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    內(nèi)角和定理的分層練習(xí)教學(xué)法初探

    2022-06-01 16:43:01張淑華
    關(guān)鍵詞:定理三角形

    張淑華

    [摘 要]內(nèi)角和定理的分層練習(xí)教學(xué)法主要是將練習(xí)分為基礎(chǔ)練習(xí)、拓展練習(xí)、深入練習(xí),先通過運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理推算內(nèi)角,迅速回顧舊知,然后引進(jìn)外角的知識深化內(nèi)角和定理的應(yīng)用,最后用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和。

    [關(guān)鍵詞]三角形;內(nèi)角和;定理;公式推導(dǎo)

    [中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068(2022)08-0048-03

    “自己有一桶水,才能給學(xué)生一瓢水。”教師必須知識淵博,見識不凡,同時(shí)具備優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)能力,只有這樣才能在教學(xué)中高屋建瓴,從大局出發(fā),從細(xì)微處著眼,將精細(xì)的知識點(diǎn)合理巧妙地融合成知識體系,才能科學(xué)恰當(dāng)?shù)赝卣箤W(xué)生思維,做到點(diǎn)到即止,恰到好處。為了提高三角形內(nèi)角和專項(xiàng)練習(xí)的效率,筆者主要采取分層練習(xí)教學(xué)法,將單一的練習(xí)題做了延伸,使其覆蓋面更廣?,F(xiàn)將試教的成果整理如下,供各位同行參考。

    一、基礎(chǔ)練習(xí)熱身

    練習(xí)1.請判斷下面哪組的三個(gè)角能組成一個(gè)三角形。

    ①70°、60°、50°? ? ? ? ②65°、65°、50°

    ③37°、53°、100°? ? ? ④90°、40°、50°

    (學(xué)生仔細(xì)分析研判每組角的度數(shù),發(fā)現(xiàn)①②④三組角的和均為180°,判定它們可以組成三角形。與此同時(shí),進(jìn)一步仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn),②組組成的三角形實(shí)為一個(gè)等腰三角形,而④組組成的三角形則是一個(gè)直角三角形。)

    師(追問):能畫出④組數(shù)據(jù)所表示的三角形嗎?(學(xué)生畫圖)

    師(挑出兩個(gè)大小不一的直角三角形投影到電子白板上):為什么大小不一呢?

    生1:因?yàn)檫呴L可以靈活伸縮。

    師:換言之,三角形的三個(gè)角永恒不變時(shí),什么可以千差萬別?

    生2:面積大小以及各邊的長。

    (教師利用投影儀,將兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角(40°)疊放在一起,然后沿水平方向平移較大三角形的直角邊,與另一個(gè)三角形的非平行邊相交形成一系列的組合直角三角形(如圖1)。)

    師:仔細(xì)觀察這些組合而成的直角三角形,哪些元素發(fā)生了變化?哪些元素維持原樣?

    生3:三角形的大小在變,但是三角形的三個(gè)內(nèi)角沒變。

    練習(xí)2.推算圖2中各個(gè)三角形中∠B的大小。

    (學(xué)生獨(dú)自列式計(jì)算后,教師組織交流活動(dòng),并點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)②③④這三幅圖的形體特征歸納便捷算法。)

    【評析】通過運(yùn)用“三角形內(nèi)角和”定理推算內(nèi)角,讓學(xué)生迅速回顧舊知。值得肯定的是,教師讓學(xué)生依據(jù)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角大小畫出三角形圖案,這貌似一個(gè)不起眼的畫圖舉動(dòng),實(shí)際上隱喻了“相似三角形”的概念。學(xué)生在畫圖、對比、反思中發(fā)現(xiàn),雖然三個(gè)內(nèi)角始終恒定,但是邊長卻可以任意伸縮。通過投影顯現(xiàn)三角形的三條邊伸縮比例是同頻同步同比的,這也隱含了相似三角形對應(yīng)邊成比例的定理。之后推算內(nèi)角度數(shù)的練習(xí),及時(shí)鞏固了內(nèi)角和定理,稍帶回顧了特殊三角形的內(nèi)角分布等知識。

    二、拓展練習(xí)訓(xùn)練

    1.利用內(nèi)角和定理推算外角

    電子白板顯示一:內(nèi)外有別,用三角形內(nèi)角和定理可以推算它的外角,這叫內(nèi)外兼修。

    師(出示圖3):圖3中的∠1、∠2、∠3都是延長三角形一邊所得,稱為三角形的外角。請同學(xué)們按要求答題。①分別推算出每個(gè)三角形中指定角的大小。②觀察分析運(yùn)算結(jié)果和所有角的度數(shù),看看有沒有什么規(guī)律可循。

    (學(xué)生獨(dú)自思索、演算,組內(nèi)磋商,再交流反饋)

    板書:圖形①,先計(jì)算∠1的鄰補(bǔ)角,180°-30°-30°=120°,再從平角中剪切得∠1=180°-120°=60°。圖形②直觀反映出∠2為直角,因此它的鄰角應(yīng)該是直角的補(bǔ)角90°,于是根據(jù)內(nèi)角和定理推知∠A=90°-30°=60°。圖形③,先根據(jù)外角求出內(nèi)角∠C的度數(shù),180°-110°=70°,再運(yùn)用內(nèi)角和定理求值,∠A=180°-30°-70°=80°。

    生:三角形的外角正好等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

    師:有根據(jù)嗎?敢肯定嗎?

    (學(xué)生復(fù)核后確認(rèn)。教師用光標(biāo)點(diǎn)擊圖形①的C點(diǎn),使其變成動(dòng)點(diǎn)(A、B仍為定點(diǎn)),并沿著BC所在直線向右平移,使學(xué)生親眼看見外角∠1由小到大的動(dòng)態(tài)變化過程,而不相鄰的內(nèi)角∠A也會(huì)隨之變化。)

    【評析】教師引進(jìn)外角的真實(shí)用意是讓學(xué)生通過觀察、利用外角與鄰近內(nèi)角的互補(bǔ)性以及對三角形內(nèi)角分配的影響,掌握內(nèi)角和定理。學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和,這是自主探究的收獲。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程,有效歷練了學(xué)生的自主探究能力。

    2.利用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和

    師:三角形內(nèi)角和不但可以解決外角的問題,還能解決多邊形的內(nèi)角和問題。

    電子白板顯示二:運(yùn)用三角形內(nèi)角和來推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和定理。

    要求:①觀察表中各圖有幾個(gè)內(nèi)角;②請你想辦法求出各圖的內(nèi)角和;③尋找規(guī)律,探討計(jì)算公式;④組內(nèi)交流。

    生:四邊形沿著一條對角線可分割成兩個(gè)三角形,因而它的內(nèi)角和是2×180°=360°;從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),沿著2條對角線可將其分割成三個(gè)三角形,因此它的內(nèi)角和是3×180°=540°;從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),沿著三條對角線可將其分割成四個(gè)三角形,因此它的內(nèi)角和是4×180°=720°……

    師(在表中的圖上演示對角線連接法):按規(guī)則把圖形分成幾個(gè)三角形后再計(jì)算,你們從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

    (學(xué)生對比歸納類推,概括出“n邊形”的內(nèi)角和公式——(n-2)×180°。教師呈現(xiàn)“凹凸”兩種多邊形,以四邊形和五邊形為例(如圖4)。)

    師:它們的內(nèi)角和是否還能沿用上述公式?? ? ? ? ? ?(教師用圖示法,使學(xué)生領(lǐng)悟這里的凹多邊形仍然可以沿用上述公式求內(nèi)角和(如圖5),只是分割時(shí)要從凹點(diǎn)引線。)

    師:這個(gè)公式是否對任意凹多邊形都管用?(暗示學(xué)生課后繼續(xù)研究)

    【評析】設(shè)計(jì)多邊形內(nèi)角和問題,用意是讓學(xué)生通過觀察、嘗試、計(jì)算、分析,發(fā)現(xiàn)共性,提煉公式,豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。歸納凸多邊形的內(nèi)角和公式難度不大,但教師并沒有止步于此,觸角繼續(xù)延伸到凹多邊形,引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)提煉出的公式“凹凸”通用,唯一不同的是,將凹多邊形切分成三角形時(shí),必須從凹點(diǎn)引線。教師用一個(gè)問題“這個(gè)公式是否對任意凹多邊形都管用?”將研究范圍延伸至課外。

    三、由靜到動(dòng),深化理解

    1.研究頂角的變化

    師:任意三角形的內(nèi)角和始終是180°。圖6是一個(gè)直角三角形。

    師:現(xiàn)將頂點(diǎn)沿著高線上下平移,先后形成三角形AB1C和三角形AB2C(如圖7)。

    師:觀察三角形AB1C和三角形AB2C,它們的內(nèi)角較之前有什么變動(dòng)?平移頂點(diǎn)后形成的兩個(gè)三角形是什么三角形?

    (學(xué)生獨(dú)自思索,合作探討后匯報(bào)展示。)

    生1:三角形AB1C的頂角縮小,底角變大。原圖演變成銳角三角形。

    生2:三角形AB2C的頂角變大,底角縮小。原圖演變成鈍角三角形。

    師:發(fā)揮想象,若繼續(xù)加大平移幅度,原三角形的頂角和底角會(huì)呈現(xiàn)什么變化趨勢?

    生:頂點(diǎn)越往上移動(dòng),頂角越小;頂點(diǎn)越往下移動(dòng),頂角越大。

    2.研究與圓有關(guān)的三角形內(nèi)角的變化

    師:剛才頂點(diǎn)是沿著高豎直移動(dòng),假如沿著圓弧移動(dòng),會(huì)是怎樣呢?

    師(先投影一個(gè)圓,再畫直徑AB,在圓弧上任意取點(diǎn)C,并連接CA、CB,組成一個(gè)三角形,如圖8):這樣內(nèi)接在圓內(nèi)的三角形會(huì)是什么形狀?

    (學(xué)生不斷畫圖試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)所畫的三角形均為直角三角形。)

    師:在圓弧上隨意定點(diǎn)C,連接CA、CB,得出的三角形ABC仍是直角三角形嗎?

    (學(xué)生探究核查)

    師:對比這些直角三角形,直角對應(yīng)一條半圓弧,另外兩個(gè)銳角對應(yīng)的弧線合起來也是一條半圓弧,因?yàn)檫@兩個(gè)銳角的和也是90°。

    師:在圓外隨意取點(diǎn),再來連接三角形。此時(shí)的三角形又是什么形狀?是什么三角形?

    (學(xué)生操作探究,發(fā)現(xiàn)所得的三角形都是銳角三角形,如圖9。)

    師:請大家再在圓內(nèi)取點(diǎn),所得的三角形會(huì)是什么形狀?

    (學(xué)生又經(jīng)過反復(fù)操作探究,發(fā)現(xiàn)其形狀是鈍角三角形,如圖9。此時(shí)學(xué)生無比興奮。)

    師:過一個(gè)鈍角三角形的鈍角頂點(diǎn),到對邊畫出垂線,與圓弧相交于C點(diǎn),這一點(diǎn)與A、B連接成的是一個(gè)直角三角形。

    師:通過剛才的操作,你明白其中原委嗎?

    【評析】在“圖形與幾何”教學(xué)中做到化靜為動(dòng)頗費(fèi)功力。一般在展示動(dòng)圖之前,應(yīng)先讓學(xué)生對靜態(tài)圖形進(jìn)行觀察和想象,再來演示,這樣就能使演示的圖形與學(xué)生的設(shè)想形成對應(yīng)。教師先讓學(xué)生觀察探究三個(gè)靜態(tài)的三角形,再動(dòng)態(tài)演示頂點(diǎn)上下平移,讓學(xué)生直觀感知頂角變化帶來底角變化的過程,然后讓學(xué)生想象加大平移幅度后的情景,為研究圓與三角形的相關(guān)知識進(jìn)行了預(yù)熱。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 李新,張明紅.聚焦學(xué)情調(diào)研 站穩(wěn)兒童立場:以蘇教版教材四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”為例[J].小學(xué)教學(xué)參考,2021(8):4-7.

    [2] 喬璽卉.創(chuàng)新路徑:讓數(shù)學(xué)思維可視化[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2021(4):31-32.

    [3] 劉亞東.莫讓“未卜先知”架空操作效力:“三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)改進(jìn)[J].小學(xué)教學(xué)參考,2021(5):21-22.

    [4] 李志軍.用教學(xué)“反綁”技術(shù):《三角形的內(nèi)角和》一課思考與教學(xué)[J].教育研究與評論(小學(xué)教育教學(xué)),2020(12):87-90.

    (責(zé)編 羅 艷)

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