以教師資格考試為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)分析教學(xué)實踐

邱克娥，汪少祖，陶 磊

(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018；2.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

數(shù)學(xué)分析是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程，具有內(nèi)容較多，課堂教學(xué)周期最長，邏輯連貫性較強，應(yīng)用較為廣泛等特點。它的教學(xué)力求使學(xué)生逐步理解和掌握無限、變量的數(shù)學(xué)思想，逐步適應(yīng)從定性描述到定量刻畫的過程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，推理運算能力，分析和解決實際問題的能力。教師資格制度是國家實行的教師職業(yè)從業(yè)許可制度，擁有教師資格是國家對專門從事教育教學(xué)工作人員的基本要求，是公民獲得教師職位的前提條件。[1]中小學(xué)教師資格證考試是由國家建立考試標(biāo)準(zhǔn)，省級教育行政部門統(tǒng)一組織，實行“國標(biāo)、省考”的標(biāo)準(zhǔn)參照性考試，考查范圍廣，題目活，難度大。國考教師資格證的《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》科目主要考查學(xué)生學(xué)科知識、課程知識、教學(xué)知識和教學(xué)技能四個方面的知識內(nèi)容，其中學(xué)科知識占比41%，且數(shù)學(xué)分析是其中分值最大的部分。這對高校數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)質(zhì)量提出了新的要求，要求教師必須有效規(guī)劃課堂教學(xué)內(nèi)容，做到有的放矢，確保教師資格證考試的過關(guān)率。然而，在數(shù)學(xué)分析課程傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，教學(xué)過程由教師主導(dǎo)，教師通常把已有的理論知識通過證明及例題直接講授給學(xué)生，側(cè)重于理論知識的詮釋及證明，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中處于“要我學(xué)”的被動狀態(tài)，由于理論知識難，學(xué)習(xí)難度大，即使部分學(xué)生可以聽懂，但要轉(zhuǎn)化為自己的思維方式解決問題卻有些困難，一定程度上抑制了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性。為了順應(yīng)高校師范專業(yè)發(fā)展的需要和滿足社會對教師的需求量，課題組經(jīng)過教學(xué)改革嘗試，以教師資格證考試為導(dǎo)向建立數(shù)學(xué)分析知識題庫，采用問題導(dǎo)向的教學(xué)方法，并貫穿于整個理論和實踐教學(xué)過程，不僅做到課證融合，提高教師資格證通過率，還對培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力和創(chuàng)新能力起到理想的作用。

1 基于教師資格證考試的數(shù)學(xué)分析教學(xué)存在的問題

2020年數(shù)學(xué)學(xué)科高級中學(xué)教師資格證考試科目《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》考試目標(biāo)明確要求學(xué)生掌握大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的知識，并具有在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中綜合而有效地運用這些知識的能力。[2]大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的知識包括數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等與中學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容。而數(shù)學(xué)分析包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、一元函數(shù)微積分學(xué)等基礎(chǔ)知識，是《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》試題的重中之重，考試主要以單項選擇題、解答題為主?？季V明確要求學(xué)生準(zhǔn)確掌握上述知識內(nèi)容的基本概念，熟練進(jìn)行運算，并能夠利用這些知識去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題，具體對數(shù)學(xué)分析考點的要求是掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義、求極限的方法、會判斷函數(shù)間斷點，求解定積分與不定積分，能夠應(yīng)用微積分學(xué)基本定理求解問題。在實際的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，要達(dá)到上述考試要求，必須探討相應(yīng)的教學(xué)方法以實現(xiàn)對已有教學(xué)方法的延續(xù)及改進(jìn)?，F(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析教學(xué)存在些問題，具體表現(xiàn)在：

(1)數(shù)學(xué)分析知識點較多，內(nèi)容相對抽象，斜街關(guān)系較強。通常學(xué)生從數(shù)列極限的“ε-N”語言與函數(shù)極限的“ε-δ”語言開始學(xué)習(xí)，到曲面積分的計算結(jié)束，累計學(xué)習(xí)4個學(xué)期。整個知識學(xué)習(xí)的過程中都滲透著極限的思想，若對“ε-N”和“ε-δ”語言理解不好，直接影響后續(xù)所有知識的學(xué)習(xí)。同時一元函數(shù)的微積分與二元函數(shù)微積分，二重積分與三重積分，曲線與曲面積分等知識之間的邏輯銜接性都較強，對任何知識點掌握的薄弱，都將成為繼續(xù)學(xué)習(xí)的障礙。

(2)課堂教學(xué)方法及評測結(jié)構(gòu)單一。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)主要是教師主導(dǎo)，教師將理論知識通過證明及例題直接講授給學(xué)生，學(xué)生將課堂測試及課后練習(xí)上交教師批閱，教師再將學(xué)習(xí)結(jié)果反饋給學(xué)生。由于學(xué)生個體的理解能力，知識結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)方法等差異性，傳統(tǒng)的教學(xué)方式對能力中等的學(xué)生較為有利，難以兼顧到學(xué)生不同層次的差異，一定程度上抑制了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性。同時，統(tǒng)一的評測方式由于其標(biāo)準(zhǔn)化程度較高，導(dǎo)致教師對學(xué)生的行為表現(xiàn)所代表的具體信息判斷不夠準(zhǔn)確，從而影響教師的教學(xué)策略調(diào)整。

如何有效地針對內(nèi)容較多，課堂教學(xué)及評測結(jié)構(gòu)單一等問題實施改進(jìn)，是數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的重點也是難點。近幾年來，課題組成員借助無限校園環(huán)境，以教師資格考試為導(dǎo)向建立知識題庫，通過雨課堂教學(xué)軟件推送知識內(nèi)容并檢測學(xué)習(xí)效果，并將學(xué)習(xí)效果進(jìn)行反饋，根據(jù)反饋結(jié)果動態(tài)調(diào)整教學(xué)策略，達(dá)到對數(shù)學(xué)分析教學(xué)存在的問題進(jìn)行改進(jìn)的目的。

2 以教師資格考試為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革

2.1 以教師資格考試為導(dǎo)向的理論教學(xué)改革

教師資格證考試中的學(xué)科知識題目不僅專業(yè)性強、覆蓋面廣(數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計)，而且具有針對性、實用性、創(chuàng)新性。在數(shù)學(xué)分析課程的理論教學(xué)改革中，主要從教師備課、授課方式及考核方式等三方面進(jìn)行。備課時教師結(jié)合教師資格證考試大綱及數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱采用集體備課形式，所有成員時時關(guān)注數(shù)學(xué)分析知識點與教師資格證考點之間的密切聯(lián)系，針對每個知識點結(jié)合相應(yīng)的教師資格證考試中的數(shù)學(xué)分析考點問題，如果知識太難可遵循教師資格證考試的出題原則設(shè)計問題，構(gòu)建權(quán)威知識圖譜，形成容量較大的試題庫，題庫中對題目的難易程度進(jìn)行區(qū)分，形成階梯性。在講授理論知識前將題庫中對應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的題目以問題串的形式通過雨課件推送給學(xué)生，實現(xiàn)教師授課前的資源智能推送，促使學(xué)生尋求解題的方法及所需理論知識，嘗試解決問題。在課堂教學(xué)實施中，把握重點，做到難點精講，注重學(xué)生知識掌握情況的實時監(jiān)控，利用雨課堂的隨機點名方式及回答情況查看學(xué)生的掌握情況，即時動態(tài)調(diào)整教學(xué)策略，還可以開啟“彈幕”“紅包”等功能調(diào)節(jié)課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的積極性。同時課堂上學(xué)生的疑問也能通過雨課堂軟件收集，使得教師和學(xué)生零距離溝通，緩解學(xué)生在討論中的發(fā)言壓力,這種匿名活躍的方式，徹底抓住現(xiàn)在學(xué)生的心態(tài)，激發(fā)師生課堂興趣，助力教學(xué)效果的提高。這樣通過雨課堂教學(xué)軟件以一種動態(tài)的視角來觀測學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)進(jìn)度及知識掌握程度，實現(xiàn)師生教與學(xué)行為的實時數(shù)據(jù)采集和個性分析，把課堂和學(xué)生的行為、一些難點的講解通過數(shù)據(jù)分析的方式生成評測報告。課堂教學(xué)結(jié)束后，教師拿到測評報告，有針對性地進(jìn)行下次課的教學(xué)策略調(diào)整，將精彩的學(xué)生答題情況及典型的犯錯情況推送到班級，讓同學(xué)們對自己和他人的學(xué)習(xí)狀況認(rèn)識更加清晰。同時，通過測評報告中學(xué)生題目的難易程度、答題時間、正確率等信息，從題庫中選擇適合學(xué)生水平的課后檢測試題推送到個人，學(xué)生也可通過自己的評測報告查缺補漏，制定適合個人的學(xué)習(xí)目標(biāo)和計劃，使得教與學(xué)更精準(zhǔn)地執(zhí)行，將教學(xué)活動變成“困惑——探索——掌握”的問題解決過程，變傳統(tǒng)的“聽中學(xué)”為“做中學(xué)”，促進(jìn)教學(xué)相長。最終考核成績按照課前測試、課中測評、課后檢測、期末考試及教師資格證《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》等成績計算加權(quán)分值得到。

2.2 以教師資格考試為導(dǎo)向的實操教學(xué)改革

為了提升數(shù)學(xué)分析的教學(xué)效果，從而促進(jìn)教師資格證考試，實操教學(xué)是不可或缺的。實操教學(xué)主要從小組合作學(xué)習(xí)和個人模擬考試兩方面進(jìn)行。首先將班級成員隨機搭配分組，每小組不多于5人，根據(jù)成員的情況合理分配學(xué)習(xí)任務(wù)(試題收集、知識梳理、試題批改、數(shù)據(jù)分析、策略調(diào)整)，同時可尋找組外其他同學(xué)輔助指導(dǎo)學(xué)習(xí)，形成傳幫帶的學(xué)習(xí)梯隊。課題組教師將所收集到的試題進(jìn)行分類分級處理，錄入題庫，隨機設(shè)置組卷策略，形成試卷，通過雨課堂軟件推送給學(xué)生個人，學(xué)生運用所學(xué)知識及時解決，該過程嚴(yán)格按照教師資格證考試的進(jìn)行方式，學(xué)生在規(guī)定的時間內(nèi)完成答題，把每次訓(xùn)練當(dāng)成一次考試，根據(jù)學(xué)生完成情況、答題時間及排名等評定平時成績。學(xué)生可根據(jù)自己每次得分情況向小組提出再次答題申請，小組提交5個與題庫試題不同的習(xí)題作為申請條件，由教師審核是否給予答題機會，并按照得分最高的一次記錄成績，這將使學(xué)生重視每次模擬訓(xùn)練機會，對于提高學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力、獨立思考及團隊合作能力有很大幫助。同時通過雨課堂軟件查看學(xué)生的測評報告，及時調(diào)整組卷策略及為學(xué)生量身定制個性化的學(xué)習(xí)方案，達(dá)到針對學(xué)生個體差異的因人施教，真正實現(xiàn)“隨時學(xué)習(xí)，教師隨行”，切實提高教師資格證考試的通過率，踐行數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)方案中要求培養(yǎng)學(xué)生四年內(nèi)成為“愿教、懂教、會教”的優(yōu)秀教師的目標(biāo)。同時可以鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生積極參加教師資格證統(tǒng)一考試，通過不斷的模擬訓(xùn)練檢驗自己。在每次模擬訓(xùn)練及實戰(zhàn)考試后，學(xué)生團隊合作撰寫總結(jié)報告，全專業(yè)每年7月集中匯報交流，分享得與失，使得同學(xué)們對備考及自身情況有更深入的了解。因為教師資格證統(tǒng)一考試的內(nèi)容不斷深入，考試形式靈活，所以過關(guān)難度大，對教師也是考驗，每年可先組織相關(guān)教師研討最新國家教師資格考試大綱及最新課程標(biāo)準(zhǔn)，嚴(yán)格遵循考試大綱及課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，力爭在上課過程中最大限度地貼近考情。參加研討學(xué)習(xí)的教師再分別指導(dǎo)各小組學(xué)生，對學(xué)生集中培訓(xùn)，強化知識運用能力，增強師生教學(xué)默契，教學(xué)相長，提高團隊實戰(zhàn)能力。

2.3 以教師資格考試為導(dǎo)向的教學(xué)實踐過程

現(xiàn)以含參變量的有限積分教學(xué)為例，呈現(xiàn)以教師資格考試為導(dǎo)向的教學(xué)實踐過程。雖然含參變量的有限積分知識不在教師資格證考試內(nèi)容規(guī)定范圍內(nèi)，但是按照數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱要求，該知識也是教學(xué)的重難點，教學(xué)時數(shù)高達(dá)5學(xué)時。同時，這也是要成為一名合格的高中數(shù)學(xué)教師必須具備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識的需要。

課前準(zhǔn)備：題庫建立。

(1)證明：由f(x)在[a,b]上連續(xù)，則?ε>0,?δ>0,當(dāng)0<|x-x0|<δ，有|f(x)-f(x0)|<ε，其中

故F(x)在[a,b]可導(dǎo)，且F′(x)=f(x).

對于上述考題，可針對其考點連續(xù)及可導(dǎo)的相關(guān)知識點，做一些相應(yīng)的變式題(這里選取部分)，編入數(shù)學(xué)分析試題庫中，課前或課后推送給學(xué)生，學(xué)生為了有針對性地解決問題，必然進(jìn)行課前預(yù)習(xí)或課后鞏固，查找資料，解決問題，切實做到“我要學(xué)”。

原題是對一元函數(shù)微分學(xué)的連續(xù)及可導(dǎo)知識點的檢測，變式1是對一元可積函數(shù)連續(xù)性質(zhì)的檢測。眾所周知，連接一元函數(shù)積分與微分的橋梁是牛頓-萊布尼茨公式，其表達(dá)如下：

從而該原題和兩個變式既可放在一元函數(shù)微分學(xué)，也可納入一元函數(shù)積分學(xué)題庫中，兩者互有承上啟下之效果。為了能讓學(xué)生學(xué)會舉一反三且對多元函數(shù)微積分學(xué)及反常積分與含參變量的積分的知識做個鋪墊，對該題還可繼續(xù)變式如下：

其實，變式4即為含參變量的有限積分的分析性質(zhì)，也是課堂教學(xué)的重點。在上課之前教師利用雨課堂軟件將變式1推送給學(xué)生，讓學(xué)生查找相關(guān)資料解決，若學(xué)生不能解答，教師則在課堂中予以詳細(xì)講解。事實上，推送變式1的目的一方面在于利用教師資格考試的問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，讓學(xué)生復(fù)習(xí)一元函數(shù)微積分學(xué)的相關(guān)知識，新課講授在學(xué)生欲解決問題下進(jìn)行效果更佳。另一方面，教師展示學(xué)生答題情況的差異，并分析講解對與錯的緣由，不僅可以讓同學(xué)們更好地了解自己和他人的差別，還可以為新課內(nèi)容的講解做好鋪墊。

課中講授：含參變量的有限積分的三個性質(zhì)。

新課的講授并不改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，以解決學(xué)生的疑問引入，根據(jù)學(xué)生課前測試的結(jié)果，分析學(xué)生錯誤的原因，為新課做鋪墊。這里列舉學(xué)生1對變式1的解答情況。

學(xué)生1 因為f(x)在[a,b]可積，所以f(x)在[a,b]上有界，所以存在M>0,?x∈[a,b]，有|f(x)|

因為f(x)在[a,b]可積，所以f(x)在[a,b]上有界，即存在M>0,對?x∈[a,b]，有|f(x)|

課后鞏固：試題及優(yōu)秀課件視頻推送。

將17年教師資格證考試的原題及一些涉及函數(shù)連續(xù)性的試題課后根據(jù)學(xué)生的水平推送給學(xué)生，學(xué)生若能獨立解決問題更好，如若不能，還可以查看推送的優(yōu)秀教學(xué)課件視頻、教師課堂板書、小組合作討論等。教師從學(xué)生課前、課中、課后的學(xué)習(xí)表現(xiàn)及評測報告了解學(xué)生薄弱點，適時調(diào)整教學(xué)策略，且將報告及時反饋學(xué)生個人及小組，利于學(xué)生查缺補漏，調(diào)整個人學(xué)習(xí)目標(biāo)及計劃。課前、課中、課后三個層面以教師資格考試為導(dǎo)向的教學(xué)實踐將形成良性循環(huán)，一方面促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，小組合作學(xué)習(xí)，改進(jìn)班級教學(xué)；另一方面，學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)及學(xué)習(xí)情況有更準(zhǔn)確地把握，促進(jìn)教學(xué)相長。另外，每章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況設(shè)置適合學(xué)生個人測試的評測試卷，推送給學(xué)生自測，該過程嚴(yán)格按照教師資格考試的模式進(jìn)行。同時，學(xué)生也可在難度上給教師提出申請調(diào)整。這樣的檢測異于傳統(tǒng)的采用相同題目對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)評價，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，合力提高教師資格考試的過關(guān)率。

3 以教師資格考試為導(dǎo)向的其他方面改革方向

除了調(diào)整課堂教學(xué)方法及考核方法外，教師還可從考前輔導(dǎo)、題庫完善、評測系統(tǒng)開發(fā)等方向改革教學(xué)。首先，可加強學(xué)生對教師資格證考試的認(rèn)識與了解，定期從中小學(xué)聘請一線知名專家到校開展專題講座，為學(xué)生解答考試真題的命題規(guī)律、考試技巧等，豐富學(xué)生業(yè)余文化生活的同時有助于提高考試的通過率。同時，給各小組分配輔導(dǎo)教師，形成個人-小組-教師的有效輔導(dǎo)及合作交流學(xué)習(xí)模式。其次，完善以教師資格考試為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)分析題庫，要關(guān)注數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題相關(guān)的知識聯(lián)系，如根據(jù)泰勒公式、函數(shù)凹凸性與中學(xué)“二分法”、極值與最值、函數(shù)單調(diào)性等之間的相關(guān)關(guān)系設(shè)計題目，使得題庫與中學(xué)數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系，幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)目的，全面系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)專業(yè)知識，符合數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)師范性的培養(yǎng)目標(biāo)要求。最后，在完善題庫建設(shè)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建自適應(yīng)評測系統(tǒng)?，F(xiàn)在的檢測主要依靠教師根據(jù)雨課堂軟件給出的評測報告，手動調(diào)整符合學(xué)生能力水平的檢測試題，同時教師也需要手動批改試題，這樣的工作較為煩瑣且評測結(jié)果具有一定的主觀性。為了突破這樣的局限，可構(gòu)建自適應(yīng)評測系統(tǒng)[5]，系統(tǒng)可根據(jù)學(xué)生的答題情況自動推送適合其水平的試題，自動檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，減輕教師的工作量，具有推廣到其他學(xué)科應(yīng)用的價值。

4 結(jié)語

以雨課堂教學(xué)軟件為工具從內(nèi)容安排、教學(xué)方法及評測方式三方面對數(shù)學(xué)分析課程進(jìn)行教學(xué)改革，旨在讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)專業(yè)知識，提升教師資格證考試過關(guān)率，增加學(xué)生就業(yè)路徑，實現(xiàn)人才培養(yǎng)的最終目標(biāo)。當(dāng)然，教學(xué)改革不是一蹴而就的，涉及的方向是多方面的，是一個長期的過程，只有在實際教學(xué)中不斷地深化才能持續(xù)提升教學(xué)水平，提高教學(xué)效率，為學(xué)生提供更好的教學(xué)服務(wù)。