高中數(shù)學解題中變式訓練應用研究

■蔡曉慶

作者單位：江蘇省蘇州市相城區(qū)望亭中學

變式訓練就是通過構(gòu)造變式，將題目中的條件或者結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)一題多練，有效鍛煉同學們的思維能力，使同學們更加深刻地掌握數(shù)學知識，提高數(shù)學學習效率。下面具體分析變式訓練在數(shù)學解題中的實際應用。

一、一題多變

1.改變表達方式，本質(zhì)不變。

例1已知點M(-11，14)，N(-12，15)，若是存在一個點O(a，b)與點M，N構(gòu)成的夾角∠MON恒為直角，求點O的軌跡方程。

變式訓練1：若是過點M(-11，14)的直線l1和過點N(-12，15)的直線l2是垂直的，求垂足O的軌跡方程。

變式訓練2：已知點M(-11，14)，N(-12，15)為兩個定點，使動點O滿足OM垂直于ON，求點O的軌跡方程。

分析：以上兩道變式題的解答需要用到的數(shù)學知識點是一致的，但是在數(shù)學符號和表達方式上出現(xiàn)了變化，這也是非常常見的變式訓練中的干擾項。同學們在解答題目的過程中，可以運用向量知識、圓的性質(zhì)定理進行求解，并且將相關(guān)的數(shù)學知識關(guān)聯(lián)起來，從而將數(shù)學知識有效融合。

2.透過問題看本質(zhì)。

例2已知△ABC是等邊三角形，過A點作一條直線和BC的中點M相交。求證：AM為∠BAC的角平分線。

變式訓練3：已知等邊三角形△ABC，過點A和BC的中點M作一條直線，求證：AM為BC的垂線。

分析：該題目考查的數(shù)學知識為等邊三角形三線合一的性質(zhì)定理。運用變式訓練解決數(shù)學問題就是引導同學們運用等邊三角形的性質(zhì)去突破題目，從而明白求等邊三角形的角平分線就是求解三角形的垂線或者中線，從而有效調(diào)動同學們的思維能力和應變能力，靈活運用數(shù)學知識解答數(shù)學問題。

二、一題多解

變式訓練中，不僅是改變題目的已知條件或者結(jié)論，還可以是一題多解，這也是變式訓練中常見的現(xiàn)象。

1.題設(shè)不變，改變問題。這種就是在改變問題的基礎(chǔ)上，讓同學們進行再解答。

例3在橢圓上存在一個點Q，使它與兩個焦點M1，M2的連線相互垂直。當M1，M2與Q三點之間為鈍角時，求點Q的橫坐標的取值范圍。

變式訓練4：在橢圓上存在一個點Q，使之與橢圓的兩個焦點M1，M2的連線相互垂直，求點M的橫坐標的取值范圍。

分析：本題是在原題的基礎(chǔ)上進行拓展訓練，進一步引導同學們運用數(shù)學知識分析和解決問題，從而提高數(shù)學邏輯推理能力，提高數(shù)學學習效率。

2.題干和問題表達同時發(fā)生變化。

例4已知圓O的軌跡方程為x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上點Q(x0，y0)的切線方程。

變式訓練5：已知Q(x0，y0)為圓O：x2+y2=r2上的一點(異于圓心)，求直線x0x+y0y=r2和圓O的交點一共有幾個?有什么幾何意義?

變式訓練6：已知點Q(x0，y0)在圓O：x2+y2=r2的外部，那么直線x0x+y0y=r2有什么幾何意義?

分析：對題目進行變式訓練，可以促使同學們從這些類似的題目中加強對數(shù)學知識的理解和運用，從而提高自身的應變能力，提高數(shù)學學習效率。

結(jié)束語：高中數(shù)學學習中應用變式訓練解決數(shù)學問題，主要就是在題目上設(shè)置干擾因素，但是原題的實質(zhì)性內(nèi)容不會發(fā)生變化，在數(shù)學學習中，同學們要改變傳統(tǒng)的解題思路，科學運用變式訓練的方式解決數(shù)學問題，從而有效提高自身的綜合素養(yǎng)。