空間光調(diào)制器像素結(jié)構(gòu)對(duì)波前重建的影響

肖昭賢，溫金鵬，趙自新，樊 晨

(1.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621999；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械制造系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049)

1 引 言

液晶空間光調(diào)制器(Liquid Crystal Spatial Light Modulator ,LC-SLM)[1]是由在空間上二維陣列排布的獨(dú)立單元構(gòu)成，基于液晶的電控雙折射原理，它可以在光信號(hào)或電信號(hào)隨時(shí)間和空間變化的驅(qū)動(dòng)和控制下，對(duì)光波的振幅、相位、波長(zhǎng)、偏振態(tài)和相干性進(jìn)行調(diào)制，是在光邏輯運(yùn)算、光互聯(lián)、實(shí)時(shí)光學(xué)信息處理等系統(tǒng)中的關(guān)鍵器件[2]。LC-SLM 具有空間分辨率高、可編程控制、質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)[3]，在材料的顯微處理[4]、全息三維成像[5-6]、空間光束整形和脈沖整形[7-8]、波前傳感器[9]及自適應(yīng)光學(xué)[10]等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。

在傳統(tǒng)的計(jì)算全息(Computer-generated Holography,CGH)補(bǔ)償檢測(cè)中，非球面與計(jì)算全息實(shí)體具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用通用性較差，而且制造工藝程序復(fù)雜、成本高、周期長(zhǎng)?？蒲腥藛T嘗試?yán)肔C-SLM對(duì)光波相位近似連續(xù)調(diào)制的能力，作為 CGH 的記錄介質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)光學(xué)非球面元件的動(dòng)態(tài)計(jì)算全息補(bǔ)償檢測(cè)。

南京理工大學(xué)的朱日宏教授等人[11-12]自2004 年起提出使用液晶電視實(shí)時(shí)測(cè)量非球面的方法，探究了液晶電視的光學(xué)性質(zhì)及它應(yīng)用于非球面檢測(cè)的可行性。西安工業(yè)大學(xué)韓軍等人[13-15]利用 LC-SLM 重建波面的PV值為0.420 3λ，RMS值為0.091 4λ。哈爾濱理工大學(xué)的周昊[16]基于LC-SLM搭建泰曼格林型干涉光路，對(duì)口徑為50 mm和 52 mm的兩個(gè)凹拋物面鏡進(jìn)行了檢測(cè)，證明了 LC-SLM 作為 CGH 記錄介質(zhì)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)靈活測(cè)量非球面方法的可行性。2019 年國(guó)防科技大學(xué)[17]提出了一種使用 LC-SLM 作為可重新配置波前形狀的多級(jí)干涉圖型計(jì)算機(jī)生成全息圖(ICGH)的方法，對(duì)非球面和自由曲面進(jìn)行動(dòng)態(tài)零位測(cè)量，提高了測(cè)試的靈活性和效率。

非球面動(dòng)態(tài)檢測(cè)的精度直接取決于LC-SLM波前重構(gòu)的精度。目前，制約LC-SLM取代實(shí)體記錄介質(zhì)，實(shí)現(xiàn)高精度波前調(diào)控的主要因素包括LC-SLM的像素結(jié)構(gòu)因素、液晶分子響應(yīng)的自身非線性以及基底空間的不一致性。中科院上海光機(jī)所劉世杰等人[18-20]基于菲涅耳衍射原理以及離散傅里葉變換算法,重點(diǎn)分析了像素結(jié)構(gòu)因素的影響，精確地仿真波面經(jīng)SLM 調(diào)制并傳播到待測(cè)表面的過(guò)程,從而獲得待測(cè)元件處補(bǔ)償波面誤差。在此基礎(chǔ)上，本文使用德國(guó) LightTrans 公司研發(fā)的物理光學(xué)數(shù)值分析軟件 VirtualLabTM中LC-SLM模塊對(duì)像素尺寸、填充因子比例及灰度等級(jí)對(duì)補(bǔ)償波面的重建精度進(jìn)行了研究，通過(guò)理論分析獲得了算法本底誤差及多因素耦合誤差，從而建立了LC-SLM高精度波前重建的前提條件。

2 仿真原理及模型

利用SLM動(dòng)態(tài)檢測(cè)非球面的基本原理如下：SLM作為CGH的記錄介質(zhì)，平面波入射至SLM靶面，經(jīng)調(diào)制產(chǎn)生被測(cè)光學(xué)面的補(bǔ)償波面。調(diào)制函數(shù)也就是計(jì)算全息圖，傳統(tǒng)的計(jì)算全息圖是被相位刻蝕在實(shí)體介質(zhì)上，而SLM則是通過(guò)液晶分子偏轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)離散相位編碼輸出。

假定被測(cè)光學(xué)鏡面為球面鏡，那么理想的補(bǔ)償波面為：

(1)

由文獻(xiàn)[16]可知，補(bǔ)償波面逆向傳播距離為z時(shí)，通過(guò)光線追跡此平面內(nèi)波前的理想相位分布為：

(2)

該相位分布即是計(jì)算全息圖相位，被包裹調(diào)制在[-π,π]后，編碼加載至SLM上。圖1(a)為VirtualLabTM軟件中構(gòu)建的波前重建系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)3D視圖，圖1(b)為SLM波前重構(gòu)及檢測(cè)系統(tǒng)光學(xué)流程。

圖1 VirtualLabTM仿真Fig.1 VirtualLabTM simulation

SLM上的初始光場(chǎng)為U(x,y)=Aeiφ(x,y)，其中φ(x,y)即為公式(2)所表示的相位分布。光場(chǎng)進(jìn)行菲涅爾正向傳輸，光場(chǎng)分布為：

(3)

獲得復(fù)振幅U(u,v)=A′eiφ(u,v)，提取其相位分布φ(u,v)。雖然菲涅爾傳輸算法本身存在固有計(jì)算誤差，但在滿足采樣定理的前提下，φ(u,v)極限接近于φ(x,y)。

實(shí)體SLM由大量像素獨(dú)立單元構(gòu)成，具有一定的尺寸、填充因子比例及電子器件固有的灰階量化級(jí)次。前兩項(xiàng)可直接通過(guò)設(shè)置參數(shù)實(shí)現(xiàn)；而灰階量化級(jí)次采用Hard Quantization方法，其表達(dá)式如下：

φ(x,y)′=

(4)

其中Q為量化級(jí)次，Round[]為取整符號(hào)。

像素結(jié)構(gòu)因素被調(diào)制疊加到連續(xù)相位中，獲得實(shí)際的相位分布φ(x,y)′，如圖2所示。經(jīng)菲涅爾正向傳輸，提取實(shí)際的補(bǔ)償波面相位分布φ(u,v)′。實(shí)際補(bǔ)償波面光場(chǎng)A′eiφ(u,v)′通過(guò)與理想共軛光場(chǎng)A′e-iφ(u,v)相乘，提取相位誤差，得到：

圖2 仿真系統(tǒng)疊加像素結(jié)構(gòu)后實(shí)際相位分布Fig.2 Phase distribution of simulation system after superposing pixel structure

φerror(u,v)=φ(u,v)′-φ(u,v).

(5)

分別用PV(φerror)/λ(Peak-to-Valley of Wavefront Error /λ)和RMS(φerror)/λ(RMS of Wavefront Error/λ)值表征相位誤差。

3 仿真結(jié)果

明確仿真系統(tǒng)中傳輸距離z=500 mm，使用紅光波長(zhǎng)λ=632.8 nm，理想球面波半徑r=100 mm。

3.1 系統(tǒng)原始誤差

實(shí)體介質(zhì)計(jì)算全息可以是連續(xù)的，但是使用數(shù)字仿真技術(shù)，即使是理想的波前相位分布也會(huì)被數(shù)字化離散。同時(shí)菲涅爾算法中使用離散傅里葉變換，空域的采樣間距、空域有限的采樣范圍以及頻域的采樣間距都會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)誤差[21]。經(jīng)過(guò)光場(chǎng)傳輸，攜帶算法本身以及數(shù)字離散引起的誤差，生成存在系統(tǒng)原始誤差的理想補(bǔ)償波面。通過(guò)理想補(bǔ)償波面光場(chǎng)與其共軛光場(chǎng)相乘，提取相位獲得系統(tǒng)原始誤差，結(jié)果如圖3所示。

圖3 8 mm×6 mm靶面系統(tǒng)原始誤差計(jì)算示意圖Fig.3 Original error calculation diagram of 8 mm×6 mm target system

在計(jì)算系統(tǒng)原始誤差時(shí)，設(shè)計(jì)的像素尺寸為1 μm。從圖3可以看出，8 mm×6 mm靶面尺寸系統(tǒng)補(bǔ)償波面的原始誤差振幅部分處處相等，相位結(jié)果近似于零。從表1可知：靶面尺寸越小，系統(tǒng)原始誤差反而越大；當(dāng)靶面尺寸大于8 mm×6 mm時(shí)，系統(tǒng)原始誤差幾乎不變。因此，本文在SLM靶面尺寸為8 mm×6 mm的條件下開展仿真工作，同時(shí)忽略由仿真系統(tǒng)引入的原始誤差。

表1 SLM不同靶面尺寸對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)原始誤差Tab.1 Original errors of SLM system with different target sizes

3.2 像素結(jié)構(gòu)因素誤差

目前，同類相位型空間光調(diào)制器最小的像素尺寸可達(dá)3.74 μm，但價(jià)格高昂，因此在光學(xué)工程領(lǐng)域常用的SLM像素尺寸仍不小于6 μm。仿真過(guò)程中，設(shè)定像素尺寸分別為8，10，12，14，16，18，20，25，30 μm，設(shè)定填充因子比例分別為40%，50%，60%，70%，80%，90%，100%，設(shè)定灰階量化級(jí)次分別為24，25，26，27，28。在VirtuaLabTM軟件中搭建仿真系統(tǒng)并進(jìn)行掃描計(jì)算，獲得補(bǔ)償波面誤差的PV和RMS值，分別如圖4和圖5所示。

設(shè)定灰階量化級(jí)次為28，補(bǔ)償波面誤差PV值隨像素尺寸的變化情況圖4(a)所示，圖中每一條曲線對(duì)應(yīng)SLM不同填充因子比例，圖4(b)則表示補(bǔ)償波面誤差的RMS值?？梢钥闯?，不論是補(bǔ)償波面誤差的PV值還是RMS值，在總體趨勢(shì)上均是隨像素尺寸增大而增大，當(dāng)像素尺寸小于20 μm時(shí)，PV值為0.03λ～0.05λ，RMS值為0.005λ～0.007λ，均能滿足高精度補(bǔ)償波前的要求，且填充因子比例對(duì)補(bǔ)償波面誤差的影響較小；但是，像素尺寸一旦超過(guò)20 μm，PV值和RMS值開始顯著增大，并且填充因子比例不同曲線的增長(zhǎng)斜率也不同，也就是填充因子比例越低，補(bǔ)償波面誤差增長(zhǎng)得越快。

圖4 灰階量化級(jí)次為28，補(bǔ)償波面誤差的PV值和RMS值Fig.4 PV and root mean square values of compensating wave surface error with gray-level number of 28

設(shè)定填充因子比例為100%，補(bǔ)償波面誤差PV值隨像素尺寸的變化情況如圖5(a)所示，圖中每一條曲線對(duì)應(yīng)SLM不同灰階量化級(jí)次，圖5(b)則表示補(bǔ)償波面誤差的RMS值?？梢钥闯?，不論是補(bǔ)償波面誤差的PV值還是RMS值，在總體趨勢(shì)上均是隨像素尺寸的增大而增大，和圖4(a)、4(b)相似的地方仍然是20 μm存在增長(zhǎng)拐點(diǎn)，區(qū)別在于像素尺寸小于20 μm時(shí)，灰階量化級(jí)次對(duì)補(bǔ)償波面誤差的影響已經(jīng)相對(duì)明顯。不難理解，離散級(jí)次會(huì)直接影響著波前調(diào)控精度。

圖5 填充因子比例為100%，補(bǔ)償波面誤差的PV值和RMS值Fig.5 PV and RMS values of compensating wave surface errorr with filling factor ratio of 100%

4 分析與討論

由上文的仿真結(jié)果可知，補(bǔ)償波面誤差隨像素尺寸的變化存在“拐點(diǎn)”。本文中仿真的SLM像素尺寸為8 mm×6 mm，對(duì)于球面波而言，式(2)中的φ(x,y)加載到SLM調(diào)制全息圖的口徑即為D=8 mm。不難得到，這類對(duì)稱相位分布的最大空間頻率位于邊緣處。首先獲得φ(x,y)的微分函數(shù)，公式如下：

(6)

本文補(bǔ)充計(jì)算了像素尺寸為48 μm時(shí)的補(bǔ)償波面誤差，設(shè)定填充因子比例為100%，量化灰度級(jí)次為28，計(jì)算誤差的PV值和RMS值，結(jié)果如表2所示。像素尺寸為48 μm時(shí)，對(duì)應(yīng)的采樣倍數(shù)僅為1.32。從表中看出，在滿足采樣定理的條件下，隨著采樣倍數(shù)的增加，補(bǔ)償波面的精度也在提高；當(dāng)采樣倍數(shù)大于3時(shí)，精度趨于一個(gè)緩慢增加的過(guò)程，此時(shí)已能夠滿足高精度測(cè)量的要求。而在不滿足采樣定理的情況下，補(bǔ)償波面誤差PV值和RMS值急劇增長(zhǎng)，可見決定補(bǔ)償波面誤差真正的“拐點(diǎn)”，出現(xiàn)在滿足理論奈奎斯特采樣頻率對(duì)應(yīng)的空間分辨率。

表2 不同像素尺寸對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償波面誤差

在滿足以上條件的基礎(chǔ)上，填充因子比例及灰階量化級(jí)次的影響并不顯著，不作為決定性因素。那么，只要計(jì)算出被測(cè)光學(xué)曲面的最大空間頻率，適當(dāng)提高采樣倍數(shù)，例如3倍，就能選擇出合適特性參數(shù)的SLM以實(shí)現(xiàn)高精度動(dòng)態(tài)測(cè)量。這種方法可以有效降低成本，不盲目追求像素尺寸小、填充因子比例高、灰度量化級(jí)次高的調(diào)制器件。

5 結(jié) 論

本文基于菲涅耳衍射原理以及離散傅里葉變換算法,使用物理光場(chǎng)數(shù)值分析軟件 VirtualLabTM對(duì)LC-SLM重建補(bǔ)償波面精度進(jìn)行了系統(tǒng)研究，獲得了像素結(jié)構(gòu)因素的理論算法本底誤差及多因素耦合誤差。針對(duì)主要由像素采樣尺寸帶來(lái)的誤差“拐點(diǎn)”問(wèn)題，結(jié)合重建波面空間頻率，提出在滿足奈奎斯特定理的基礎(chǔ)上，根據(jù)被測(cè)波面最大空間頻率恰當(dāng)選擇符合特性參數(shù)的LC-SLM，可降低構(gòu)建曲面動(dòng)態(tài)檢測(cè)系統(tǒng)的成本。而且，有賴于電子刻束和微納制造技術(shù)的發(fā)展，液晶空間光調(diào)制器的像元尺寸完全能夠提供一個(gè)高精度動(dòng)態(tài)測(cè)量的基本條件。由于空間頻率的限制，如何提高LC-SLM的動(dòng)態(tài)調(diào)制范圍是接下來(lái)非常重要的研究方向，后續(xù)工作更應(yīng)該關(guān)注液晶分子響應(yīng)的自身非線性以及基底空間不一致性帶來(lái)的調(diào)控誤差。