初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用研究

胡玉存

（甘肅省武威市涼州區(qū)高壩鎮(zhèn)十三里堡九年制學(xué)校，甘肅武威 733000）

引 言

根據(jù)我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求，初中數(shù)學(xué)教育應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)人思維。教師要采取科學(xué)的教學(xué)方法，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。而數(shù)學(xué)中的分類討論思想是常見的思想方法之一，在許多應(yīng)用題的解析過程中，都能夠得到良好的應(yīng)用。因此，許多初中數(shù)學(xué)教師都將分類討論思想與實(shí)際教學(xué)相結(jié)合，基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的要求，進(jìn)而推動(dòng)我國(guó)初中數(shù)學(xué)教育事業(yè)的良性發(fā)展[1]。

一、初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的重要性與原因

（一）初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的重要性

面對(duì)當(dāng)代教育的改革，數(shù)學(xué)作為初中教育體系中的重要科目，也成為學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)中的難點(diǎn)之一。針對(duì)如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，教師需要將數(shù)學(xué)思想的滲透作為著力點(diǎn)，以全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。初中階段是青少年的成長(zhǎng)階段，在這一成長(zhǎng)階段的學(xué)生對(duì)周圍的新鮮事物有強(qiáng)烈的好奇心，且自身的自制能力也相對(duì)較弱，而教師可利用學(xué)生的這一成長(zhǎng)特點(diǎn)，將其作為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵前提，從而通過一些教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生興趣，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)意識(shí)。在初中數(shù)學(xué)解題過程中，分類討論思想就是從多個(gè)角度更加全面地論述問題，并最終確定題目的正確答案。這種方案化的解題方式，往往可以拓寬學(xué)生的思維寬度，強(qiáng)化學(xué)生在面對(duì)各類問題時(shí)的思維跳躍性與靈活性。針對(duì)不同的學(xué)習(xí)情況，教師更應(yīng)有針對(duì)性地展開教學(xué)，這樣才能提升課堂的教學(xué)效率。

（二）初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的重要性成因

當(dāng)代教育的教學(xué)理念是因材施教。對(duì)于不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師應(yīng)采取多樣化的教學(xué)方式，對(duì)不同層次的學(xué)生開展符合其學(xué)習(xí)需求的教學(xué)方法。在實(shí)際解題教學(xué)中，教師應(yīng)合理地引入分類討論思想，要根據(jù)實(shí)際的問題類型決定，如初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的三角形問題、函數(shù)問題與不等式問題等。對(duì)于題目的實(shí)際情況，所采取的分類討論、回答方式也多種多樣?；诓煌x的區(qū)分與討論，以這一思想為引導(dǎo)的解答過程，都能為學(xué)生提供清晰的解題思路[2]。

二、初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用研究

（一）關(guān)于應(yīng)用題方面的具體應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的解題內(nèi)容中，應(yīng)用題是主要的問題形式，學(xué)生所需要具備的基礎(chǔ)素養(yǎng)中，解題能力也是其中之一。如在某例題中，家具廠需要生產(chǎn)課桌與學(xué)生椅，而市場(chǎng)的定價(jià)情況是，課桌的定價(jià)為150元，學(xué)生椅的定價(jià)為50元。家具廠為了調(diào)節(jié)市場(chǎng)利益，現(xiàn)推出兩種形式的配套購(gòu)買方案：方案一，每購(gòu)買一張桌子，贈(zèng)送一把椅子；方案二，若配套購(gòu)買桌子與椅子，則桌子單價(jià)打九折。根據(jù)數(shù)學(xué)的分類討論思想，我們可以將題目中的已知條件列舉出來，也就是說，當(dāng)消費(fèi)者所購(gòu)買的桌、椅成套數(shù)量為x時(shí)，方案一的價(jià)格為“150x”，方案二的價(jià)格為“（90%×150+50）x”。本應(yīng)用題的問題是：假設(shè)某學(xué)校需要購(gòu)買50 張桌子和50 張椅子，那么哪種購(gòu)買方式最為合算？從問題中可以看出，需要學(xué)生對(duì)兩種方案進(jìn)行依次計(jì)算，再進(jìn)行結(jié)果比對(duì)，最終確定方案的選擇。這一求解的過程，就是數(shù)學(xué)分類討論思想應(yīng)用的過程。因此，可得出以下計(jì)算過程：方案一，150x=150×50=7500（元）；方案二，（90%×150+50）x=185×50=9250（元），∵7500 ＜9250，∴方案一更為合算，故方案一為最佳購(gòu)買方式。

（二）關(guān)于函數(shù)方面的應(yīng)用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容。許多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，常遇到諸多的難點(diǎn)。而部分初中學(xué)困生的成因也正是函數(shù)部分的知識(shí)沒有“吃透”，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用水平也不高。針對(duì)函數(shù)的概念而言，學(xué)生從七年級(jí)數(shù)學(xué)開始首次接觸一次函數(shù)，函數(shù)作為一種全新的代數(shù)性思維，學(xué)生的基本思維在與代數(shù)性思維接軌的過程中，發(fā)生“脫軌”也屬于正?，F(xiàn)象，但通過數(shù)學(xué)分類討論的形式，就可以對(duì)初中數(shù)學(xué)中函數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)加以簡(jiǎn)化。如在一次函數(shù)中，關(guān)于象限中的函數(shù)圖像常出現(xiàn)求坐標(biāo)值的問題。

例如，y=2ax+x+1（a為常數(shù)）的圖像與x軸存在一個(gè)交點(diǎn)，那么求a的具體值為多少。這一題型對(duì)于初中學(xué)生來說，有一定的難度，但通過分類討論的思想進(jìn)行求解，就能夠?yàn)閷W(xué)生提供清晰的思路。首先，該函數(shù)為一次函數(shù)，那么2ax的項(xiàng)則為0，故當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)應(yīng)為（-1，0）；若該函數(shù)可能為二次函數(shù)，那么a作為二次項(xiàng)，則a值不可為0，故a=0.25，則該函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)為（-2，0）。在這一思考過程中，所應(yīng)用的數(shù)學(xué)邏輯思維就屬于分類討論思想，學(xué)生可通過對(duì)兩種可能存在的情況進(jìn)行分別討論，從而得出多個(gè)方面可能存在的數(shù)值，最后將數(shù)值進(jìn)行匯總，得出此題的具體答案。對(duì)于初中教學(xué)而言，教師應(yīng)讓學(xué)生知道，在一道問題中未必只存在一個(gè)答案。分類討論的思想正是將這種全面的思維融入進(jìn)去，從而對(duì)學(xué)生的思維寬度予以拓展。

（三）關(guān)于不等式方面的應(yīng)用

在當(dāng)下時(shí)代的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想由于自身的實(shí)用優(yōu)勢(shì)，在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用范圍較廣，且能夠適用于各類教材版本的教學(xué)。在初中不等式問題中，分類討論思想也可以彰顯出重要的教學(xué)價(jià)值。

例如，某單位計(jì)劃9月組織員工團(tuán)建，人數(shù)在10～25 人，甲、乙兩個(gè)旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且旅游價(jià)格都是200元/人，但甲旅行社承諾給每位游客七五折優(yōu)惠，乙旅行社可以免去一位游客的費(fèi)用，剩余游客享受八折優(yōu)惠。如果你是該單位的負(fù)責(zé)人，你會(huì)如何選擇？首先這道例題與上文的“成套桌椅購(gòu)買問題”相似，但不同之處在于，本題的人數(shù)并不固定，處于10～25 人之間，這就需要學(xué)生在解題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想做出明確的探究。解題思路如下：假設(shè)該單位參與團(tuán)建的人數(shù)為x，則選擇甲旅行社的總費(fèi)用為200×0.75x元，而選擇乙旅行社的費(fèi)用為200×0.8（x-1）元。這道題可分三種情況討論：（1）當(dāng)200×0.75x＜200×0.8（x-1）時(shí)，應(yīng)選擇甲旅行社，x＞16；（2）當(dāng)200×0.75x＞200×0.8（x-1）時(shí)，應(yīng)選擇乙旅行社，x＜16；（3）當(dāng)200×0.75x=200×0.8（x-1）時(shí)，選擇甲、乙旅行社均可，x=16。數(shù)學(xué)分類討論思想的核心在于培養(yǎng)學(xué)生的解題思路。教師應(yīng)基于這項(xiàng)要求制訂具體的教學(xué)計(jì)劃。

結(jié) 語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的大多數(shù)知識(shí)點(diǎn)都應(yīng)用了分類討論思想，這是由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相較于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，具有更強(qiáng)的思維性與邏輯性，使學(xué)生在解題時(shí)，也必須通過這一方法，將題目的已知條件進(jìn)行整理，最終通過清晰的思路列舉出來，形成良性思維，逐漸提升個(gè)人的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。