數(shù)學(xué)思維在無(wú)機(jī)非金屬材料典型晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)中的應(yīng)用＊

張如權(quán)，陶詠真

數(shù)學(xué)思維在無(wú)機(jī)非金屬材料典型晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)中的應(yīng)用＊

張如權(quán)1，陶詠真2

（1.武漢紡織大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430200；2.武漢紡織大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430200）

從金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙相關(guān)知識(shí)點(diǎn)入手，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)推導(dǎo)NaCl型離子晶體和金剛石共價(jià)晶體結(jié)構(gòu)且演算其致密度。教學(xué)過(guò)程中把數(shù)學(xué)思維與專業(yè)知識(shí)有機(jī)滲透融合，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用熟悉的基礎(chǔ)知識(shí)理解抽象的專業(yè)知識(shí)，并積極參與課堂互動(dòng)。立足課本理論知識(shí)，注重交叉學(xué)科知識(shí)的融合及綜合運(yùn)用。通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，活躍課堂，培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)思維及解決復(fù)雜問題的綜合能力。

數(shù)學(xué)思維；離子晶體；共價(jià)晶體；致密度

“材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)”是一門材料類專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)理論課程，其中晶體結(jié)構(gòu)所涉及的教學(xué)內(nèi)容比較抽象微觀，對(duì)教師和學(xué)生而言，教授和學(xué)習(xí)這部分知識(shí)有一定的難度。在課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生參與課堂互動(dòng)程度低，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解大多限于知其然不知其所以然，教學(xué)效果不理想。因此，在晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生借助已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)理解抽象的專業(yè)知識(shí)，加強(qiáng)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，使課堂活躍。本文首先引導(dǎo)學(xué)生回顧金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，然后啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)推導(dǎo)NaCl型離子晶體和金剛石共價(jià)晶體的晶胞結(jié)構(gòu)，并結(jié)合文獻(xiàn)數(shù)據(jù)及離子晶體和共價(jià)晶體的化學(xué)鍵特點(diǎn)演算其致密度，從而培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)思維及叉學(xué)科知識(shí)的融合及綜合運(yùn)用能力，提高課堂教學(xué)效果。

1 金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙

金屬鍵無(wú)方向性且無(wú)飽和性，如果把金屬原子視為剛性小球，則金屬晶體可看作硬球緊密堆積形成的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。基于面心立方結(jié)構(gòu)的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生理解八面體和四面體間隙中心位置及間隙大小，為講解無(wú)機(jī)非金屬材料典型晶胞結(jié)構(gòu)作鋪墊。面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及間隙如圖1所示。

面心立方結(jié)構(gòu)的特征為立方體的6個(gè)面心和8個(gè)頂點(diǎn)占據(jù)原子，面心原子與同面的4個(gè)頂點(diǎn)原子相切。金屬原子呈球形，密堆積形成的面心結(jié)構(gòu)中存在八面體間隙和四面體間隙。結(jié)合面心立方晶胞的幾何圖形，講解面心立方結(jié)構(gòu)中6個(gè)面的面心原子形成一個(gè)八面體間隙。另外，一條棱上的兩個(gè)原子與共該棱的四個(gè)晶胞中的四個(gè)面心原子也可形成一個(gè)八面體間隙。隨后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)證明八面體間隙的中心分別位于體心和棱的中點(diǎn)，并分別用白色圓圈標(biāo)記于圖1（b）中。

圖1 面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及間隙

基于晶胞結(jié)構(gòu)的圖形和晶體結(jié)構(gòu)專業(yè)知識(shí)，從幾何角度解說(shuō)八面體間隙大小等于間隙中心與頂點(diǎn)原子的距離減去原子半徑，并引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)八面體間隙大小，具體過(guò)程如下：

面心立方八面體間隙大小=/2－

∴面心立方八面體間隙大小為0.414

即面心立方的一個(gè)八面體間隙可容納半徑不大于 0.414的粒子（原子、離子或分子）。

除了八面體間隙外，面心立方結(jié)構(gòu)中，1個(gè)頂點(diǎn)原子與共該頂點(diǎn)的3個(gè)面的面心原子形成一個(gè)四面體間隙。面心立方結(jié)構(gòu)有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)可對(duì)應(yīng)形成1個(gè)四面體間隙。四面體間隙存在于單個(gè)面心立方晶胞內(nèi)部，因此，單個(gè)面心立方晶胞可形成8個(gè)四面體間隙。該四面體間隙的中心分別位于過(guò)該頂點(diǎn)的體對(duì)角線的1/4處，間隙中心分別用白色圓圈標(biāo)記于圖1（c）中。從數(shù)學(xué)角度分析，四面體間隙大小等于過(guò)四面體4個(gè)頂點(diǎn)的外接圓半徑減去金屬原子的半徑。引導(dǎo)學(xué)生利用立體幾何及平面幾何知識(shí)推導(dǎo)四面體間隙大小，計(jì)算如下：

∴面心立方八面體間隙大小為0.225

即面心立方的一個(gè)四面體間隙可容納半徑不大于0.225的粒子（原子、離子或分子）。

2 離子晶體面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及致密度

離子晶體的晶胞結(jié)構(gòu)可視為陰離子形成的立方晶胞，陽(yáng)離子填充八面體間隙或四面體間隙[1]。以NaCl晶體為例，其晶胞結(jié)構(gòu)可看作氯離子緊密堆積形成面心立方結(jié)構(gòu)，鈉離子填充面心立方結(jié)構(gòu)的全部八面體間隙。則其結(jié)構(gòu)特征為立方體的6個(gè)面心和8個(gè)頂點(diǎn)被氯離子占據(jù)，12條棱的中心及體心被鈉離子占據(jù)。通過(guò)提問：“氯離子形成的面心立方結(jié)構(gòu)的八面體間隙是否能容納一個(gè)鈉離子？”，啟發(fā)學(xué)生思考并活躍課堂。隨后指導(dǎo)學(xué)生查閱課本上有關(guān)離子半徑及NaCl離子配位數(shù)等參數(shù)：=0.102 nm，=0.181 nm， 6配位離子晶體的陽(yáng)離子與陰離子半徑比為0.732>陽(yáng)離子/陰離子> 0.414[2]。

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“鈉離子如何穩(wěn)定存在于被撐開的氯離子形成的八面體間隙中？”，讓學(xué)生分組討論，加強(qiáng)生生互動(dòng)。隨后解說(shuō)0.732>（= 0.563）>0.414，NaCl保持6配位結(jié)構(gòu)，即鈉離子仍舊存在于被撐開的氯離子形成的八面體間隙中。盡管八面體頂點(diǎn)的氯離子不再相切，但鈉離子與八面體頂點(diǎn)氯離子相切，通過(guò)離子鍵形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。其晶胞結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示，6個(gè)面中心的氯離子被鈉離子撐開而不再與同面的頂點(diǎn)氯離子相切，但氯離子與相鄰的鈉離子相切，所以，NaCl晶胞的晶格常數(shù)=2（+）。下面以NaCl型離子晶體為例，引導(dǎo)學(xué)生演算離子晶體致密度，進(jìn)一步讓學(xué)生理解離子晶體的堆積程度：

∵一個(gè)NaCl型晶胞中含4個(gè)化學(xué)式單位

為了簡(jiǎn)化計(jì)算公式，令陽(yáng)離子與陰離子半徑比為，即：

FeO晶胞屬于NaCl型，F(xiàn)e2+=0.077 nm，O2-=0.140 nm[2]，所以=0.550，則：

通過(guò)查閱課本表格中的參數(shù)，結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)推導(dǎo)出NaCl型離子晶體的晶胞結(jié)構(gòu)及致密度計(jì)算通式，并求出NaCl和FeO晶胞致密度。教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生積極參與課堂進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)并獲得成就感。

3 共價(jià)晶體面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及致密度

金剛石和單晶硅都屬于典型的共價(jià)晶體，二者具有相同的立方晶胞結(jié)構(gòu)?；诮饘倬w面心立方結(jié)構(gòu)及間隙的幾何結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生理解共價(jià)晶體立方晶胞結(jié)構(gòu)。以金剛石為例，其晶胞結(jié)構(gòu)可看作一部分碳原子形成面心立方晶胞，另一部分碳原子填充面心立方晶胞中不相鄰的四面體間隙。則其結(jié)構(gòu)特征為立方體的6個(gè)面心、8個(gè)頂點(diǎn)以及4個(gè)不相鄰的四面體間隙中心占據(jù)碳原子。其晶胞結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示，金剛石為共價(jià)晶體，1個(gè)頂點(diǎn)碳原子、與共該頂點(diǎn)的3個(gè)面的面心碳原子，同時(shí)與它們形成的四面體間隙中心碳原子形成C-C共價(jià)鍵。

圖2 氯化鈉和金剛石的單位晶胞結(jié)構(gòu)

給學(xué)生展示文獻(xiàn)資料，引導(dǎo)學(xué)生獲得有關(guān)金剛石的結(jié)構(gòu)信息：鍵長(zhǎng)C-C= 0.154 45 nm，共價(jià)半徑C=0.077 23 nm，即C-C=2RC，鍵角為109°28′（約為109.5°）[3]。緊密堆積的金屬晶體面心立方四面體間隙大小為 0.225，則四面體間隙中心的碳原子，將四面體頂點(diǎn)碳原子撐開，導(dǎo)致面心原子與同面的頂點(diǎn)原子不再相切?；趫D2（b）所示的晶胞結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何及三角函數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算金剛石晶格常數(shù)與鍵長(zhǎng)C-C及碳原子半徑C的關(guān)系，具體推導(dǎo)如下：

2=2+2=22

為了讓學(xué)生理解共價(jià)晶體的堆積程度，下面以金剛石共價(jià)晶體為例，引導(dǎo)學(xué)生演算共價(jià)晶體面心立方結(jié)構(gòu)晶胞致密度，具體如下：

∵一個(gè)金剛石晶胞中含8個(gè)碳原子

由推導(dǎo)過(guò)程可知，金剛石的致密度與碳原子半徑和鍵長(zhǎng)無(wú)關(guān)，只與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，單晶硅與金剛石具有相同的晶體結(jié)構(gòu)，因此，單晶硅的致密度也為33.97%。金剛石和單晶硅具有較低的致密度。結(jié)合文獻(xiàn)數(shù)據(jù)及學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理解共價(jià)晶體的結(jié)構(gòu)及演算致密度，學(xué)生積極參與且深入鉆研，從而提高課堂教學(xué)效果。

4 結(jié)論

基于金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及晶體結(jié)構(gòu)專業(yè)知識(shí)理解離子晶體和共價(jià)晶體面心立方結(jié)構(gòu)的特征。課堂教學(xué)過(guò)程中，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與專業(yè)知識(shí)交叉滲透，并引導(dǎo)學(xué)生查閱文獻(xiàn)，演算無(wú)機(jī)非金屬典型晶胞的致密度。強(qiáng)化師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，學(xué)生積極參與課堂且深入鉆研，從而培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)能力并提高學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效果。

［1］阮德水，黎原斌，賀洛夫.無(wú)機(jī)晶體結(jié)構(gòu)及其模型的教學(xué)［J］.益陽(yáng)師專學(xué)報(bào)，1989（6）：82-88.

［2］顧宜，趙長(zhǎng)生.材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)［M］.2版.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2011.

［3］賀福.碳的結(jié)構(gòu)［J］.碳素，1984（3）：12-20.

G642

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.22.018

2095－6835（2020）22－0045－03

2019湖北省教育廳材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（110）

張如權(quán)（1976—），男，湖北武漢人，碩士，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。陶詠真（1973—），女，湖北武漢人，博士，教授，研究方向?yàn)楦叻肿硬牧霞案叻肿游锢怼?/p>

〔編輯：張思楠〕