立足學(xué)生實(shí)際 探究數(shù)學(xué)魅力—以面積教學(xué)為例

陳 娟

（江蘇省啟東市長(zhǎng)江小學(xué)，江蘇啟東 226200）

引 言

數(shù)學(xué)是研究模式、規(guī)律的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角來(lái)探索身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和變化規(guī)律，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中學(xué)會(huì)觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、歸納，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。在“面積”教學(xué)中，筆者通過(guò)安排探究活動(dòng)，讓學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生在測(cè)量、計(jì)算、比較、思考、交流中經(jīng)歷“猜想、驗(yàn)證、結(jié)論”的學(xué)習(xí)過(guò)程，強(qiáng)化學(xué)生的自主探索意識(shí)，體會(huì)“面積”的內(nèi)涵，使學(xué)生從所獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、方法中發(fā)展數(shù)學(xué)解題能力。

一、確立教學(xué)目標(biāo)，引出數(shù)學(xué)猜想

在學(xué)習(xí)“面積”時(shí)，對(duì)“面積”概念的理解，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在測(cè)量、計(jì)算、比較中進(jìn)行認(rèn)知；對(duì)平面圖形面積的變化規(guī)律進(jìn)行觀察，可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“面積”規(guī)律的理解，獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)放在平面圖形放大前后面積的變化規(guī)律并對(duì)其進(jìn)行探究的問(wèn)題上。

為此，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境：春天來(lái)了，小明和父母一起去大自然游玩，拍了很多照片。通過(guò)PPT 出示兩張照片，詢(xún)問(wèn)學(xué)生：如果小明想將其中一張照片打印出來(lái)，再裝上相框來(lái)裝扮書(shū)房，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)相框是什么形狀的？很顯然，學(xué)生看到照片是“長(zhǎng)方形”的，那么相框也應(yīng)該是“長(zhǎng)方形”的。假如它長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，我們將這個(gè)照片按照2∶1的比例放大，放大后的形狀是什么樣的？“長(zhǎng)方形”，很多學(xué)生快速回答道。放大后的照片，長(zhǎng)是多少，寬是多少？根據(jù)放大比例，學(xué)生也能很好地理解長(zhǎng)為24厘米，寬為16厘米。對(duì)于放大后的照片，面積是原來(lái)的幾倍？這時(shí)很多學(xué)生不假思索地回答“2倍”，也有個(gè)別學(xué)生回答為“4倍”。問(wèn)題產(chǎn)生了，我們就此展開(kāi)驗(yàn)證，到底是“2倍”還是“4倍”？根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，讓學(xué)生在演草紙上對(duì)放大前、放大后的照片面積進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較。然后，組織學(xué)生探究交流。有學(xué)生通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)放大后的面積是原來(lái)的“4倍”；有學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖的方式，先在紙面上畫(huà)出原圖，再畫(huà)出放大后的圖，兩者比較，可以分成四個(gè)原來(lái)的小長(zhǎng)方形。最后得出結(jié)論，在對(duì)原長(zhǎng)方形放大2倍后，其面積會(huì)放大4倍。

接下來(lái)，請(qǐng)學(xué)生觀察另外一張照片，如果我們想將它放大5倍，放大后的面積是原來(lái)的幾倍？如果我們將它放大10倍，放大后的面積是原來(lái)的幾倍？請(qǐng)學(xué)生自主嘗試，并與同桌交流。很快，在學(xué)生的自主計(jì)算、嘗試、比較中，他們發(fā)現(xiàn)放大5倍后，面積是原來(lái)的25倍，即25∶1；放大10倍后，面積是原來(lái)的100倍，即100∶1。為什么學(xué)生回答得這么快？有學(xué)生提出，長(zhǎng)方形放大一定倍數(shù)后，其面積的比是原來(lái)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比的平方，這就是計(jì)算后得出的規(guī)律。也就是說(shuō)，如果我們對(duì)一個(gè)長(zhǎng)方形按照n∶1的比例放大，放大后的面積是原來(lái)的n2倍，面積之比為n2∶1。

在整個(gè)探究過(guò)程中，我們結(jié)合生活中的照片原型，以長(zhǎng)方形為例，觀察放大前后面積的變化，并鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證規(guī)律，從而得出長(zhǎng)方形放大后的面積變化規(guī)律。

二、合作探究，延伸數(shù)學(xué)思維

在數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中，通過(guò)對(duì)照片放大規(guī)律的探究，啟發(fā)學(xué)生從畫(huà)圖、計(jì)算、推理中形成直覺(jué)思維。整個(gè)探索過(guò)程實(shí)現(xiàn)了學(xué)生已有知識(shí)與新知識(shí)的銜接。前面我們對(duì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)挵磏∶1 比例放大，然后得出放大后的面積與原來(lái)長(zhǎng)方形的面積之比為n2∶1。從這個(gè)規(guī)律中，學(xué)生是否還能提出其他的、新的問(wèn)題？有學(xué)生提出，對(duì)于正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓等其他平面圖形，當(dāng)按比例放大后，其面積是否也存在同樣的規(guī)律？對(duì)此，我們就平面圖形中按比例放大后，其放大前后圖形面積之比的變化規(guī)律進(jìn)行合作探究，并進(jìn)行歸納。在探究中，將不同平面圖形進(jìn)行分類(lèi)，計(jì)算放大前后的面積并填表，觀察表格中的數(shù)據(jù)，找出對(duì)應(yīng)的規(guī)律。

根據(jù)平面圖形按比例放大后面積的變化規(guī)律，請(qǐng)學(xué)生討論交流，結(jié)合具體的平面圖形，按照相應(yīng)的數(shù)值進(jìn)行類(lèi)比推理。有學(xué)生提出，當(dāng)平面圖形按照比例放大后，其面積之比都是n2∶1。因此，教師可請(qǐng)學(xué)生思考，為什么平面圖形中會(huì)有這樣的變化規(guī)律？“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！睂?duì)于長(zhǎng)方形，通過(guò)按比例放大，對(duì)放大后的面積進(jìn)行計(jì)算，得出n2∶1的變化規(guī)律；那么，對(duì)于其他圖形，如三角形、平行四邊形、圓等，是不是也具有同樣的規(guī)律？這一探究問(wèn)題順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，加深了他們對(duì)問(wèn)題的探索，讓學(xué)生能夠通過(guò)小組合作，對(duì)其他圖形放大后的面積變化規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，深化對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解和感知，從合作、探究中提升認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力[1]。

三、分層練習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)化

結(jié)合前面的探究實(shí)踐活動(dòng)，接下來(lái)我們要展開(kāi)數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練，引領(lǐng)學(xué)生從分層演練中洞悉數(shù)學(xué)規(guī)律，促進(jìn)數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)化。如某平行四邊形的面積為8cm2，按照3∶1的比例放大后，得到的平行四邊形的面積是多少？同樣，一個(gè)三角形按照4∶1的比例放大，放大后的三角形的高為8cm，則原來(lái)三角形的高是多少？根據(jù)所掌握的平面圖形按比例放大的面積變化規(guī)律，請(qǐng)學(xué)生對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解。然后，結(jié)合前面所學(xué)知識(shí)，教師引入應(yīng)用題：假設(shè)校園的花圃需要擴(kuò)建，按照平面圖比例尺1∶1000，平面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4cm，寬為2cm，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算校園花圃擴(kuò)建后的面積是多少？這里的比例尺1∶1000 代表什么？通過(guò)學(xué)生的回顧和反思，他們了解到應(yīng)用題中的比例尺1∶1000 就是平面圖與實(shí)際花圃尺寸的比值，也就是將平面圖放大1000倍，得到的就是真實(shí)花圃的大小。根據(jù)比例尺的比值，我們可以將平面圖的長(zhǎng)、寬放大1000倍，得到花圃實(shí)際的長(zhǎng)和寬，就可以計(jì)算出花圃的實(shí)際面積了。

由此，基于對(duì)平面圖放大過(guò)程中的面積變化規(guī)律的探究，我們可以結(jié)合生活實(shí)例，進(jìn)行驗(yàn)證和解決實(shí)際問(wèn)題?！疤岢鲆粋€(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要?！苯Y(jié)合所學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生思考還能提出哪些猜想？如通過(guò)放大平面圖形分析面積的變化規(guī)律，縮小平面圖形來(lái)分析其面積變化規(guī)律，通過(guò)面積的變化規(guī)律來(lái)分析圖形周長(zhǎng)的變化規(guī)律……在探究體驗(yàn)中，我們由“問(wèn)號(hào)”讓學(xué)生展開(kāi)猜想、思考、合作學(xué)習(xí)，得到“句號(hào)”，再由“句號(hào)”進(jìn)行延伸，提出“問(wèn)號(hào)”。這種循環(huán)往復(fù)的不斷推想的過(guò)程，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)的形成，使學(xué)生迸發(fā)創(chuàng)新思維，促進(jìn)其數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)化與應(yīng)用。

結(jié) 語(yǔ)

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)規(guī)律探索與實(shí)踐，在數(shù)學(xué)猜想、驗(yàn)證、總結(jié)中激發(fā)學(xué)生的好奇心，引領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律，感受數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)中的概念、法則、公式、性質(zhì)等規(guī)律性知識(shí)，抽象性較強(qiáng)，理解較困難。通過(guò)問(wèn)題探究、合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)發(fā)散思維中來(lái)觀察、比較、歸納、總結(jié)，逐漸建構(gòu)數(shù)學(xué)規(guī)律，形成數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和創(chuàng)新精神，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的漸進(jìn)提升。