王藝霖，范夕森，李廣寧，王順堯

(山東建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院 建筑結(jié)構(gòu)加固改造與地下空間工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250101)

結(jié)構(gòu)力學(xué)的主要內(nèi)容來(lái)源為工程實(shí)踐及日常生活。[1]經(jīng)典的結(jié)構(gòu)力學(xué)文獻(xiàn)基于學(xué)術(shù)化、簡(jiǎn)明化的考慮，往往在理論建立、方法介紹，以及例題展示中直接采用了簡(jiǎn)化后的各種力學(xué)模型(如桿件、鉸支座、剛結(jié)點(diǎn)、簡(jiǎn)支梁等)和相關(guān)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)[2-4]，在實(shí)現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r(shí)也給應(yīng)用型技術(shù)人員造成了一些理解障礙，影響到具體應(yīng)用水平的提升。[5]對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，也容易感到抽象，難以與應(yīng)用場(chǎng)景對(duì)應(yīng)[6-8]，在相當(dāng)程度上影響到學(xué)習(xí)興趣和效果。

目前王永正等[9]、劉文龍[10]、羅昊宇[11]已從多角度進(jìn)行了結(jié)構(gòu)力學(xué)與應(yīng)用實(shí)例結(jié)合起來(lái)的嘗試，相關(guān)成果成為傳統(tǒng)力學(xué)文獻(xiàn)的有益補(bǔ)充。本文將沿此思路挖掘?qū)嶋H場(chǎng)景中常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)力學(xué)實(shí)例，從八個(gè)方面展現(xiàn)力學(xué)知識(shí)的實(shí)用性與有效性。

1 “簡(jiǎn)而廣之”的簡(jiǎn)支梁(板)

簡(jiǎn)支梁(板)是結(jié)構(gòu)力學(xué)中反復(fù)出現(xiàn)的一類(lèi)結(jié)構(gòu)，工程上也經(jīng)常采用大型簡(jiǎn)支梁(板)結(jié)構(gòu)。從幾何形態(tài)來(lái)看，板其實(shí)就是一種很扁寬的梁。但值得注意的是，其實(shí)它們?cè)谌粘Ｉ钪械膽?yīng)用也很廣泛。

1.1 普通簡(jiǎn)支梁(板)

常見(jiàn)的限行桿，很多一端為理想的鉸接，另一端被立桿支撐、限制豎直向下的移動(dòng)。在它靜止不動(dòng)時(shí)，基本上符合簡(jiǎn)支梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖(雖然從構(gòu)造上來(lái)說(shuō)它的右端可以豎直向上移動(dòng)，但在靜止時(shí)不會(huì)發(fā)生)，如圖1所示。

圖1 限行桿與簡(jiǎn)支梁

如果俯視圖2所示的這類(lèi)被鎖上的大鐵門(mén)，可以發(fā)現(xiàn)，每一扇門(mén)其實(shí)也可以近似為簡(jiǎn)支板，合頁(yè)處為鉸接端，限制了兩個(gè)方向的平動(dòng)，但不限制轉(zhuǎn)動(dòng)；被鎖端僅限制了垂直于紙面方向的平動(dòng)，相當(dāng)于單鏈桿支撐，見(jiàn)圖2、圖3。

圖2 鎖上的大鐵門(mén) 圖3 關(guān)閉的窗戶

類(lèi)似地，圖3這種關(guān)閉的窗戶，每一扇窗也可認(rèn)為是簡(jiǎn)支板，合頁(yè)處為鉸接端；被鎖端也相當(dāng)于單鏈桿支撐。

健身器材中常見(jiàn)的單杠也可以近似為簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，因?yàn)閮啥硕疾荒芡耆拗妻D(zhuǎn)動(dòng)。如果在中間等間隔地設(shè)置了兩個(gè)抓手(圖4)，當(dāng)有人伸出胳膊分別抓住它們并懸掛起自己的時(shí)候，則計(jì)算簡(jiǎn)圖也可近似為兩個(gè)三分點(diǎn)處各作用一個(gè)集中荷載的簡(jiǎn)支梁。

圖4 近似為兩個(gè)三分點(diǎn)處各作用一個(gè)集中荷載的簡(jiǎn)支梁

湖北省武漢市有個(gè)著名的小吃街——戶部巷。在巷口有個(gè)圖5所示的入口式結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)上部的水平梁也可近似為一個(gè)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，在三個(gè)四分點(diǎn)處都懸掛了一個(gè)編鐘式物體，可認(rèn)為給水平梁加上了豎向的集中荷載。因此，整個(gè)水平梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖可近似為，三個(gè)四分點(diǎn)處各作用一個(gè)集中荷載的簡(jiǎn)支梁。當(dāng)然，如果考慮自重的話，還需要增加自重對(duì)應(yīng)的均布荷載。

圖5 湖北武漢戶部巷的入口結(jié)構(gòu)

1.2 伸臂簡(jiǎn)支梁(板)

生活中常見(jiàn)的木質(zhì)棚架結(jié)構(gòu)(圖6)，一般在支撐點(diǎn)處也不能完全限制水平梁的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以可近似認(rèn)為是伸臂簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)。

圖6 木質(zhì)棚架結(jié)構(gòu)

舞蹈或形體學(xué)員所用的單杠(圖7a)，也是這類(lèi)伸臂簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)。支撐處的特寫(xiě)如圖7b所示，可見(jiàn)，確實(shí)是允許發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的。

圖7 單杠

2 “望文生義”的懸臂梁

懸臂梁是物如其名的。人伸出的手臂，就是“懸臂梁”的直白表現(xiàn)。但懸臂梁的含義及應(yīng)用還是很豐富的。

如圖8，雕像垂直向下的頭發(fā)是相對(duì)于地面懸臂的；伸出去的小提琴及支撐于它的琴弓，都是懸臂的；左、右兩只手，都是懸臂的，所以這里共有5個(gè)懸臂式部件。

圖8 某雕像

如果想確定一個(gè)在自由端部受集中荷載的懸臂梁的彎矩方向，可拿個(gè)重物(如啞鈴)后伸直手臂即可(如圖9)。顯然，上臂端部的上部區(qū)域肌肉將被張緊，說(shuō)明彎矩的方向是截面上部受拉。

圖9 抓舉啞鈴的懸臂 圖10 空調(diào)外機(jī)的支撐架

懸臂梁在常見(jiàn)荷載類(lèi)型作用下的內(nèi)力圖也可在生活中找到應(yīng)用。如圖10所示的空調(diào)外機(jī)的支撐架，這種三角形外形的選擇，依據(jù)是懸臂梁在均布荷載作用下的彎矩圖(拋物線形，近似于三角形)和剪力圖(就是三角形)。這種基于內(nèi)力特征進(jìn)行的設(shè)計(jì)，兼顧了安全性與經(jīng)濟(jì)性(比等截面的情況節(jié)省材料)，也易于加工。

類(lèi)似地，對(duì)于圖11所示雨蓬的支撐梁，也是根據(jù)懸臂梁在豎向荷載作用下的內(nèi)力圖，結(jié)合加工方便性來(lái)確定的變截面形式。至于梁內(nèi)的開(kāi)洞，可以結(jié)合材料力學(xué)中的平截面假定來(lái)理解，在某一橫斷面上，彎矩的存在會(huì)使得上、下部區(qū)域一個(gè)受拉、一個(gè)受壓，在截面的中部高度區(qū)域，應(yīng)力很小，所以可在此區(qū)域開(kāi)洞，以達(dá)到節(jié)約材料、減輕自重的效果。

圖11 某雨蓬

3 “繁而有理”的連續(xù)梁

簡(jiǎn)支梁和懸臂梁都屬于靜定結(jié)構(gòu)，可以直接用力的平衡、力矩平衡條件求解內(nèi)力。而連續(xù)梁由于有多余支撐，屬于超靜定結(jié)構(gòu)，內(nèi)力的計(jì)算就復(fù)雜很多，需要用到力法、位移法等。但為什么連續(xù)梁也應(yīng)用很多呢？因?yàn)樵谕葪l件下，它的內(nèi)力要明顯小于靜定梁，所以計(jì)算上的麻煩還是可以接受的。

圖12所示窗簾桿是生活中常見(jiàn)的物品，可以近似地按連續(xù)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

圖12 某窗簾桿

圖13所示為某校門(mén)，可近似為三跨伸臂連續(xù)梁結(jié)構(gòu)。當(dāng)上面坐滿同學(xué)時(shí)，相當(dāng)于受滿布均布荷載的情況，可用常規(guī)的“力法”快速求解出內(nèi)力。同時(shí)可思考一個(gè)問(wèn)題：如果去掉中間的那兩個(gè)支撐，讓它近似成為伸臂簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的話，這個(gè)梁是更安全還是更危險(xiǎn)？

圖13 某校門(mén)

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中簡(jiǎn)支梁與連續(xù)梁的受力特征對(duì)比可知，這樣會(huì)更危險(xiǎn)。因?yàn)樵诤奢d情況一樣的情況下，由于多余支撐帶來(lái)的負(fù)彎矩效應(yīng)，連續(xù)梁的內(nèi)力是要明顯小于簡(jiǎn)支梁的。相比連續(xù)梁來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)支梁很簡(jiǎn)單好算，但受力的合理性要差一些，往往不夠經(jīng)濟(jì)。

4 “拉下神壇”的二力桿

對(duì)于兩端均為鉸接的桿件，兩個(gè)端部都不能承受彎矩，桿內(nèi)只能有拉、壓兩種軸力，所以稱(chēng)為二力桿。這一概念比較專(zhuān)業(yè)，嚇到了一些初學(xué)者，但其實(shí)在生活中也可以找到很多二力桿接地氣的實(shí)例。例如，圖14所示的老式窗戶上用的支撐件就屬于兩端鉸接的二力桿。

圖14 老式窗戶上用的支撐件

5 “大肚能容”的桁架

桁架的大多數(shù)桿件都可近似為二力桿，材料利用很充分，所以整體的承載效率非常高。在大跨結(jié)構(gòu)、高層結(jié)構(gòu)中，廣泛采用了桁架。仔細(xì)觀察的話，日常生活中也不乏實(shí)例。如圖15所示的登機(jī)廊橋，就屬于是典型的桁架結(jié)構(gòu)，登機(jī)的乘客都從它的內(nèi)部通過(guò)。下次您坐飛機(jī)的時(shí)候，記得關(guān)注一下這種“大肚能容”的桁架哈。

圖15 某登機(jī)廊橋

6 “俯仰可用”的影響線

影響線也是結(jié)構(gòu)力學(xué)的一個(gè)重要概念，針對(duì)的是結(jié)構(gòu)受移動(dòng)荷載作用的情況。很多初學(xué)者容易覺(jué)得影響線主要用于有車(chē)輛荷載的結(jié)構(gòu)，生活中用的相對(duì)較少，但其實(shí)在日常生活中也有很多可用影響線方法進(jìn)行分析的實(shí)例。

對(duì)于圖16所示的石凳，也可認(rèn)為是伸臂簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，當(dāng)有人要坐上去的時(shí)候，具體的位置可能是隨機(jī)的，此時(shí)也可以用影響線方法來(lái)分析石凳的最不利工況：對(duì)于這種結(jié)構(gòu)，最關(guān)心的內(nèi)力應(yīng)該是跨中處的彎矩，可作出其影響線，然后把人的臀部近似為有一定寬度的均布荷載，根據(jù)影響線的形狀可確定石凳受這個(gè)有一定寬度的均布荷載作用時(shí)的最不利位置，也就確定了對(duì)應(yīng)的人的位置，進(jìn)而可得到石凳的最不利內(nèi)力。如果有兩三個(gè)人一起坐上去，也可以類(lèi)似地確定最不利位置及相應(yīng)的石凳最不利內(nèi)力。

圖16 某伸臂簡(jiǎn)支石凳

還有更生活化的具體例子：某處道路挖坑，鋪上了木板供人行走(圖17)。借助于影響線的概念，我們可以解答兩個(gè)有趣的問(wèn)題：

圖17 臨時(shí)鋪設(shè)的木板路面

(1)一個(gè)人邁步走過(guò)這個(gè)木板的過(guò)程中，什么狀況下木板最危險(xiǎn)？

(2)如果一個(gè)人停在這個(gè)木板上，什么位置對(duì)應(yīng)于木板最危險(xiǎn)的情況？

解答思路：這種木板的兩端不限制轉(zhuǎn)動(dòng)，也可認(rèn)為是簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，容易發(fā)生的是受彎破壞，為此考察跨中處彎矩的影響線，可得形狀為等邊三角形。當(dāng)考察人走動(dòng)過(guò)程時(shí)，可認(rèn)為是兩個(gè)間距一定的集中荷載(對(duì)應(yīng)于人的兩只腳，如圖17中的短箭頭所示)，由影響線方法知，當(dāng)其中一只腳踩在木板的跨中處時(shí)，為最不利位置。當(dāng)考察人停下來(lái)的時(shí)候，可認(rèn)為兩只腳合并為一個(gè)大的集中荷載(如圖17中的長(zhǎng)箭頭所示)，由影響線方法知，當(dāng)人的兩只腳都踩在木板的跨中處時(shí)，為最不利位置。

7 “重載不曲”的薄鋼板

某路面為了埋設(shè)暖氣管道挖了一個(gè)大坑，然后鋪上了鋼板供車(chē)輛和行人通行(圖18)。由圖可見(jiàn)，鋼板的厚度很小、跨度挺大，但即使有卡車(chē)通過(guò)，它也沒(méi)有發(fā)生明顯的彎曲變形。為什么？

圖18 臨時(shí)鋪設(shè)的鋼板路面

這個(gè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移計(jì)算知識(shí)(基礎(chǔ)是虛功原理)。這個(gè)鋼板的兩端同樣不限制轉(zhuǎn)動(dòng)，可近似為簡(jiǎn)支梁。高跨比顯然很小，不屬于深梁，因此可忽略剪切變形，主要考慮彎曲變形。對(duì)彎曲變形的抵抗能力即為抗彎剛度EI(E為材料的彈性模量，I為截面的慣性矩)，這里的EI到底大不大？

這個(gè)薄鋼板的截面為矩形，I可按下式計(jì)算：

(1)

式中：b為截面寬度；h為截面高度。

這里的b雖然挺大，但h很小，I和h是三次方關(guān)系，所以I肯定不大。但注意到，鋼材的E值很大(2×105MPa左右)，所以抗彎剛度EI的值還是很大的，保證了薄鋼板在車(chē)輛作用下也不明顯彎曲。

8 “尋根固源”的石板橋加固

石板橋在園林、景區(qū)內(nèi)很常見(jiàn)，如北京頤和園內(nèi)的某石板橋如圖19所示。石板本身是一次加工成型的，如果我們需要提高石板橋的載重能力，或者增大它的安全儲(chǔ)備，該如何做？

圖19 頤和園內(nèi)某石板橋

根據(jù)一般的力學(xué)概念，可以換用強(qiáng)度更高的石板或增大石板的厚度。但操作起來(lái)都很麻煩、代價(jià)較大。

可以從邊界條件這一石板的支撐本源入手?；诮Y(jié)構(gòu)力學(xué)中兩端固結(jié)梁與簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力區(qū)別可知，可以對(duì)石板兩端部的轉(zhuǎn)動(dòng)約束情況進(jìn)行加強(qiáng)，讓它趨向于兩端固結(jié)梁(如在端部布置少量錨固筋，或澆筑少量混凝土/砂漿)，這樣在荷載作用下，它的最大彎矩值會(huì)顯著降低，承載能力和安全性自然隨之提高。從實(shí)施上來(lái)說(shuō)，也相對(duì)簡(jiǎn)便很多。

9 結(jié)語(yǔ)

結(jié)構(gòu)力學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，立足于應(yīng)用。本文從簡(jiǎn)支梁(板)、懸臂梁、連續(xù)梁、二力桿、桁架、影響線、虛功原理、邊界條件等八個(gè)方面介紹了結(jié)構(gòu)力學(xué)重要概念與方法的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，展現(xiàn)了具體應(yīng)用效用，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)力學(xué)概念、方法與工程實(shí)踐、日常生活的有機(jī)結(jié)合，形象地展示了應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)的價(jià)值與魅力。