借助構造法 解答數(shù)列題

林中獎

（福建省莆田第二中學，福建莆田 351131）

引言

高中數(shù)學主要涉及等差和等比兩種數(shù)列，雖然基礎知識不難掌握，但習題類型復雜多變，主要有求解數(shù)列通項公式、前n項和、求解某一項具體的值、證明等問題。對于部分數(shù)列習題，學生如果采用常規(guī)做法難度較大，而使用構造法往往能夠柳暗花明，迅速找到解題突破口[1]。在高中數(shù)學數(shù)列教學中，教師應注重為學生講解構造法，提高學生在解題中對構造法的應用意識，同時要做好常見數(shù)列問題的匯總，為學生講解使用構造法求解的相關題型，使其掌握數(shù)列習題解題規(guī)律，積累構造法應用經(jīng)驗與技巧，在解題中進行靈活應用。

一、借助構造法求數(shù)列通項公式

求數(shù)列通項公式是高中數(shù)列習題中常見的題型。求解該類題型的常規(guī)思路主要有利用數(shù)列定義、求解公式、利用通項公式與前n項和之間的關系等。但是，部分習題較為特殊，學生采用常規(guī)思路，很難對其進行解答，可考慮運用構造法將其轉(zhuǎn)化為能夠使用常規(guī)思路解決的形式。為使學生牢固掌握并靈活應用構造法求解數(shù)列的通項公式，教師應注重為學生講解相關的解題技巧，使其掌握一般的構造法思路，在解題中少走彎路。例如，對于an+1=pan+q（p，q為常數(shù)，pq≠0且p≠1）形式的遞推式，學生可通過在兩邊同時加上合適的常數(shù)λ構造新的數(shù)列。同時，教師要注重篩選與講解相關例題，使學生親身感受構造法在求解數(shù)列通項公式中的具體應用，把握構造數(shù)列時應注意的問題，遇到類似題型能夠盡快求解出正確結果。

例1，在數(shù)列{an}中，已知，求數(shù)列的通項公式an。

該題已知條件較少，難度并不大。分析可知，其符合“an+1=pan+q”這一形式，可通過構造數(shù)列的思路進行求解。解題的關鍵在于正確找到添加上的常數(shù)λ的值。

結合已知條件可知，數(shù)列{bn}是以a1-2 為首項，以為公比的等比數(shù)列。

∵a1-2=-1，則因此，。

高中數(shù)列習題中能夠使用構造法求解通項公式的習題類型較多。在授課時，教師應注重引導學生做好相關題型及構造思路的總結。

二、借助構造法求數(shù)列前n項和

求解數(shù)列前n項和是高中數(shù)列的常考問題，通常為某一綜合題中的一小問，需要學生結合數(shù)列的類型與特點，采用對應求和方法解答。高中階段，求解數(shù)列前n項和的常規(guī)方法有公式法、倒敘相加法、錯位相減法、列項相消法、分段求和法等，具有一定技巧性。另外，學生還可根據(jù)實際情況先使用構造法構造出相關數(shù)列，再使用上述方法求解。為使學生求解數(shù)列前n項和時能夠靈活應用構造法，教師要與學生一起推導常規(guī)求和方法，使其搞清楚不同求和方法及其適宜題型，使其能夠根據(jù)題干選擇正確的求和方法，實現(xiàn)快速解題。在授課中，教師應注重圍繞相關例題，為學生做好應用構造法求數(shù)列前n項和的示范，使學生把握解題的關鍵，真正掌握用構造法求數(shù)列前n項和這種方法。

例2，已知數(shù)列{an}中a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，且，設Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求S120的值。

該題目為數(shù)列與三角函數(shù)的綜合性習題。求解S120的值需要先求出bn的通項公式，而bn和an存在這一關系。因此，求出數(shù)列{an}的通項公式成為解答該題目的關鍵。同時，根據(jù)給出的已知條件還應能看出的周期，以降低求和難度。

由nan+1=(n+1)an+n(n+1)，可推出即。構造數(shù)列使其通項公式，顯然數(shù)列是以a1為首項，公差為1 的等差數(shù)列，則=n，則an=n2，所以，而的周期為3，則。

通過教師對該題目的講解，學生認識到運用構造法求解數(shù)列前n項和時，構造合適的數(shù)列通項公式是基礎，從而在日常學習中注重積累不同數(shù)列題型的構造技巧。

三、借助構造法求數(shù)列某項的值

在高中數(shù)列題型中，一些題目要求學生求解數(shù)列某項的值。該類題目的難度并不大，通常運用數(shù)列的通項公式或通項公式與前n項和之間的關系進行求解。但一些題目在求解通項公式及數(shù)列前n項和時需要應用構造法，找到隱含的遞推關系。為使學生掌握相關的解題技巧，教師應讓學生意識到在應用構造法解題時，不僅可對通項公式an進行構造，還可對數(shù)列前n項和Sn進行構造。

例3，已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，a1=1，前n項和Sn存在以下關系：則a10=（ ）。

A.72 B.80 C.90 D.82

認真觀察題干中的條件可知，其未涉及an，因此，需要通過尋找Sn和Sn-1之間的關系，求出a10的值，即a10=S10-S9。解題時，需要從給出的Sn關系式入手，構造新的數(shù)列。

∵數(shù)列{an}為正項數(shù)列 ∴

教師對該題目的講解，可以很好地開闊學生的視野，使其意識到在求解數(shù)列某一項具體值時，可通過構造新的數(shù)列找到Sn滿足的數(shù)列關系，再運用an和Sn的關系，以及所學的等差或等比數(shù)列知識進行求解。

四、借助構造法證明數(shù)列不等式

以數(shù)列為背景證明不等式的試題技巧性強，難度較大，常作為壓軸題。在解題中，構造方程、構造函數(shù)、構造新數(shù)列等是常用的構造思路。在教學中，為使學生厘清和掌握構造法證明數(shù)列不等式的思路與技巧，教師既要注重通過具體例題為學生逐一講解常用的構造思路，又要注重挑選優(yōu)秀的習題對學生進行訓練，提高學生的解題能力，使其積累運用構造法證明數(shù)列不等式的經(jīng)驗。同時，教師還要鼓勵學生做好訓練總結，做好錯題的摘抄，認真分析做錯的原因，明確相關題型的證明關鍵點，在證明類似問題時少走彎路。

例4，設a0=1，

該題目給出的已知條件較少，很多學生不知道從何下手。認真觀察要求證的結論，不等式右邊含有“π”，而且an的表達式中含有，因此可構造含有正切的新數(shù)列進行證明。

由已知條件構造數(shù)列{bn}，使得an=tanbn，其中

∵a0=1，則

要想順利證明出該題，學生要能夠根據(jù)題干已知條件迅速聯(lián)想到相關的三角函數(shù)，構造出一個新的數(shù)列，同時還要意識到在中存在tanx＞x這一重要關系。教師講解該證明題，可以給學生帶來良好的啟迪，即當已知條件中含有以及式子時，應注重聯(lián)想對應的三角函數(shù)并利用其構造新的數(shù)列。

結語

綜上所述，構造法能很好地解答一些數(shù)列習題。為使學生掌握這一重要的方法，教師應結合具體的題型，講解構造法的具體應用，使學生認識到構造法應用的關鍵，即通常通過構造新的數(shù)列求解通項公式、數(shù)列前n 項和、某一項的具體值，以及證明與數(shù)列相關的不等式。構造法的使用難度較大，對學生的數(shù)學能力要求較高。為獲得良好的教學效果，提高學生的證明能力，教師既要注重傳授相關的證明技巧，又要引導學生在做題的過程中認真總結與反思相關的構造技巧，從而不斷提高學生對構造法的應用水平。