可變構(gòu)型的控制力矩陀螺控制方法

張科備，高晶敏，關(guān)新，郭子熙

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)國防科技重點實驗室，北京 100094 3. 北京信息科技大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100192

單框架控制力矩陀螺(control moment gyroscope, CMG)是衛(wèi)星實現(xiàn)姿態(tài)敏捷機(jī)動的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，在遙感類衛(wèi)星姿態(tài)快速機(jī)動中得到廣泛應(yīng)用。在實際衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動中，需要多個CMG進(jìn)行三維力矩輸出。因此，針對單框控制力矩陀螺群主要側(cè)重于相關(guān)的操縱控制策略研究[1]。

針對控制力矩陀螺群固有的框架角奇異問題，多種性能良好的操縱方法應(yīng)運(yùn)而生。文獻(xiàn)[2-3]針對CMG框架角奇異時無法提供三維力矩，提出一種釋放奇異方向控制約束的降維控制方法，與魯棒偽逆等操縱律相比，該方法能夠快速高效逃離奇異。文獻(xiàn)[4-5]針對魯棒奇異規(guī)避操縱存在的框架“鎖死”現(xiàn)象，設(shè)計了一種姿態(tài)控制力矩指令隨奇異度量動態(tài)矢量調(diào)節(jié)的新型規(guī)避策略，在實現(xiàn)奇異規(guī)避的同時可有效避免衛(wèi)星撓性振動激發(fā)。文獻(xiàn)[6]針對CMG框架角奇異飽和問題，設(shè)計了一種零運(yùn)動奇異規(guī)避動態(tài)分配與指令力矩隨奇異度量相應(yīng)調(diào)節(jié)的控制力矩陀螺操縱律，實現(xiàn)了CMG框架角速度去飽和快速脫離奇異問題。文獻(xiàn)[7]詳細(xì)分析了控制力矩陀螺操縱方法中的混合逆、廣義逆、一般逆、奇異魯棒逆[8]、一般奇異魯棒逆[9]、奇異方向(singular direction avoidance, SDA)操縱律[10-11]、局部梯度操縱律、混合操縱律(hybrid steering logic, HSL)[12]等8種CMG操縱律，指出它們來源于一個共同的最優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)，并且在最優(yōu)化求解過程中都沒有考慮奇異構(gòu)型。其中前7種操縱律可以都源于同一個最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，各種操縱律的區(qū)別在于選擇的權(quán)重系數(shù)不同。而混合操縱律HSL結(jié)合了奇異方向和局部梯度操縱律的優(yōu)勢。在雙曲奇異時，HSL比SDA方法性能更好；在橢圓奇異時，HSL和SDA方法性能相當(dāng)。HSL能夠使CMG躲避橢圓奇異點，而且輸出力矩誤差較小。文獻(xiàn)[13]針對五棱錐構(gòu)型的CMG模型，設(shè)計了一種構(gòu)型錐角可動態(tài)調(diào)整的奇異躲避的路徑規(guī)劃方法；該方法雖可有效提高特定機(jī)動方向的控制能力，但是需要設(shè)計復(fù)雜的安裝結(jié)構(gòu)，工程實現(xiàn)具有一定難度。文獻(xiàn)[14]針對金字塔構(gòu)型的CMG模型，設(shè)計了一種構(gòu)型傾角可變的控制力矩陀螺操縱方法；與文獻(xiàn)[13]相比，該方法僅通過安裝基座的一個自由度控制實現(xiàn)多個CMG群的安裝構(gòu)型傾角改變，簡化了安裝構(gòu)型設(shè)計的難度。文獻(xiàn)[15]設(shè)計了一種增益調(diào)度操縱律，通過動態(tài)調(diào)節(jié)控制力矩陀螺的框架和轉(zhuǎn)子力矩系數(shù)，實現(xiàn)了大力矩與精細(xì)力矩的“無縫”調(diào)配以及快速避奇異問題。文獻(xiàn)[16-18]研究了不同構(gòu)型下的CMG群奇異點分布，并設(shè)計了一種基于前饋和反饋的復(fù)合控制律，通過角動量管理，實現(xiàn)快速逃逸橢圓奇異點。

綜上可知，現(xiàn)有研究中多側(cè)重于CMG群固定構(gòu)型 (如金字塔、五棱錐)下的操縱控制方法。而CMG群固定構(gòu)型(安裝構(gòu)型傾角固定)存在以下不足：1)無法滿足衛(wèi)星多工況下(尤其是一定數(shù)目CMG故障工況)姿態(tài)敏捷機(jī)動任務(wù)需求。現(xiàn)有的固定安裝構(gòu)型傾角的CMG群，其最大合成角動量包絡(luò)為近似球形，以滿足航天器三軸均勻的控制能力需求。而航天器在軌姿態(tài)敏捷機(jī)動，往往對某個軸的敏捷機(jī)動具有較高要求，其余軸可放寬機(jī)動要求。這要求CMG群能夠靈活改變自身的角動量包絡(luò)。而當(dāng)存在一定數(shù)目CMG故障時，現(xiàn)有的控制方法更加難以滿足衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動的需求。2)無法實現(xiàn)多自由度快速避奇異。單框架控制力矩陀螺具有嚴(yán)重的奇異問題，現(xiàn)有操縱控制方法僅能通過低速框架角一個自由度實現(xiàn)避奇異。

本文在分析CMG群合成角動量的基礎(chǔ)上，引入安裝構(gòu)型傾角這一控制變量，設(shè)計了CMG群的低速框架轉(zhuǎn)角、安裝構(gòu)型傾角、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的多變量操縱律，實現(xiàn)了高性能力矩輸出與快速避奇異，提高CMG群的使用效率。分析了金字塔構(gòu)型下不同數(shù)目CMG故障情況下的角動量包絡(luò)。結(jié)合衛(wèi)星姿態(tài)快速機(jī)動進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真校驗，驗證不同數(shù)目下的CMG群控制能力。

1 動力學(xué)描述

如圖1所示，4個CMG組成金字塔構(gòu)型系統(tǒng)，令安裝構(gòu)型傾角為β，可獲得衛(wèi)星本體下三軸對稱的角動量包絡(luò)。在衛(wèi)星本體下，其合成角動量可表示為：

(1)

式中：δi為第i個CMG的框架角，i=1,2,3,4；cβ=cosβ，sβ=sinβ，cδi=cosδ，sδi=sinδi，hi=IswiΩi，為第i個CMG的標(biāo)稱角動量，Iswi為第i個CMG高速轉(zhuǎn)子慣量，Ωi為第i個CMG高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

圖1 金字塔構(gòu)型CMG群Fig.1 Pyramid-type CMG system

若CMG群的安裝構(gòu)型傾角β可控，由式(1)可知，CMG群合成角動量與框架角δi、高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ωi以及安裝構(gòu)型傾角β相關(guān)。因此，綜合考慮δi、Ωi、β等多變量因素，求取式(1)合成角動量對時間的導(dǎo)數(shù)。在衛(wèi)星本體系下，CMG群輸出合成力矩τ可表示為：

(2)

2 操縱控制設(shè)計

2.1 動態(tài)權(quán)重分配的指令操縱控制

(3)

式中：Q=[C，D，E]；W=diag(Wg1, …,Wg4,Ws1, …,Ws4,Wβ)為CMG群框架角、高速轉(zhuǎn)子、安裝構(gòu)型傾角三者之間力矩的權(quán)重分配矩陣，Wgi=Wg0exp(-εK1)為第i個CMG的框架角力矩權(quán)重系數(shù)，其中Wg0，ε為設(shè)計參數(shù),K1為CMG群框架角奇異度量[8],Wsi為第i個CMG高速轉(zhuǎn)子的權(quán)重系數(shù)，Wβ為安裝構(gòu)型傾角力矩權(quán)重系數(shù)。

采用高斯函數(shù)計算式(3)中的框架角速度力矩權(quán)重系數(shù)Wg0和高速轉(zhuǎn)子力矩的權(quán)重系數(shù)Wsi這兩個力矩分配系數(shù)。定義高斯函數(shù)為f(x,a,b,c)=a×exp[-(x-b)2/ (2c2)]。則設(shè)計Wg0和Wsi這兩個力矩分配系數(shù)為

(4)

其中參數(shù)Wg00，Wg01，Ws0i，Ws1i，ag0，as0，bg0，bs0，cg0，cs0為設(shè)計參數(shù)。

上述設(shè)計的操縱律，通過判斷整星姿態(tài)控制的目標(biāo)力矩的模x=norm(τ)動態(tài)調(diào)節(jié)各個量的力矩分配系數(shù)。當(dāng)姿態(tài)控制力矩的模norm(τ)遠(yuǎn)離0時，通過式(4)計算，平滑調(diào)大框架角力矩權(quán)重系數(shù)Wg0以及安裝構(gòu)型傾角力矩分配系數(shù)Wβ，通過改變框架轉(zhuǎn)角速度和安裝構(gòu)型，進(jìn)行大力矩輸出；當(dāng)姿態(tài)控制力矩的模norm(τ)接近0時，通過式(4)計算，操縱律平滑調(diào)小Wg0和Wβ，調(diào)大高速轉(zhuǎn)子的權(quán)重系數(shù)Wsi。此時，CMG群框架角分配力矩接近于0，保持穩(wěn)定，避免了框架轉(zhuǎn)動輸出較大的擾動力矩；安裝構(gòu)型傾角分配力矩接近于0，CMG群保持穩(wěn)定的構(gòu)型。通過高速轉(zhuǎn)子改變轉(zhuǎn)速，輸出精細(xì)力矩，實現(xiàn)衛(wèi)星的高精度高穩(wěn)態(tài)控制。式(4)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，則可計算出Wg0、Wsi和Wβ力矩分配系數(shù)，如圖2所示。

圖2 力矩分配系數(shù)Fig.2 Torque distribution coefficient

2.2 零運(yùn)動避奇異操縱控制

CMG群零運(yùn)動避奇異操縱律是實現(xiàn)CMG群在整個工作空間無奇異操作的必要方法。當(dāng)CMG群框架角接近奇異或者進(jìn)入奇異狀態(tài)時，且CMG群的安裝構(gòu)型傾角β可控時，可通過CMG群框架角δ和安裝構(gòu)型傾角β進(jìn)行多自由度快速脫離奇異。其中，采用CMG群框架角δ進(jìn)行避奇異的零運(yùn)動操縱律可表示為[19]：

(5)

式中：kN1為零運(yùn)動操縱律系數(shù)；P=I8-WQT(QWQT)-1為零運(yùn)動正交投影矩陣；δf為CMG群期望框架角；Ωf為CMG期望的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

通過CMG群框架角δ和安裝構(gòu)型傾角β共同運(yùn)動避奇異的零運(yùn)動操縱律為：

(6)

式中：QN=[C,E]；WN為零運(yùn)動避奇異時框架角和安裝構(gòu)型傾角力矩系數(shù)分配；dN為框架角、安裝構(gòu)型傾角零運(yùn)動的矢量，具體表示為：

綜上，在CMG群指令操縱律式(4)的基礎(chǔ)上，通過添加式(5)(6)的零運(yùn)動操縱律，進(jìn)行避奇異和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速平衡。則CMG群的總的操縱律為：

x=xT+xN1+xN2

(7)

3 角動量包絡(luò)與奇異性分析

采用奇異可視化方法分析安裝構(gòu)型傾角β可控時，CMG群角動量包絡(luò)面及奇異點分布情況。當(dāng)CMG群框架在奇異狀態(tài)下，對應(yīng)奇異方向矢量us=[ux、uy、uz]的奇異角動量hs=[hsx、hsy、hsz]可以表示為[16]：

(8)

通過式(8)可計算出CMG群內(nèi)部奇異角動量的解析表達(dá)式，具體為[14]：

(9)

式中：e1、e2、e3、e4可表示為：

當(dāng)安裝構(gòu)型傾角可變化的情況下，對式(9)求導(dǎo)，可得到在構(gòu)型傾角可變化情況下的奇異度面。其型傾角可變化時內(nèi)部奇異面hk=[hkx、hky、hkz]可以表示為：

(10)

金字塔構(gòu)型是CMG群構(gòu)型中奇異程度表現(xiàn)最嚴(yán)重的一種構(gòu)型，考慮4個CMG組成金字塔構(gòu)型，分析其角動量包絡(luò)面以及奇異面。設(shè)置單個CMG的標(biāo)稱角動量為hi=70 N·m·s。設(shè)置安裝構(gòu)型傾角β的變化范圍為0°～50°，通過計算得到安裝構(gòu)型傾角可變化情況下的CMG群的最大角動量包絡(luò)面；圖3給出了不同固定傾角與傾角可控的角動量包絡(luò)對比。圖3(a)給出傾角β=50°的CMGs群能夠?qū)崿F(xiàn)三軸近似對稱的角動量包絡(luò)，XOY平面內(nèi)的角動量較大，YOZ平面內(nèi)Z軸方向角動量包絡(luò)較小。圖3(b)給出傾角β=2°的CMGs群角動量包絡(luò)，YOZ平面內(nèi)Z軸方向角動量包絡(luò)較大，但是XOY平面內(nèi)的角動量難以進(jìn)一步提高。分析圖3(a)～(c)可知，相對于固定傾角的角動量包絡(luò)僅能實現(xiàn)某個方向的角動量最優(yōu)，傾角可變的角動量包絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)三維方向的角動量包絡(luò)最大化，能夠最大化地發(fā)揮CMG群的角動量優(yōu)勢，為航天器姿態(tài)快速機(jī)動提供更多的角動量。圖3(d)～(e)給出了不同工況下角動量包絡(luò)在YOZ平面和XOY平面的投影對比。以航天器本體系YOZ平面中Z軸為例，通過改變傾角，CMG群合成角動量由180 N·m·s提高到280 N·m·s左右(見圖3(d))，提高了航天器Z軸方向的敏捷機(jī)動能力。航天器在本體系XOY平面內(nèi)機(jī)動時，相對于固定傾角的角動量包絡(luò)(如傾角β=2°)，傾角可變的角動量包絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)XOY平面內(nèi)的角動量包絡(luò)最大化，為航天器滾動-俯仰姿態(tài)快速機(jī)動提供更多的角動量。通過改變傾角，CMG群合成角動量由158 N·m·s提高到247 N·m·s左右，提高了航天器在XOY平面內(nèi)的敏捷機(jī)動能力(見圖3(e))。

在金字塔構(gòu)型的CMG群中，當(dāng)存在某個或某幾個CMG故障時，通過改變安裝構(gòu)型傾角β依然能夠?qū)崿F(xiàn)整個CMG系統(tǒng)具備最大范圍的角動量包絡(luò)。圖4給出了不同CMG故障時的角動量包絡(luò)。分析圖4可知，當(dāng)CMG存在1個(見圖4(a))或2個(見圖4(c))故障時，固定傾角的角動量包絡(luò)(傾角β=50°)范圍與圖3(a)相比明顯減小，CMG群敏捷機(jī)動能力下降。傾角可變的角動量包絡(luò)(見圖4(b)(d))依然能夠?qū)崿F(xiàn)較大范圍的三維方向的角動量包絡(luò)，依然能夠為航天器姿態(tài)快速機(jī)動提供較多的角動量。

圖3 CMG群角動量包絡(luò)對比Fig.3 Comparison of angular momentum envelop for CMGs

通過式(9)可求在金字塔構(gòu)型奇異矢量us對應(yīng)的奇異角動量包絡(luò)、顯奇異點等的分布圖。圖5給出了固定傾角(β=50°)與傾角可變的顯奇異點在XOY平面內(nèi)投影對比。通過分析可知，相對于固定傾角的顯奇異點而言，傾角可變的CMG群內(nèi)部無奇異點范圍更大，能夠提供XOY平面更大能力的無奇異操縱。

圖4 不同CMG故障的角動量包絡(luò)對比Fig.4 Angular momentum envelop for different CMG faults

圖5 奇異點分布對比Fig.5 Comparison of singularity

4 數(shù)學(xué)仿真校驗

進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動數(shù)學(xué)仿真，校驗CMG群操縱控制方法的有效性。星體轉(zhuǎn)動慣量為J=diag(1 608, 1 608, 2 010)kg·m2、4個CMG采用金字塔構(gòu)型安裝，每個CMG標(biāo)稱角動量為70 N·m，高速轉(zhuǎn)子標(biāo)稱轉(zhuǎn)速為628.32 rad/s，CMG框架最大角速度為1 rad/s。衛(wèi)星初始姿態(tài)為[30,10, -30] °，目標(biāo)姿態(tài)為[0,0, 0] °。

(1)算例1

設(shè)置衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動最大角加速度amax=2.0(°)/s2，最大角速度ωmax=5.0(°)/s；指令操縱律的相關(guān)系數(shù)為，Wg0=0.1，Wsi=40，kN1=0.2；設(shè)置安裝傾角β力矩系數(shù)Wβ由0.000 1～0.1之內(nèi)變化，測試在相同敏捷機(jī)動情況下，不同力矩系數(shù)Wβ對框架角速度的影響。

算例1仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。圖6給出了衛(wèi)星敏捷機(jī)動過程中的姿態(tài)和角速度曲線，在整個過程中采用可變構(gòu)型的控制力矩陀螺控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星的三軸姿態(tài)敏捷機(jī)動。圖7給出了不同安裝傾角β力矩系數(shù)Wβ下的CMG框架角速度對比。當(dāng)Wβ=0.000 1時，此時安裝傾角基本無變化，主要依靠CMG群的框架轉(zhuǎn)動輸出力矩。如圖7(a)所示，此時4號CMG框架角速度幅值接近飽和，1號、3號CMG框架角速度幅值在44(°)/s左右。當(dāng)Wβ=0.1時，通過安裝傾角變化和框架轉(zhuǎn)動輸出力矩。如圖7(b)所示，此時CMG框架角速度最大幅值在42(°)/s左右。通過安裝傾角變化降低了衛(wèi)星姿態(tài)敏捷機(jī)動過程對框架轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)速的要求。圖8給出了4種安裝傾角力矩系數(shù)下的安裝傾角β變化率對比結(jié)果。安裝傾角β最大變化速率小于6(°)/s。圖9給出了4種安裝傾角力矩系數(shù)下的框架角奇異度量K1的對比結(jié)果。通過安裝傾角變化提高了CMG群的奇異度量，這表明在相同奇異度下，CMG群具有更大的力矩輸出能力。

圖6 衛(wèi)星敏捷機(jī)動姿態(tài)和角速度Fig.6 Attitude and rate for satellite

圖7 CMG群框架角速度對比Fig.7 Comparison of CMGs gimble rate

圖8 安裝傾角β變化速率對比Fig.8 Comparison of skew angle β rate

圖9 奇異度對比Fig.9 Comparison of CMGs singularity

(2)算例2

設(shè)置4號CMG故障，驗證金字塔構(gòu)型下3個CMG進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動控制的能力。姿態(tài)機(jī)動最大角加速度amax=1.0(°)/s2，最大角速度ωmax=1.6(°)/s；安裝傾角β力矩系數(shù)Wβ=0.1。

算例2的仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。圖10給出了采用3個CMG控制下的衛(wèi)星敏捷機(jī)動姿態(tài)和角速度曲線，在整個過程中采用可變構(gòu)型的控制力矩陀螺控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星的三軸姿態(tài)敏捷機(jī)動。圖11給出了采用3個CMG進(jìn)行姿態(tài)控制的框架角速度。1號CMG框架角速度幅值在28.4(°)/s左右。2號、3號CMG框架角速度幅值在10(°)/s左右。圖12給出了安裝傾角β及其變化速率。在整個姿態(tài)控制期間安裝傾角β最大變化速率小于3.6(°)/s。

圖10 3個CMG控制的衛(wèi)星姿態(tài)和角速度Fig.10 Satellite attitude and rate for three CMGs used

圖11 3個CMG控制的框架角速度Fig.11 Gimble rate for three CMGs used

圖12 3個CMG控制的安裝傾角β和變化速率Fig.12 Skew angle β and rate for three CMGs used

(3)算例3

設(shè)置3號、4號CMG故障，驗證金字塔構(gòu)型下2個CMG進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)敏捷機(jī)動控制能力。姿態(tài)機(jī)動最大角加速度amax=1.0(°)/s2，最大角速度ωmax=1.6(°)/s；安裝傾角β力矩系數(shù)Wβ=0.1。

算例3的仿真結(jié)果如圖13～圖14所示。圖13給出了采用2個CMG進(jìn)行姿態(tài)控制的框架角速度。1號CMG框架角速度幅值在21.8(°)/s左右。2號CMG框架角速度幅值在10(°)/s左右。圖14給安裝傾角β及其變化速率。在整個姿態(tài)控制期間安裝傾角β最大變化速率小于13.9(°)/s。

圖13 2個CMG控制的框架角速度Fig.13 Gimble rate for two CMGs used

分析圖11～圖14可知，在采用2個CMG進(jìn)行姿態(tài)敏捷控制時，CMG群框架角速度稍有減少，但是通過安裝傾角β的變化亦能輸出三維力矩，實現(xiàn)衛(wèi)星的三軸姿態(tài)控制。

圖14 2個CMG控制的安裝傾角β和變化速率Fig.14 Skew angle β and rate for two CMGs used

5 結(jié)束語

文中設(shè)計了一種可變構(gòu)型的控制力矩陀螺控制方法，提升了控制力矩陀螺群角動量輸出能力，實現(xiàn)航天器敏捷機(jī)動能力的進(jìn)一步提升。具體為：

1)通過改變控制力矩陀螺群安裝構(gòu)型傾角β，實現(xiàn)了金字塔構(gòu)型下，YOZ平面中Z軸的CMG群合成角動量由180 N·m·s提高到280 N·m·s，使航天器Z軸敏捷機(jī)動能力提升約55%。

2)設(shè)計了CMG框架角δi、高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ωi以及安裝構(gòu)型傾角β等多變量避奇異操縱律，實現(xiàn)了在金字塔構(gòu)型下，XOY平面內(nèi)CMG無奇異操縱角動量范圍由110 N·m·s擴(kuò)大到150 N·m·s左右，使CMG無奇異操縱范圍提升36%左右。

3)在金字塔構(gòu)型下，存在CMG故障時，現(xiàn)有的CMG操縱律實現(xiàn)航天器三軸敏捷機(jī)動面臨諸多約束，文中設(shè)計的可變構(gòu)型的控制力矩陀螺控制方法，實現(xiàn)了不同數(shù)目CMG故障下的衛(wèi)星三軸敏捷機(jī)動控制，滿足不同工況下的姿態(tài)機(jī)動需求，具有更強(qiáng)的魯棒性。

為使本文提出的方法能夠在實際應(yīng)用得到推廣，仍需要進(jìn)一步分析驅(qū)動構(gòu)型傾角β變化的執(zhí)行機(jī)構(gòu)能力以及各個CMG的角動量變化對執(zhí)行機(jī)構(gòu)的反作用影響。