一種瓦楞紙箱抗壓強度的計算方法

鞏桂芬， 劉雨杉， 孫德強

(陜西科技大學 陜西省造紙技術(shù)及特種紙品開發(fā)重點實驗室 中國輕工業(yè)紙基功能材料重點實驗室 輕化工程國家級實驗教學示范中心， 陜西 西安 710021)

0 引言

瓦楞紙箱是一種應用范圍極廣的包裝制品，其消耗量一直是各種包裝產(chǎn)品之首.瓦楞紙箱不僅能夠保護產(chǎn)品，方便儲運，還可以回收利用，屬于綠色環(huán)保產(chǎn)品[1].為了確保流通過程中紙箱內(nèi)部產(chǎn)品的質(zhì)量與安全，紙箱的技術(shù)規(guī)格必須符合使用要求，其中抗壓強度是檢驗瓦楞紙箱質(zhì)量的關(guān)鍵指標之一，其大小對紙箱的安全性非常重要.瓦楞紙箱的抗壓強度是指紙箱在試驗機均勻施加的動態(tài)壓力下可以承受的最大載荷和變形[2-4].

為了對瓦楞紙箱的抗壓強度進行理論分析，很多學者從不同的方向推導了許多經(jīng)驗公式，例如Kellicutt公式、Mckee公式和Woff公式等[5].當瓦楞紙箱從上到下承受垂直載荷時，紙箱的側(cè)板由于載荷的作用開始變形，直至完全破壞，這個過程稱為側(cè)板的失穩(wěn)[6].結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的損失稱為(結(jié)構(gòu))屈曲[7]，瓦楞紙箱被壓縮后發(fā)生變形并失去其原有的穩(wěn)定性，這就是紙箱的屈曲.

現(xiàn)階段紙箱抗壓強度主要是通過經(jīng)驗公式進行計算，而對壓縮過程的理論研究較少.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論被廣泛應用在建筑、土木、航空航天等領(lǐng)域，而將結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論應用在瓦楞紙箱的研究過程中較為少見.但了解紙箱屈曲原理，并將屈曲引入紙箱抗壓強度的可靠性計算中，對于提高紙箱的可靠性，改善和優(yōu)化紙箱設計都具有一定的作用.

1 瓦楞紙板簡化模型

瓦楞紙板內(nèi)有瓦楞芯紙形成的空心結(jié)構(gòu)，屬于夾層板，與普通正交各向異性薄板不同，為了方便研究，通常需要合理地簡化瓦楞紙板的性能.賀妙欣等[8]將瓦楞紙板簡化為單層各向同性的薄板，并通過理論計算和有限元分析，結(jié)果誤差在5%以內(nèi)，表明簡化模型有效.故為了方便計算，本文也將正交各向異性的瓦楞紙板等效為各向同性的薄板，主要簡化方法如下：

正交各向異性薄板在橫向載荷q(x,y)作用下的撓度偏微分方程如下：

(1)

(2)

式(2)中：E1、E2-彈性主向下的拉壓彈性模量；μ1、μ2-彈性主向所對應的泊松比；D1、D2-彈性主向下的抗彎剛度；D3-有效抗扭剛度；Dk-彈性主向下的抗扭剛度.

對于普通薄板其剪切主模量G12與彈性模量E存在以下關(guān)系：

(3)

即可以得到：

(4)

由式(3)和(4)等效各向同性薄板的力學常數(shù)為：

(5)

式(5)中：t-薄板厚度；D-抗彎剛度.其等效的各向同性板長寬尺寸x,y變換為[9]：

(6)

根據(jù)以上等效可以得到其抗彎剛度如下：

(7)

其撓度微分方程變?yōu)椋?/p>

(8)

另q(x1,y1)=q1(x1,y1)，將式(8)和D1、D2、D3代入式(1)中可得：

(9)

2 瓦楞紙箱臨界屈曲載荷

2.1 薄板的壓曲

在彈性力學中，平板是指被兩個平行平面以及垂直于這兩個平行平面的柱面所圍成的對象，也可以簡稱為板[10].根據(jù)板的厚度可以將板分為三種：厚板、薄板和薄膜.瓦楞紙板屬于薄板.

當薄板在僅受縱向載荷的作用時，其屈曲時關(guān)于撓度w的微分方程如下：

(10)

式(10)中：t為薄板的厚度，F(xiàn)Tx、FTxy是拉力，F(xiàn)Ty、FTyx為平錯力或縱向剪力，又稱為順剪力.

當薄板從平面平衡狀態(tài)進入彎曲狀態(tài)時，撓度w從零開始變化，因此增加的形變勢能與薄板的總彎曲應變勢能相等.其功能方程如下：

W=Vε

(11)

而其中的彎曲形變勢能Vε根據(jù)瑞利里茨法(Rayleigh-Ritz method)可知其有如下表達：

Vε=

(12)

縱向載荷所做的功W，可以根據(jù)由該載荷所引起的中面內(nèi)力做的功來進行計算.FTx、FTy、FTxy表示的是載荷在板的任一微分塊中的中面內(nèi)力，如圖1所示.

圖1 中面內(nèi)力微分圖

設該微分塊左右兩側(cè)的內(nèi)力FTxdy初始距離為dx，當薄板彎曲后，這個距離則變?yōu)椋?/p>

(13)

同樣地，該微分塊上下兩側(cè)的內(nèi)力FTxdx所做的功為：

(14)

對于平錯力FTxy=FTyx，可以計算出其45 °方向上的拉力和伸縮量，再利用式(13)和式(14)，可以求得他們所做的功為：

(15)

該微分塊中全部中面內(nèi)力所做的功可以通過疊加上面三式得到：

(16)

由此可以得出整個薄板內(nèi)的中面內(nèi)力做的功，即縱向載荷壓曲過程做的功：

(17)

為了獲得更準確的臨界載荷值，同時使得設定的撓度更好的符合臨界載荷作用下的撓度，可以將撓度的表達式設定為：

(18)

式(18)中：wm是滿足位移邊界條件的撓度函數(shù)，Cm是與其互不依賴的待定系數(shù).在選擇合適的Cm時，可以使用最小勢能原理.假設在平面平衡狀態(tài)下薄板的形變勢能和載荷勢能都等于零，那么屈曲狀態(tài)下薄板的形變勢能就為Vε，載荷勢能為V=-W，同時總勢能為Vε+V，即Vε-W，于是可以根據(jù)最小勢能原理求得：

(19)

為了使得撓度具有非零解，就必須令Cm具有非零解，因而上述齊次線性方程組的系數(shù)行列式就必須等于零，由此即可求得臨界載荷的方程.

2.2 瓦楞紙板的臨界屈曲載荷

瓦楞紙板的不穩(wěn)定的形式屬于分支點失穩(wěn)，由于瓦楞紙板的主要使用范圍在彈性范圍內(nèi)，且對于紙箱而言，其抗壓強度一般發(fā)生在彈性末端，所以可以視為彈性屈曲.在壓力試驗中紙板只受到來自垂直方向的壓力，其各邊平面外的自由度和繞垂直邊的面內(nèi)轉(zhuǎn)動自由度都是被約束的，因此可以將瓦楞紙板看作是四邊簡支的矩形薄板.靜力學分析主要研究的是靜止或者勻速狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)響應，不考慮慣性和阻尼效應，以及時間有關(guān)載荷的影響.而在瓦楞紙箱實際抗壓試驗中，上壓板運動速率在12±3 mm/min，上壓板勻速運動且速率極低，所以可以將其視為靜態(tài)載荷，此時紙板的屈曲為靜力屈曲.因此，瓦楞紙板的屈曲可以看作是四邊簡支的矩形薄板在靜載荷的作用下發(fā)生的彈性、靜力、分支點屈曲.求解瓦楞紙板的臨界屈曲載荷，即可簡化為求解四邊簡支的矩形薄板的臨界載荷[11].

同時對于質(zhì)量合格的瓦楞紙板在壓縮過程中不涉及脫膠問題，粘合劑對壓縮過程的影響甚微，故本文在對紙箱抗壓強度的研究中忽略粘合劑的作用.

如圖2所示，設四邊簡支的矩形薄板兩對邊承受均布壓力，即縱向載荷，其在板的每單位長度上可以表示為Fx，其中面內(nèi)力可以表示為：

FTx=-Fx,FTy=0,FTxy=0

(20)

圖2 四邊簡支均勻受壓薄板

法國力學家納維提出的納維解法，是利用雙三角級數(shù)求解薄板彎曲邊值問題，納維將撓度w的表達式定義為如下的重三角級數(shù)：

(21)

該式的物理意義為：當薄板在載荷作用下，x方向會變成m個半波，y方向會變成n個半波，Amn表示的是撓度的波幅，其中，m、n為任意正整數(shù).將式(21)代入到式(12)，并對x的積分從0到a，對y的積分從0到b，最后可以得到：

(22)

同時也將式(20)和(21)代入到式(16)中，可以得到：

(23)

而式(19)在此就變成了：

(24)

再將式(22)和(23)代入，可以求得：

(25)

令這個方程的系數(shù)行列式，即方程的唯一系數(shù)等于零，可以求得薄板臨界載荷的表達式為：

(26)

式(26)中：m、n可以取任意整數(shù).在一切可以滿足以上條件的縱向載荷中間，數(shù)值最大的即為臨界載荷，由式(26)可見，當n增加時，F(xiàn)x增加，所以應該取n=1，這也就表示在壓曲后，薄板沿著y方向只有一個正弦半波，所以令n=1，代入求解式(26)，得到臨界載荷：

(27)

或

(28)

其中：

(29)

依次命m=1，2，3，…，針對每一個m的值，都可以由式(29)計算出a/b取不同值時的k值，得到如圖3所示的一組曲線.

圖3 K值與板件長寬比的關(guān)系

(30)

2.3 瓦楞紙箱的臨界屈曲載荷

瓦楞紙箱的結(jié)構(gòu)破壞形式主要是紙箱的失穩(wěn)，在理論計算時通常是先對紙箱進行合理的簡化，再參考一定的經(jīng)驗公式，求出在彈性范圍內(nèi)，即紙箱使用范圍內(nèi)的臨界屈曲載荷.瓦楞紙箱的失效分析可以簡化為四個側(cè)板在壓力下的彈性屈曲，因此整個瓦楞紙箱的最大承載能力可以使用側(cè)板的臨界屈曲載荷來反向運算.在抗壓強度的測試中，紙箱的上表面受到緩慢增加的壓力，隨著壓力的增加，紙箱的變形量也會持續(xù)增加.而承受壓力的主要構(gòu)件是紙箱的側(cè)板.如果負載增加到某個閾值，則紙箱的側(cè)板將會產(chǎn)生橫向撓曲并失去原有穩(wěn)定性，此時的負載即為臨界屈曲載荷.紙箱由瓦楞紙板制成，紙箱的屈曲載荷與紙板的臨界載荷密切相關(guān)，瓦楞紙箱的屈曲載荷可以近似為[12]：

(31)

式(31)中：Pm是瓦楞紙板的邊壓強度，L和w分別是紙箱的長度和寬度，PcrL和PcrW分別是紙箱相應長方向和寬方向側(cè)板的臨界載荷.C和b是馬基提出的半經(jīng)驗公式中的經(jīng)驗常數(shù)：

(32)

式(32)中：PZ為單位板寬的壓損強度，PZ=BCT/Z，Z為紙箱周長，代入公式(30)、(31)，得到瓦楞紙箱抗壓強度的計算公式：

(33)

式(33)中：L1、W1、H1分別表示將正交各向異性的瓦楞紙板等效后所得的長寬高尺寸參數(shù).

3 算例

3.1 瓦楞紙箱物理試驗

試驗材料選擇陜西天成紙業(yè)有限公司生產(chǎn)的瓦楞紙板，瓦楞形狀為UV形，瓦楞楞型為B型，面紙、芯紙和里紙的定量分別為160 g/m2、130 g/m2和 160 g/m2；紙箱箱型為0201，尺寸為240 mm×192 mm×192 mm.試驗前對試樣進行預處理，按照GB/T 4857.2-2005的要求將試樣在23 ℃、相對濕度為50%的恒溫恒濕試驗室中處理48 h.

對瓦楞原紙(芯紙、面紙、里紙)進行拉伸試驗以獲得瓦楞紙板的彈性參數(shù)，每組試驗樣品數(shù)量為5.對瓦楞紙板進行邊壓強度試驗，試驗樣品數(shù)量為10.對瓦楞紙箱進行抗壓強度試驗，樣品的數(shù)量為5，使用膠帶對紙箱進行密封，避免在密封過程中損壞紙箱.有關(guān)拉伸試驗參照GB/T 1040.4-2006.邊壓試驗參照GB/T 6546-1998.有關(guān)使用壓力測試儀的壓縮和堆疊測試方法，參見國家標準GB/T 4857.4-2008.

試驗中所用到的設備有：紙與紙板厚度測定儀(PN-PT6)、CMT4304微機控制電子萬能試驗機、PN-CT300B型壓縮強度試驗儀、紙箱紙盒電腦打樣機(DCZ-2516，AOK)、CMT5504-BZ微機控制電子萬能試驗機.

試驗后紙板的彈性參數(shù)如表1所示.表1中的X、Y、Z方向分別是指是紙張纖維方向(X方向)、垂直于纖維的方向(Y方向)、面外方向(Z方向).

表1 瓦楞紙板的彈性參數(shù)

取10次邊壓試驗結(jié)果的平均值可以得出紙板的邊壓強度為2 689 N/m.取5次抗壓試驗結(jié)果的平均值可以得到瓦楞紙箱的抗壓強度為1 503.24 N.

3.2 瓦楞紙箱抗壓強度計算

本文用于試驗的瓦楞紙箱尺寸為240 mm×192 mm×192 mm，厚度t=3 mm，其側(cè)面可視為由四塊瓦楞紙板構(gòu)成，側(cè)板兩兩對稱，故可視為由尺寸240 mm×192 mm和192 mm×192 mm的兩類薄板組成，并將240 mm×192 mm尺寸稱為長方向板，將192 mm×192 mm尺寸稱為寬方向板.根據(jù)式(1～9)的等效原則，將長寬兩方向板均等效為各向同性薄板，薄板的彈性參數(shù)如表1所示.

簡化后的各向同性長方向板的尺寸變?yōu)椋?40 mm×220 mm，各向同性寬方向板的尺寸變?yōu)椋?92 mm×220 mm，其彈性參數(shù)變?yōu)?

E=338.9 MPa,μ=0.046.

聯(lián)立式(31)和(32)并將試驗所得的紙箱抗壓強度BCT、紙箱周長Z、側(cè)板臨界載荷Pcr的值代入到Excel中擬合，得到該瓦楞紙箱的經(jīng)驗常數(shù)：C=0.75,b=8.3.再代入公式(33)可以得到理論計算出的瓦楞紙箱抗壓強度為1 360.11 N.

將理論計算的臨界載荷和抗壓試驗得到的抗壓強度值進行對比，如表2所示.

表2 瓦楞紙箱抗壓強度的理論計算與試驗誤差

理論計算結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差是9.5%，證明利用結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論對瓦楞紙箱的抗壓強度進行計算的方法具有一定的參考價值.

4 結(jié)論

通過結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論將正交各向異性的瓦楞紙板等效為各向同性的薄板，建立四邊簡支的薄板等效模型，使用能量法，推導出瓦楞紙板的功能方程求出紙箱的臨界屈曲載荷.通過對比理論計算與試驗結(jié)果的差異，可以看出利用結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論計算瓦楞紙箱的抗壓強度具有一定的參考價值，得到了適用于瓦楞紙板的屈曲微分方程，建立了紙箱失穩(wěn)的理論基礎，為瓦楞紙箱抗壓強度的理論研究提供了依據(jù).