在CEV模型下帶違約風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間一致再保險(xiǎn)投資博弈

李國柱,馬世霞

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300401)

1 引言

近年來,很多文章運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制理論研究了多種關(guān)于保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資再保險(xiǎn)問題.一方面,因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)可以有效的分散索賠風(fēng)險(xiǎn),而且將盈余投資到金融市場是獲取利益的重要途徑.另一方面,隨機(jī)最優(yōu)控制理論可以提供理論上可靠的、切實(shí)可行的解決方案.關(guān)于保險(xiǎn)公司最優(yōu)策略的研究,很多文章通常采用期望效用最大化作為目標(biāo)函數(shù).例如,Lin and Li[1]通過最大化終端財(cái)富的期望指數(shù)效用推導(dǎo)了最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略,其中保險(xiǎn)公司盈余過程遵循跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)過程.Cao and Wan[2]通過最大化終端財(cái)富的預(yù)期指數(shù)和冪效用得到了最佳比例再保險(xiǎn)和投資策略,等等.還有很多文章討論其他的最優(yōu)準(zhǔn)則,比如均值方差準(zhǔn)則(見文獻(xiàn)[3-4]).

如今,盡管違約風(fēng)險(xiǎn)被認(rèn)為是引發(fā)全球信貸危機(jī)的重要因素之一,但由于其利潤相對較高,因此違約債券仍然受到很多投資者的青睞,而且具有違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資組合選擇問題已成為一個重要的研究領(lǐng)域.在近些年的研究中,Zhao[5]將可違約風(fēng)險(xiǎn)引入了跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型中的Markowitz均值方差最優(yōu)再保險(xiǎn)投資問題中.Zhu[6]在可違約金融市場下通過最大化保險(xiǎn)公司終端財(cái)富的期望效用推導(dǎo)出最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資策略.Sun[7]在方差保費(fèi)原則和違約風(fēng)險(xiǎn)下推出了魯棒最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略,等等.

前面提到的文獻(xiàn)都只考慮單個保險(xiǎn)公司的最優(yōu)問題.然而,在競爭的經(jīng)濟(jì)環(huán)境下,企業(yè)不可避免的要與對手競爭來突顯自己的優(yōu)勢.因此一些文章致力于處理兩家公司的競爭問題.例如,Bensoussan[8]利用相對績效的概念構(gòu)造了非零和隨機(jī)微分博弈得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略.Zhu[9]在Heston模型下考慮了均值方差保險(xiǎn)公司的時(shí)間一致再保險(xiǎn)投資博弈問題,等等.

在本文中,我們推廣了Zhu[9]的模型,考慮了在可違約風(fēng)險(xiǎn)下兩個競爭保險(xiǎn)公司之間的再保險(xiǎn)投資博弈問題.事實(shí)上,保險(xiǎn)公司樂于參與各種投資來從盈余中獲取豐厚利潤,因此將額外的可違約債券添加到投資組合中使模型更加通用.另外,這里我們采用更加具有可分析性的隨機(jī)波動率模型：CEV模型.應(yīng)用隨機(jī)控制理論,建立擴(kuò)展的哈密頓-雅可比-貝爾曼方程,分別推導(dǎo)出違約前和違約后的均衡策略和相應(yīng)的值函數(shù).

最后,第2節(jié)介紹了模型的構(gòu)造.在第3節(jié)中,我們通過解擴(kuò)展的HJB方程得到了違約前和違約后的均衡策略和相應(yīng)的值函數(shù).第4節(jié)提供數(shù)值研究,討論模型參數(shù)對均衡策略的影響.

2 模型建立

令(?,F,{Ft}0≤t≤T,P)是一個完備的過濾概率空間滿足通常的條件,即{Ft}0≤t≤T是右連續(xù)的,P是完備的,且Ft表示時(shí)間t之前可獲得的信息.不考慮再保險(xiǎn)投資的情況下我們假設(shè)保險(xiǎn)公司k,k∈{1,2}的剩余過程是擴(kuò)散近似模型,

這里μk,σk>0分別是保費(fèi)回報(bào)率以及余額過程的波動,{Bk(t)}是兩個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,為了進(jìn)一步考慮這兩家保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)的相關(guān)性,我們用ρ0表示{B1(t)}和{B2(t)}之間的正的相關(guān)系數(shù),即E[B1(t)B2(t)]=ρ0t,0<ρ0<1.

兩個保險(xiǎn)公司可以購買比例再保險(xiǎn)來管理保險(xiǎn)業(yè)務(wù)風(fēng)險(xiǎn),并且用ak(t)表示保險(xiǎn)公司k在t時(shí)刻的再保險(xiǎn)策略且ak(t)∈R+.當(dāng)ak(t)>1,保險(xiǎn)公司k作為其他保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)人并獲得新業(yè)務(wù).當(dāng)ak(t)∈[0,1],意味著保險(xiǎn)公司k將承擔(dān)索賠的100ak(t)%,再保險(xiǎn)公司將承擔(dān)剩余的100(1?ak(t))%且收取再保險(xiǎn)保費(fèi)率(1?ak(t))ηk,這里ηk≥μk是再保險(xiǎn)公司的保費(fèi)回報(bào)率.因此,在比例再保險(xiǎn)下保險(xiǎn)公司k∈{1,2}的余額過程變?yōu)?/p>

這里θk=μk?ηk是保費(fèi)差.

另外,保險(xiǎn)公司還可以投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和可違約債券.無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程S0(t)由以下常微分方程給出

這里r0>0是固定的無風(fēng)險(xiǎn)利率.根據(jù)CEV模型,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程S(t)表示為

μ,σSβ(t),β分別是股票的預(yù)期收益率,瞬時(shí)波動率和彈性參數(shù),β滿足一般條件β≥0且{W(t)}0≤t≤T也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動獨(dú)立于{B1(t)}和{B2(t)}.令τ是一個非負(fù)隨機(jī)變量,代表發(fā)行債券公司的違約時(shí)刻,T1>T代表可違約債券的到期日.定義違約過程為Z(t):=1{τ≤t},其中1表示示性函數(shù)如果有跳其值為1,否則為零.因此Z(t)=0和Z(t)=1分別代表違約前和違約后.按照Driessen[10],違約時(shí)刻τ可以被看成在概率測度P下帶有強(qiáng)度hP>0的泊松過程的第一個到達(dá)時(shí)間,hP衡量了違約的到達(dá)率.令G:={Gt}t∈[0,T]是一個擴(kuò)大的過濾,這里Gt=Ft∨σ{Z(s):0≤s≤t},在這個過濾下τ是一個停時(shí).假設(shè)違約發(fā)生時(shí),投資者在違約前收回違約債券市值的一小部分,違約后債券的價(jià)值為零.因此我們用0≤ζ≤1表示違約發(fā)生時(shí)的損失率,1?ζ表示回收率.我們用δ=hQζ表示風(fēng)險(xiǎn)中性信貸利差,hQ=hP/?是違約泊松過程在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下的到達(dá)強(qiáng)度.按照Bielecki and Jang[11],我們首先定義過程

是在測度P下的一個G-鞅,這里我們用1/?表示違約風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià).根據(jù)Duffie and Singleton[12],在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下違約發(fā)生的概率比在真實(shí)概率測度P下發(fā)生的概率大,因此有1/?=hQ/hP≥1.根據(jù)Bielecki and Jang[11],我們得到違約債券在測度P下的價(jià)格動態(tài)為

我們用πk,1(t),πk,2(t)分別表示保險(xiǎn)公司k投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和違約債券上的金額,其余的投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中,那么πk(t)=(πk,1(t),πk,2(t),ak(t))是保險(xiǎn)公司k,(k∈1,2)的一個再保險(xiǎn)投資策略,在策略πk(t)下,保險(xiǎn)公司k的財(cái)富過程可以表示為

定義2.1(可行策略)對于保險(xiǎn)公司k而言,再保險(xiǎn)投資策略πk(t):=(πk,1(t),πk,2(t),ak(t))是可行的,如果

(1)πk(t)關(guān)于G-可測的,且

(2)對于?(xk,s,z)∈R×R+×{0,1},隨機(jī)微分方程(6)有唯一的解用Πk表示保險(xiǎn)公司k所有可行策略的集合.

在競爭的經(jīng)濟(jì)環(huán)境下,每個保險(xiǎn)公司為了比競爭對手更有優(yōu)勢,按照Espinosa and Touzi[13],對于每個保險(xiǎn)公司我們有下列目標(biāo)函數(shù)

這里k,j∈{1,2},,Uk是嚴(yán)格增的并且嚴(yán)格凹的效用函數(shù),是條件期望和方差,參數(shù)κk(0<κk<1)衡量了保險(xiǎn)公司k的相對關(guān)注度,κk越大意味著保險(xiǎn)公司k更關(guān)注相對財(cái)富,更具競爭力.當(dāng)κk=0時(shí),目標(biāo)函數(shù)可以簡化為無競爭的單一保險(xiǎn)公司的傳統(tǒng)優(yōu)化問題.令是保險(xiǎn)公司k的相對財(cái)富過程,

3 模型的解

本節(jié)我們將給出在違約前和違約后兩種情況下的納什均衡再保險(xiǎn)投資策略和相應(yīng)的值函數(shù).

3.1 違約后的情況

3.2 違約前的情況

4 數(shù)值分析

在本節(jié)中,我們對均衡再保險(xiǎn)和投資策略關(guān)于模型參數(shù)的影響進(jìn)行了一些數(shù)值研究,表1給出了模型參數(shù).

表1

圖1顯示了在κj取不同值時(shí)參數(shù)κk對均衡再保險(xiǎn)策略的影響.這里我們考慮當(dāng)前時(shí)間下的模型參數(shù),即t=0.注意到是參數(shù)κk的遞增函數(shù),因?yàn)棣蔾反應(yīng)保險(xiǎn)公司k對競爭對手績效的敏感性,即更加關(guān)注相對財(cái)富的增加.另外,雖然購買再保險(xiǎn)可以降低風(fēng)險(xiǎn),但是保險(xiǎn)公司需要支付再保險(xiǎn)保費(fèi),這將不利于增加相對財(cái)富.因此保險(xiǎn)公司傾向于增加索賠的自留額對于一個固定的κk,競爭對手的相對關(guān)注度κj越大也會導(dǎo)致保險(xiǎn)公司k承擔(dān)更多的風(fēng)險(xiǎn),即增加索賠的自留額

圖1 κk對的影響,k=1,2

圖2顯示了參數(shù)κk對違約前均衡投資策略的影響.我們發(fā)現(xiàn)是κk的一個遞增函數(shù).即越關(guān)注相對財(cái)富的增加,投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的金額就越大,這樣會有更大的幾率在終端時(shí)刻比競爭對手積累更多的財(cái)富.因此競爭使得每個保險(xiǎn)公司更加追求風(fēng)險(xiǎn).另外對于違約后的情況同樣如此.

圖2 違約前κk對的影響,k=1,2

圖3 κk對的影響,k=1,2

從圖4中可以看到在違約風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1/?取不同值時(shí)違約前的均衡債券投資策略和損失率ζ之間的關(guān)系.我們發(fā)現(xiàn)均衡債券投資策略與損失率之間存在負(fù)相關(guān),因?yàn)楦叩膿p失率導(dǎo)致更低的回報(bào),即存在更高的潛在的損失.此外,對于固定的損失率ζ,違約風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1/?越高,導(dǎo)致投資在違約債券上的金額更高.很顯然,更高的違約風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)導(dǎo)致更高的回報(bào).

圖4 ζ對的影響,k=1,2