yīng)力有限元與規(guī)范計(jì)算結(jié)果偏差為65.2%，孔邊殼板中面周向應(yīng)力有限元與規(guī)范計(jì)算結(jié)果偏差為27.6%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了工程允許的計(jì)算誤差。

2.2 不同圍壁壁厚的圍壁強(qiáng)度分析

當(dāng)圓柱殼開孔半徑太大時(shí)，圍壁壁厚太小，圍壁補(bǔ)強(qiáng)作用不滿足規(guī)范要求。為探究圍壁壁厚變化對(duì)規(guī)范和有限元計(jì)算方法偏差的影響，選取開孔半徑為250 mm、圍壁總高400 mm、圍壁壁厚分別為30～90 mm之間的對(duì)稱和非對(duì)稱圍壁，采用規(guī)范和有限元計(jì)算方法對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度校核計(jì)算。規(guī)范及有限元計(jì)算結(jié)果如表4和表5所示。

對(duì)稱和非對(duì)稱圍壁強(qiáng)度有限元計(jì)算結(jié)果相對(duì)比規(guī)范計(jì)算結(jié)果偏差見圖9和圖10所示，孔邊殼板以及圍壁的有限元計(jì)算云圖見圖11和圖12所示。

計(jì)算結(jié)果表明：

隨圍壁壁厚增加，圍壁中面應(yīng)力規(guī)范與有限元計(jì)算結(jié)果偏差基本不變，孔邊殼板中面周向應(yīng)力規(guī)范與有限元計(jì)算結(jié)果偏差先減小后增加。

2.3 不同外伸長(zhǎng)度非對(duì)稱圍壁強(qiáng)度分析

為研究規(guī)范計(jì)算方法對(duì)不同外伸長(zhǎng)度的單殼體非對(duì)稱圍壁強(qiáng)度適用性，以高400 mm、外徑500 mm、壁厚50 mm的圍壁為研究對(duì)象，分別采用規(guī)范和有限元計(jì)算方法，開展外伸長(zhǎng)度為20 mm，30 mm，40 mm，50 mm的圍壁強(qiáng)度計(jì)算，結(jié)果如表6所示，計(jì)算結(jié)果如圖13所示，有限元計(jì)算云圖如圖14和圖15所示。

表 4 對(duì)稱圍壁規(guī)范及有限元計(jì)算結(jié)果

表 5 非對(duì)稱圍壁規(guī)范及有限元計(jì)算結(jié)果

計(jì)算結(jié)果表明：

1）圍壁外伸長(zhǎng)度越小，開孔強(qiáng)度校核的理論計(jì)算與有限元計(jì)算結(jié)果偏差越大，當(dāng)圍壁外伸長(zhǎng)度小于30 mm時(shí)，圍壁中面周向應(yīng)力理論計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果偏差已超過20%，遠(yuǎn)超出了工程允許的計(jì)算誤差。

表 6 非對(duì)稱圍壁規(guī)范及有限元計(jì)算結(jié)果（MPa）

圖 9 對(duì)稱加強(qiáng)圍壁Fig. 9 Results of symmetrical wall

圖 10 非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁Fig. 10 Results of asymmetrical wall

圖 11 孔邊殼板中面周向應(yīng)力Fig. 11 Stress of middle surface of shell around the wall

圖 12 圍壁中面周向應(yīng)力Fig. 12 Stress of of middle surface of wall

圖 13 非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁Fig. 13 Results of asymmetrical wall

圖 14 孔邊殼板中面周向應(yīng)力Fig. 14 Stress of middle surface of shell around the wall

圖 15 圍壁中面周向應(yīng)力Fig. 15 Stress of of middle surface of wall

2）隨圍壁外伸長(zhǎng)度減小，圍壁中面周向應(yīng)力的理論計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果偏差大幅增加，孔邊殼板中面周向應(yīng)力基本不變。對(duì)于嚴(yán)重非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁，圍壁中面周向應(yīng)力的理論計(jì)算方法的求解偏差更大。

3 結(jié) 語

本文以單殼體的對(duì)稱和非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁為研究對(duì)象，采用規(guī)范和有限元計(jì)算方法，開展了不同開孔對(duì)稱和非對(duì)稱加強(qiáng)圍壁強(qiáng)度計(jì)算以及不同外伸長(zhǎng)度的非對(duì)稱圍壁的強(qiáng)度計(jì)算。

對(duì)于解析解與有限元解產(chǎn)生的偏差，根據(jù)分析給出以下解釋：在以往的理論推導(dǎo)中，近似的將圓柱殼的圓孔作為展開平面內(nèi)的圓孔處理，以便于求解，降低數(shù)學(xué)處理的復(fù)雜程度，從而忽略了相貫線的影響。但是隨開孔直徑增加，圍壁與圓柱殼之間相貫線橢圓性更加明顯，原理論推導(dǎo)中關(guān)于圓柱殼的圓開孔作為展開平面內(nèi)的圓孔處理的相似性越差。

圍壁近似等效為等效圍壁后，忽略了圍壁本身沿長(zhǎng)度方向的變形，并且集中線載荷等效為均壓載荷、圍壁與圓柱殼相貫線處的收縮變形等效為等效長(zhǎng)度的均勻長(zhǎng)度均勻收縮變形，由于非對(duì)稱圍壁變形具有強(qiáng)非對(duì)稱性，近似理論帶來的差異性會(huì)更加突出，理論求解偏差更大。

對(duì)于規(guī)范與有限元計(jì)算的對(duì)比探究得出結(jié)論如下：

1）開孔強(qiáng)度有限元計(jì)算結(jié)果比理論計(jì)算結(jié)果偏大，并且與殼體開孔的大小、圍壁對(duì)稱性有關(guān)。開孔半徑越大、圍壁對(duì)稱性越差，理論求解偏差越大。

2）隨開孔直徑增加，對(duì)稱圍壁和非對(duì)稱圍壁均表現(xiàn)為圍壁中面周向應(yīng)力和孔邊殼板中面周向應(yīng)力的理論計(jì)算偏差均逐漸增加，圍壁中面周向應(yīng)力理論計(jì)算偏差增加幅度更大。

3）相比于對(duì)稱圍壁，非對(duì)稱圍壁中面周向應(yīng)力和孔邊殼板中面周向應(yīng)力理論求解偏差更大，并且圍壁外伸長(zhǎng)度越小，即非對(duì)稱性越明顯，理論計(jì)算偏差就越大。

4）圍壁的非對(duì)稱性主要影響圍壁中面周向應(yīng)力理論計(jì)算，對(duì)孔邊殼板中面周向應(yīng)力影響不大。并且非對(duì)稱性越明顯，圍壁中面周向應(yīng)力理論計(jì)算偏差越大。