培養(yǎng)學(xué)生“懂而會(huì)” 提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力

顏福進(jìn)

（張家港市沙洲中學(xué)，江蘇蘇州 215600）

引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，需要學(xué)生通過高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能獲得適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，滿足個(gè)人發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步的需要。因此，在數(shù)學(xué)教育中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力顯得更加重要[1]。懂、會(huì)、熟、巧是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中螺旋上升的四個(gè)層次，其中，“懂”與“會(huì)”是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本要求。在當(dāng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既存在“懂而不會(huì)”問題，又存在“會(huì)而不懂”問題。一味糾結(jié)學(xué)生的“懂而不會(huì)”與“會(huì)而不懂”都是不成功的教育，筆者希望學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)做到懂而會(huì)、會(huì)而熟[2]。

一、消除“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的策略思考

常有學(xué)生反映“課上聽得懂，課后作業(yè)不會(huì)做”，俗稱“懂而不會(huì)”問題。這種問題的背后主要有兩個(gè)原因：一是學(xué)生的“懂”是表面上的懂，懂的可能只是知識(shí)性記憶，或者是“對(duì)這個(gè)問題就可以這樣解”，而不是思考“為什么要這樣解”；二是從“懂”到“會(huì)”有一個(gè)過程，需要學(xué)生的“加工”，即思考、分析、理解、運(yùn)用，才能達(dá)到“會(huì)”；三是有的學(xué)生對(duì)教師有很強(qiáng)的依賴性，遇到不會(huì)的問題不會(huì)主動(dòng)思考、解答，而是等待教師去講解。所以有的學(xué)生盡管上課時(shí)聽得“頭頭是道”，課后做練習(xí)時(shí)卻找不著解題方向，原以為聽懂了就記住了，其實(shí)并沒有內(nèi)化為自己的知識(shí)能力[3]。

學(xué)生“懂而不會(huì)”的問題，如何消除呢？教師在課堂上可以通過及時(shí)暴露學(xué)生的“問題”和加強(qiáng)“變式教學(xué)”兩種措施來實(shí)現(xiàn)。

（一）及時(shí)暴露學(xué)生問題，讓學(xué)生“懂”得深一點(diǎn)

教師要善于預(yù)設(shè)課堂上的問題，知曉學(xué)生的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)。課堂上，要引導(dǎo)學(xué)生提出問題，包括個(gè)人理解、看法、學(xué)習(xí)體會(huì)等，將問題當(dāng)堂解決，而不要留到課后。

案例1：在教學(xué)“基本不等式”的內(nèi)容時(shí)，教師可以運(yùn)用這一例題。已知a，b∈R+，且a+2b=1，求的最小值。

生1：由a，b∈R+，由可得又因a+2b=1，所以故的最小值為

生2：由a，b∈R+和a+2b=1，得故的最小值為

教師請(qǐng)兩位學(xué)生分別交流自己的解題思路，看似很有道理，但他們利用了兩個(gè)基本不等式的運(yùn)算（加法和乘法），最后能不能取到等號(hào)呢?這個(gè)知識(shí)是這部分內(nèi)容的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)。教師應(yīng)當(dāng)在課堂上通過和學(xué)生一起分析，師生合作，尋找產(chǎn)生問題的原因。

本題等號(hào)成立的條件需要前兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，但在本題中是不可能的，故這兩種解法都是錯(cuò)誤的。解答本題時(shí)盡量只選用一個(gè)不等式，將a+2b=1 代入，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是這樣才是正確的解題過程。

課堂上對(duì)學(xué)生暴露出的問題，教師不要急于否定，要讓學(xué)生講出來，師生一起尋找問題、分析問題。問題是課堂上最好的教學(xué)資源，在師生共同解決問題的過程中，學(xué)生對(duì)知識(shí)就會(huì)“懂”得更深一點(diǎn)。

（二）加強(qiáng)“變式教學(xué)”，培養(yǎng)學(xué)生的思考、辨析能力

變式教學(xué)是運(yùn)用不同的知識(shí)和方法，對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題等進(jìn)行不同角度、不同層次、不同背景的變化，從而有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變中探求規(guī)律。課堂上，教師可以通過變式教學(xué)，提高學(xué)生的思考、辨析能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解[4]。

案例2：在教學(xué)“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，教師給出例題：判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由。

問題①的變式教學(xué)讓學(xué)生透徹理解該定義，掌握定義的內(nèi)涵和外延，特別是搞清楚函數(shù)存在奇偶性，必須滿足“函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”等有關(guān)問題。

這里學(xué)生忽略了先求函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)⒑瘮?shù)化簡(jiǎn)后再判斷函數(shù)的奇偶性。事實(shí)上，對(duì)函數(shù)由x-1 ≠0 得x≠1，所以此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)。

教師在課堂上安排變式教學(xué)，引發(fā)學(xué)生頭腦中固有思維模式的沖突，使學(xué)生加深對(duì)“函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的必要性的理解。教師設(shè)置反例、錯(cuò)例辨析的變式訓(xùn)練，通過對(duì)問題正面、側(cè)面、反面的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)所在，達(dá)到去偽存真、由此及彼的目的。這樣學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解就會(huì)更進(jìn)一步，“會(huì)”得就更多一點(diǎn)。

二、消除“會(huì)而不懂”現(xiàn)象的思考

學(xué)生會(huì)機(jī)械做題，但不太理解數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)演變成一種形式化、無意義、機(jī)械式的解題訓(xùn)練[5]。丘成桐教授曾與高考數(shù)學(xué)尖子生交流，學(xué)生的認(rèn)識(shí)令他頗為失望。大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)根本沒有清晰的概念，對(duì)定理不甚了了，只是淪為做習(xí)題的機(jī)器。所以，消除“會(huì)而不懂”現(xiàn)象勢(shì)在必行。一線教師在數(shù)學(xué)課堂上要多問學(xué)生為什么，開展深度教學(xué)，讓學(xué)生既“會(huì)”解題，又“懂”數(shù)學(xué)。

案例3：“組合”的教學(xué)中，規(guī)定：0! =1 。

生：為什么0! =1 ？

教師應(yīng)和學(xué)生一起探究，從組合的含義看，0!本身是無意義的，這確實(shí)不好理解。而且，我們知道當(dāng)n=m時(shí)，由組合數(shù)的含義，可知= 1。但根據(jù)組合數(shù)公式，又得到而產(chǎn)生了規(guī)定0!的必要性。那么，規(guī)定等于多少呢?由此只能規(guī)定等于1，而不能等于其他數(shù)，保證了組合數(shù)公式的合理性。

案例4：“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)中，把函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)。

生問：為什么a＞0，a≠1？

對(duì)于a≠1，一般都理解為：若a=1，y=a為常數(shù)函數(shù)，研究?jī)r(jià)值不大。對(duì)于為什么要a＞0的解釋，有些人認(rèn)為是使x∈R，這顯然是一種沒有思考而做出的錯(cuò)誤判斷。其實(shí)，當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，如a=-2，(-2)x具有不確定性，有時(shí)有意義，如有時(shí)無意義，如當(dāng)?shù)?；有時(shí)是正數(shù)，比如(-2)2=4；有時(shí)又是負(fù)數(shù)，如(-2)3= -8。實(shí)際上，如果a＜0，y=ax就不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。對(duì)于一個(gè)不連續(xù)且充滿無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)研究起來會(huì)很麻煩，甚至無法研究。所以，為了研究方便，對(duì)a的范圍規(guī)定為

由于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻的理解和必要的探究，僅僅停留在表象的概括上，對(duì)知識(shí)只是“知其然，而不知其所以然”，對(duì)此，教師應(yīng)該讓學(xué)生“知其然，更知其所以然”。學(xué)生多數(shù)“會(huì)”而不“懂”的內(nèi)容，基本集中在數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)本質(zhì)問題上。這些“為什么”需要教師的重視和理解。教師可以查閱資料，從數(shù)學(xué)學(xué)科出發(fā)，給予學(xué)生明確、清晰的回答。學(xué)生也可以自主研究，開展文獻(xiàn)閱讀和數(shù)學(xué)寫作，采用多樣化的學(xué)習(xí)方式，持之以恒地思考，然后才能既“懂”又“會(huì)”，有所收獲[6]。

結(jié) 語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，教師應(yīng)幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。在課堂教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，不要“以其昏昏，使人昭昭”。因此，培養(yǎng)學(xué)生既“懂”又“會(huì)”，不僅能利用數(shù)學(xué)知識(shí)解題，還能“懂”數(shù)學(xué)，“會(huì)”研究數(shù)學(xué)，成為研究型的學(xué)生。