基于噪聲子空間矢量的OMP離格DOA估計(jì)

趙 洋,石屹然,石要武

(吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022)

1 引 言

波達(dá)方向(Direction of Arrival, DOA)定位和跟蹤是自適應(yīng)天線以及陣列信號(hào)處理的重要研究方向，其在網(wǎng)絡(luò)通信、導(dǎo)航、射電天文、地震勘探、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域都有深入的應(yīng)用。DOA估計(jì)的基本問題是通過設(shè)計(jì)算法對(duì)同時(shí)出在空間某區(qū)域內(nèi)的多個(gè)目標(biāo)信號(hào)的空間位置進(jìn)行估計(jì)。近些年發(fā)展起來的稀疏表示理論的基本出發(fā)點(diǎn)是假設(shè)基函數(shù)在某變換域中是稀疏的，這點(diǎn)恰恰與DOA空域信號(hào)在整個(gè)空間區(qū)域內(nèi)稀疏分布相契合，所以稀疏恢復(fù)算法正在被廣泛用于陣列信號(hào)處理領(lǐng)域。

稀疏恢復(fù)算法為陣列信號(hào)處理提供了新的解決思路的同時(shí)也帶來了網(wǎng)格量化誤差問題。目前幾乎所有稀疏表示測(cè)向算法[1-5]中均假設(shè)DOA信號(hào)恰好落在預(yù)設(shè)網(wǎng)格上，基于此假設(shè)陣列信號(hào)模型可以通過對(duì)整個(gè)角度空間的網(wǎng)格化轉(zhuǎn)化為在各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上(on-grid)的線性稀疏重構(gòu)模型。然而，真實(shí)的來波信號(hào)在角度空間內(nèi)連續(xù)分布，依賴上述假設(shè)建立的稀疏重構(gòu)模型與真實(shí)測(cè)向模型之間存在模型擬合誤差。隨著在整個(gè)空間域內(nèi)劃分的網(wǎng)格數(shù)的增加這個(gè)模型擬合誤差在一定程度上會(huì)減少，然而由于離散網(wǎng)格數(shù)畢竟是有限的，所以此誤差無法完全消除。并且增加網(wǎng)格數(shù)會(huì)帶來大計(jì)算量的同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致字典相鄰原子間的相關(guān)性顯著增加，這又與稀疏表示理論要求原子間滿足有限等距條件(Restricted Isometry Property: RIP)相矛盾，進(jìn)而對(duì)算法運(yùn)算結(jié)果帶來影響。

為了克服網(wǎng)格量化誤差對(duì)測(cè)向的影響，研究學(xué)者對(duì)離格(off-grid)信號(hào)場(chǎng)景進(jìn)行了研究，通過陣列導(dǎo)向的一階泰勒展開式將網(wǎng)格偏移量引入DOA估計(jì)的off-grid模型。文獻(xiàn)[6]利用交替迭代優(yōu)化思想解決壓縮感知算法中的重構(gòu)矩陣存在誤差的問題，提出了稀疏全局最小二乘法。然而該算法性能受限于兩個(gè)正則化參數(shù)的選擇。文獻(xiàn)[7]提出了一種類似基追蹤去噪(Basis Pursuit DeNoising, BPDN)的算法對(duì)信號(hào)和網(wǎng)格量化誤差進(jìn)行聯(lián)合求解。文獻(xiàn)[8]研究了上述off-grid模型進(jìn)行DOA估計(jì)中網(wǎng)格量化誤差的理論下限。文獻(xiàn)[9]針對(duì)DOA估計(jì)的off-grid模型提出了一種混合范數(shù)優(yōu)化算法。上述文獻(xiàn)均采用基于lp,0≤p≤1 范數(shù)約束的凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解，而對(duì)信號(hào)DOA和網(wǎng)格量化誤差進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)是非凸問題，通常需要交替迭代多次求解凸優(yōu)化問題，計(jì)算量較大且設(shè)置正則化參數(shù)缺乏統(tǒng)一的理論支撐。

以O(shè)MP算法為代表的貪婪算法因其具有計(jì)算量小、邏輯清晰、所需先驗(yàn)知識(shí)少等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于稀疏恢復(fù)的各個(gè)領(lǐng)域。然而以往的文獻(xiàn)中利用貪婪算法解決基于off-grid模型的DOA估計(jì)問題卻鮮有報(bào)道。主要原因是這類方法在冗余字典原子間相關(guān)性較強(qiáng)時(shí)性能顯著惡化[10-11]，如此會(huì)導(dǎo)致的低分辨率使得考慮網(wǎng)格量化誤差變得沒有意義。事實(shí)上由導(dǎo)向矢量展開生成的冗余字典局部范圍內(nèi)原子間具有的強(qiáng)互相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致大多數(shù)稀疏恢復(fù)算法在處理空間距離相近的一對(duì)信號(hào)時(shí)性能惡化。而貪婪算法通常恰以殘差與原子的相關(guān)度大小作為判定該原子是否選入支撐集的判定標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致此類算法受到冗余字典原子互相關(guān)性的影響更為顯著。文獻(xiàn)[12]說明了貪婪算法無法分辨在同一波束內(nèi)的多個(gè)方向信號(hào)。為了提高此類算法的分辨能力，文獻(xiàn)[13-14]提出了多級(jí)樹狀匹配追蹤模型，文獻(xiàn)[15]采用適用與多塊拍的場(chǎng)合的DOA估計(jì)匹配追蹤算法(Multiple Measurement Vector, MMVOMP)，文獻(xiàn)[12,16-17]分別針對(duì)均勻線陣、均勻面陣和非均勻線陣提出基于字典原子擴(kuò)維的聚焦OMP(Focused OMP，F(xiàn)OMP)算法。但是以上算法以及其他OMP的衍生算法如ROMP[18]CSMP[19]都沒從根本上降低此類算法對(duì)冗余字典原子間互相關(guān)性的依賴性，從而無法真正改善在其用于DOA估計(jì)時(shí)超分辨能力不足的問題。此時(shí)只能依靠增大陣列孔徑來提高分辨率，而實(shí)際應(yīng)用中很多特殊場(chǎng)合對(duì)陣列孔徑的大小有嚴(yán)格限制，如機(jī)載雷達(dá)。本文從支撐集判定規(guī)則角度對(duì)此類算法進(jìn)行修正，設(shè)計(jì)改進(jìn)算法以滿足分辨率要求，同時(shí)考慮了網(wǎng)格量化所帶來的誤差影響。

2 數(shù)學(xué)模型

考慮M個(gè)陣元構(gòu)成的均勻線形陣列如圖1所示，陣元間距d等于半波長(zhǎng)，接收K個(gè)互不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)的陣列輸出為：

圖1 10個(gè)陣元構(gòu)成的均勻線形陣列Fig.1 Uniform linear array composed of ten elements

X(t)=A(θ)s(t)+e(t),

(1)

其中:e(t)為高斯白噪聲。根據(jù)陣列信號(hào)模型，當(dāng)陣列接收到足夠快拍數(shù)時(shí)，有陣列輸出數(shù)據(jù)可以得到協(xié)方差矩陣為：

R=E[XXH]=A(θ)RSAH(θ)+σIM,

(2)

其中:E[·]表示求期望，上標(biāo)H表示求共軛轉(zhuǎn)置，RS表示信號(hào)S的協(xié)方差矩陣。當(dāng)入射信號(hào)互不相關(guān)時(shí)RS為對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素分別為{p1,...,pK}，pk為第k個(gè)入射信號(hào)的功率。此時(shí)對(duì)(1)進(jìn)行向量化操作得到：

r=(A*(θ)⊙A(θ))p=Φ(θ)p,

(3)

(4)

(5)

(6)

其中Δ稱為模型的量化誤差矩陣，當(dāng)Δ=0時(shí)，模型(6)和模型(4)等價(jià)，此時(shí)所有入射信號(hào)恰好落在預(yù)設(shè)網(wǎng)格上。顯然模型(6)考慮到了離格情況的發(fā)生，對(duì)比模型(4)，模型(6)與真實(shí)信號(hào)模型吻合度更高。

信號(hào)協(xié)方差矩陣R理論上需要無窮快拍才能精確計(jì)算，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中只能通過有限的L次采樣計(jì)算R的估計(jì)值：

(7)

υHΦ(θk)=0.

(8)

依照式(8)對(duì)OMP算法支撐集提取規(guī)則進(jìn)行修正，打破對(duì)原子間的互相關(guān)度的單一依賴。

3 算法實(shí)現(xiàn)

(9)

第二步保持p不變，更新Δ：

(10)

其中Δ=diag(φ1,...,φK)。將上述思想嵌入OMP算法框架，同時(shí)利用(8)對(duì)其進(jìn)行修正得到噪聲子空間矢量離格OMP(NSVOGOMP)算法過程如下：

(11)

(12)

令?L(Δk)/?Δk=0可以得到Δk的對(duì)角線上的第nk個(gè)元素更新為：

(13)

(14)

具體算法流程如下：

該算法的優(yōu)點(diǎn)是無需已知信號(hào)源個(gè)數(shù)。

第k次迭代：

Step1利用式(11)確定支撐集序號(hào)nk和對(duì)應(yīng)的原子Φ(γnk)；

Step3:計(jì)算|υHΦ(γnk)|和|υH(Φ(γnk)+Γ(γnk)Δk)|；

Step4：如果|υHΦ(γnk)|≥|υH(Φ(γnk)+Γ(γnk)Δk)|則：

Step5：如果|υHΦ(γnk)|<|υH(Φ(γnk)+Γ(γnk)Δk)|則：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)主要評(píng)估文中NSVOGOMP算法的DOA估計(jì)性能，仿真實(shí)驗(yàn)基于10陣元以相鄰陣元間距半波長(zhǎng)排列構(gòu)成的均勻線形陣列為基礎(chǔ)圍繞驗(yàn)證算法估計(jì)的精度與方向分辨能力展開。在實(shí)際應(yīng)用中本文所提算法適用于任意幾何結(jié)構(gòu)陣列。實(shí)驗(yàn)中要求信號(hào)的DOA在角度域以內(nèi)但是允許落在預(yù)設(shè)網(wǎng)格以外的任意情況發(fā)生。

4.1 實(shí)驗(yàn)一:驗(yàn)證支撐集判定規(guī)則

4.2 實(shí)驗(yàn)二：NSVOGOMP算法的DOA估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)二驗(yàn)證了NSVOGOMP算法的DOA估計(jì)性能。對(duì)于10陣元的ULA陣列，波束寬度BW≈15°,信噪比SNR1，2，3，4=10 dB，設(shè)角度域內(nèi)存在2對(duì)K=4個(gè)互不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶鄰近信號(hào)：θ11=20°,θ12=25° 和θ21=-35°,θ22=-40°。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)一中算法在相同參數(shù)設(shè)置條件下進(jìn)行比較。網(wǎng)格設(shè)置在-90°～90°，網(wǎng)格設(shè)置步長(zhǎng)l為1°。圖2顯示了三種算法在快拍數(shù)為L(zhǎng)=100次時(shí)的歸一化空間譜。

圖2 初始?xì)埐钤谧值湓臃较蛏系耐队癋ig.2 Projection of initial residuals in dictionary atomic direction

圖3 三種OMP類算法的歸一化空間譜Fig.3 Normalized spatial spectrum of three OMP algorithms

為了方便進(jìn)行比較，需要將三種OMP算法的停止條件進(jìn)行統(tǒng)一，由于不同算法的殘差衰減速度不同這里統(tǒng)一設(shè)置每種OMP算法迭代次數(shù)等于信號(hào)源個(gè)數(shù)。且由于另外兩種算法都是直接定義在陣列輸出X(t)上的，且FOMP算法的字典中原子維數(shù)又與其他兩種算法不同，導(dǎo)致空間譜幅值差異較大，為了方便觀察本實(shí)驗(yàn)對(duì)所有空間譜幅度均進(jìn)行歸一化處理。圖1中可以看到本文所提出算法對(duì)處理互相臨近的DOA信號(hào)對(duì)時(shí)比其他兩種算法存在優(yōu)勢(shì)，在快拍數(shù)滿足一定數(shù)量的時(shí)候可以很好的估計(jì)出波束寬度以內(nèi)的一對(duì)信號(hào)源位置。

4.3 實(shí)驗(yàn)三：分離角度偏差實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)三為了研究算法進(jìn)行DOA估計(jì)的空間角度分辨能力，本文重復(fù)文獻(xiàn)[1]中的分離角實(shí)驗(yàn)。將實(shí)驗(yàn)二中的三種算法與Root-MUSIC算法在相同參數(shù)設(shè)置條件下進(jìn)行比較。設(shè)有一對(duì)等功率信號(hào)：θ11=-50°,θ12=-50°+δ°，其中δ以1°間隔從1°增加到50°，每變化一次生成一對(duì)信號(hào)，每對(duì)信號(hào)進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，設(shè)置信噪比SNR1,2=0 dB，快拍數(shù)L=500考察算法對(duì)每一對(duì)角度估計(jì)的偏差：

(15)

從圖4可以看到本文所提算法的分辨能力僅次于Root-MUSIC而優(yōu)于其他兩種OMP算法。MMVOMP算法很好的利用了多塊拍信息，但是無法分辨一個(gè)波束寬度(BW=15°)內(nèi)的兩個(gè)信號(hào)。利用噪聲子空間矢量修正支撐集提取標(biāo)準(zhǔn)為本文算法帶來了分辨率上優(yōu)越性。優(yōu)于Root-MUSIC使用了全部噪聲子空間矢量所以分辨率更高，但是該算法必須依賴于噪聲子空間的正確劃分，也就是必須假定已知信源個(gè)數(shù)。

圖4 分離角偏差實(shí)驗(yàn)Fig.4 Separation angle deviation experiment

4.4 實(shí)驗(yàn)四：均方根誤差實(shí)驗(yàn)

估值值與真實(shí)值之間的均方根誤差(Root Mean Square Error：RMSE)是用來評(píng)價(jià)算法性能的重要指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)四設(shè)定在小快拍L=50場(chǎng)景存在一組空間分布距離較近的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶目標(biāo)源θ11=20°,θ12=25°，θ13=30°，在不同信噪比下使用文獻(xiàn)[7]的FOMP算法、文獻(xiàn)[12]算法、Root-MUSIC算法以及本文算法進(jìn)行DOA估計(jì)，所產(chǎn)生的RMSE定義為：

(16)

從圖5中可以看到，快拍數(shù)的不足會(huì)會(huì)嚴(yán)重影響子空間算法，如Root-MUSIC算法的性能，然而卻不會(huì)對(duì)本文所提算法產(chǎn)生明顯的影響，這主要得益于OMP算法的框架。FOMP算法雖然通過擴(kuò)大字典維數(shù)改善了分辨率性能，但是沒有從根本上降低冗余字典列間的互相關(guān)性，所以在實(shí)驗(yàn)條件下得不到無偏估計(jì)。本文所以算法在低信噪比時(shí)表現(xiàn)略差于其他算法，但是由于本文中基于OMP算法框架的NSVOGOMP算法不需要進(jìn)行l(wèi)p,0≤p≤1范數(shù)約束的優(yōu)化求解，存在明顯的計(jì)算量和實(shí)時(shí)性優(yōu)勢(shì)。

圖5 幾種算法的RMSEFig.5 RMSE of several algorithms

5 結(jié) 論

本文從陣列輸出協(xié)方差矩陣出發(fā)，考慮到DOA角度偏離預(yù)設(shè)網(wǎng)格時(shí)產(chǎn)生的量化誤差。在OMP算法框架下設(shè)計(jì)內(nèi)部迭代過程對(duì)稀疏信號(hào)和其相應(yīng)的量化誤差進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。通過協(xié)方差矩陣的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)造噪聲子空間向量，利用它一方面修正了OMP算法選擇支撐集的判定標(biāo)準(zhǔn)，另一方面也對(duì)離格誤差的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行判別。與子空間類算法相比，本文所提算法所需快拍數(shù)較少且無需預(yù)知信源個(gè)數(shù)；與一般貪婪類算法相比，本文所提算法大幅提高了對(duì)空間信號(hào)源方向的分辨能力；與lp,0≤p≤1范數(shù)優(yōu)化類算法相比，本文所提算法無需設(shè)置正則化參數(shù)且計(jì)算量較小。