變間距凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的消像散設(shè)計(jì)

趙美紅，王新宇，姜巖秀，楊 碩，李文昊*

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引 言

成像光譜儀是一種以高分辨率同時(shí)獲取每個(gè)探測(cè)目標(biāo)的圖像信息和特征光譜信息的輻射遙感儀器，其“圖譜合一”的特點(diǎn)不僅可以幫助人們直觀地確定探測(cè)目標(biāo)的存在，而且可以實(shí)現(xiàn)對(duì)材料成分微觀細(xì)節(jié)的分析。因此，成像光譜儀可用于執(zhí)行對(duì)廣域精確制圖、軍事目標(biāo)的識(shí)別與鑒定、目標(biāo)檢測(cè)、過(guò)程監(jiān)控控制、臨床診斷、影像學(xué)以及環(huán)境評(píng)價(jià)等探測(cè)任務(wù)[1]。目前，成像光譜儀已經(jīng)發(fā)展成為很多領(lǐng)域不可或缺的一部分，并在生物制藥、食品安全、農(nóng)林、加工制造、國(guó)防安全、海洋監(jiān)測(cè)、礦物勘探及空間探測(cè)等領(lǐng)域[2-6]具有廣闊的應(yīng)用前景。

成像光譜儀按照掃描成像方式一般分為推掃型、擺掃型和凝視型三種。其中，推掃型[7]成像光譜儀在像面處的探測(cè)器采用面陣CCD，它隨搭載平臺(tái)沿軌方向的推掃而實(shí)現(xiàn)對(duì)探測(cè)目標(biāo)的二維空間信息和一維光譜信息的實(shí)時(shí)獲取，從而實(shí)現(xiàn)高空間分辨率與光譜分辨率成像。以凸面光柵為核心分光元件的成像光譜儀采用全反射式Offner同心結(jié)構(gòu)的光譜分光系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊，色差、譜線彎曲和畸變小，分辨率高且成像速度快，因此成為推掃型成像光譜儀應(yīng)用領(lǐng)域的首選。

然而，反射式、對(duì)稱結(jié)構(gòu)的成像光譜系統(tǒng)在成像時(shí)一般會(huì)因光學(xué)元件的離軸配置而受系統(tǒng)像散的影響，因此，減小系統(tǒng)像散是該類系統(tǒng)在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)首要考慮的問(wèn)題。目前，已經(jīng)有一些借助光學(xué)設(shè)計(jì)軟件優(yōu)化設(shè)計(jì)凸面光柵成像光譜儀的方法，如傾斜凸面光柵，對(duì)凹面反射鏡加離心，將凹面反射鏡一分為二并優(yōu)化其曲率半徑與離軸量，以及在光路中加入消像散的彎月透鏡等[8]。這些消像差方法雖然能夠減小一部分系統(tǒng)像差，在一定程度上滿足應(yīng)用需要，但是會(huì)使得系統(tǒng)復(fù)雜化，增加系統(tǒng)負(fù)荷，從而增大儀器加工和裝調(diào)的難度，不僅大大提高了儀器的研制成本，還會(huì)破壞原有系統(tǒng)的反射式結(jié)構(gòu)，使其應(yīng)用受限。

像差是影響光譜儀器分辨率的重要因素，而影響光柵像差的兩個(gè)因素分別是光柵的基底面形和刻線密度及形狀。理論分析表明，通過(guò)改變光柵的刻線密度分布或是光柵面形可以消除系統(tǒng)像差。1960年，Murty研究了變柵距圓條紋凹面光柵的成像特性，確定了刻線密度的變化可以消除部分像差[9-12]，之后，人們開(kāi)始展開(kāi)對(duì)變間距光柵的研究。目前，用于光譜儀器像差校正的變間距光柵主要是變間距的平面光柵和凹面光柵，還未見(jiàn)變間距凸面光柵用于成像光譜儀像差校正的報(bào)道。

本文基于凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的幾何像差理論模型[13]，分析了系統(tǒng)的聚焦情況，并通過(guò)計(jì)算離軸物點(diǎn)的子午聚焦曲線、弧矢聚焦曲線以及它們的位置關(guān)系，構(gòu)建了凸面光柵刻線函數(shù)與像散的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)出了變間距的消像差凸面光柵，并以此為色散元件簡(jiǎn)化了分光系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，降低了系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研制難度，為凸面光柵成像光譜儀的消像差設(shè)計(jì)提供了一種新思路。

2 凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的消像差設(shè)計(jì)理論

2.1 幾何像差理論模型

圖1所示為三光學(xué)元件的凸面光柵成像光譜系統(tǒng)，M1和M2是兩個(gè)凹面反射鏡，G為凸面光柵，S和分別是系統(tǒng)的物平面和像平面，三光學(xué)元件的頂點(diǎn)O1，O2，O與物面中心A0、像面中心B0在同一水平面內(nèi)(即該系統(tǒng)的子午面)，而且在A0，O1，O，O2，B0處建立的直角坐標(biāo)系的XS,x1，x，x2，X軸也在子午面內(nèi)。A(0,s,z)點(diǎn)是物面上一入射點(diǎn)光源，由A點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)M1鏡上一點(diǎn)Q1(ξ1,w1,l1)反射后，與凸面光柵表面交于一點(diǎn)P(ξ,w,l)，由凸面光柵上P點(diǎn)衍射后與M2鏡表面交于一點(diǎn)Q2(ξ2,w2,l2)，然后由M2鏡聚焦于像面上一點(diǎn)B(0,Y,Z)。子午面上A0O1，O1O，OO2，O2B0的距離大小分別為r1，r，r′，r2，其中A0O1與x1軸的夾角為θ1，O1O與x軸的夾角為θ，子午面上O點(diǎn)的衍射角為θ′，OO2與x2軸的夾角為θ2。θ1，θ，θ′和θ2的正負(fù)分別取決于其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和光線所在的坐標(biāo)系x1y1z1，xyz和x2y2z2的第一象限或第四象限。

圖1 三光學(xué)元件凸面光柵成像光譜系統(tǒng)Fig.1 Schematic diagram of three-element imaging spectrum system with convex grating

在該系統(tǒng)中，凹面反射鏡M1，M2和凸面光柵G的面型均為球面，而且滿足方程：

(ξτ-Rτ)2+ωτ2+lτ2=Rτ2,

(1)

其中Rτ表示球面曲率半徑，τ=0,1,2分別代表凸面光柵G和凹面反射鏡M1，M2。依據(jù)Namioka的幾何像差理論，式(1)可以展開(kāi)為坐標(biāo)ωτ和lτ的級(jí)數(shù)，即：

(2)

點(diǎn)光源A發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)整個(gè)分光系統(tǒng)后的光程函數(shù)為：

(3)

式中:qτ，pτ分別為凹面反射鏡(或凸面光柵)上入射光線和出射光線的光程；n為凸面光柵上入射點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的第n條刻線，定義光柵面頂點(diǎn)處為第零條刻線；m為光柵衍射級(jí)次；λ0為光柵的記錄波長(zhǎng)，λ為系統(tǒng)的使用波長(zhǎng)；Mijkh，Hijkh分別表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和光柵制作參數(shù)引入的像差項(xiàng)，i，j，k，h表示凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的像差項(xiàng)數(shù)；Hijkh[13]為與光柵刻線函數(shù)相關(guān)的項(xiàng)，隨光柵刻線密度的變化會(huì)對(duì)系統(tǒng)像差進(jìn)行調(diào)制。光柵刻線函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式為:

(4)

對(duì)光程函數(shù)使用費(fèi)馬原理，可以得到像面點(diǎn)列圖函數(shù)，即:

(5)

(6)

式(5)和式(6)即為凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的幾何像差理論模型，Eijkh，F(xiàn)ijkh為像差系數(shù)。

2.2 凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的聚焦情況分析

當(dāng)系統(tǒng)的凹面反射鏡與凸面光柵的結(jié)構(gòu)配置合理時(shí)，系統(tǒng)的離焦系數(shù)項(xiàng)E1000,F0100的值為零，近軸光線在像平面上的子午像與弧矢像聚焦。依據(jù)幾何像差理論模型，以子午面上的像點(diǎn)聚焦條件E1000=C1000A1000+C0001=0為例，可得:

(7)

式中:

(8)

圖2 Offner同心結(jié)構(gòu)的羅蘭圓示意圖Fig.2 Schematic diagram of Rowland circles for concentric Offner configuration

(9)

式中：

(10)

由式(10)可以看出子午像點(diǎn)的成像位置是與光柵刻線函數(shù)的二階項(xiàng)n20相關(guān)的函數(shù)，該項(xiàng)直接影響光柵的柵距；同樣，可以得出弧矢像點(diǎn)的成像位置與光柵刻線函數(shù)的二階項(xiàng)n02相關(guān)的函數(shù)，該項(xiàng)對(duì)光柵刻線的形狀有影響?；∈赶顸c(diǎn)的聚焦距離為：

(11)

式中：

(r2)S=r′+

(12)

一般情況下，一個(gè)實(shí)際的點(diǎn)光源或像經(jīng)過(guò)一個(gè)具有完美對(duì)稱性的橢圓反射鏡或超環(huán)面反射鏡系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)配置會(huì)滿足聚焦條件(r2)M=(r2)S而成無(wú)像散像。但是，因色散作用，凸面光柵成像光譜系統(tǒng)不再具有完美的系統(tǒng)對(duì)稱性，而且隨著使用光譜范圍的增加，這種不對(duì)稱性影響越大，由此產(chǎn)生的像散也越大。近軸光線的系統(tǒng)像散可以表示為：

(13)

Last是與光柵刻線函數(shù)的系數(shù)項(xiàng)n20，n02相關(guān)的函數(shù)，式中ε(λ)是不同波長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)像散影響的權(quán)重因子，以此為優(yōu)化目標(biāo)的適應(yīng)度函數(shù)，并通過(guò)光柵刻線函數(shù)的高階系數(shù)項(xiàng)(與系統(tǒng)的高階像差相關(guān))的調(diào)制，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)主要像差——像散的優(yōu)化。在該結(jié)構(gòu)中，系統(tǒng)像差主要是由物、像光線不對(duì)稱性引起的，一般通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)波長(zhǎng)處的子午與弧矢聚焦曲線進(jìn)行優(yōu)化[1,14],使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在該波長(zhǎng)處滿足像方遠(yuǎn)心[15-16]條件，就可以獲得滿足設(shè)計(jì)要求的優(yōu)化結(jié)果。

3 凸面光柵成像光譜儀的消像散設(shè)計(jì)

凸面光柵作為Offner同心成像光譜系統(tǒng)的關(guān)鍵色散元件，同時(shí)又處于分光系統(tǒng)的光闌位置，決定著成像光譜儀的光學(xué)性能。為了得到高像質(zhì)、高分辨率、低加工成本以及低裝調(diào)難度的標(biāo)準(zhǔn)Offner成像光譜系統(tǒng)(如圖3所示)，本文通過(guò)優(yōu)化凸面光柵刻線間距的設(shè)計(jì)方法，以減小并均衡不同波長(zhǎng)的光線因色散不對(duì)稱性引入的系統(tǒng)像散。

圖3 凸面光柵成像光譜系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of imaging spectrum system with convex grating

在該設(shè)計(jì)中，凸面光柵G和凹面反射鏡M均為球面，且其球心位于同一坐標(biāo)處，兩光學(xué)元件共軸，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。其中，狹縫尺寸為10 mm10 μm，凸面光柵的曲率半徑為R=100 mm，光柵中心點(diǎn)處的刻線密度為100 gr/mm，光柵口徑約為30 mm30 mm，光柵衍射級(jí)次為-1級(jí)，反射鏡M的曲率半徑為R1=R2=193.2 mm，主光線在光柵上的入射角為θ=30°，光譜波段為300～800 nm。以上述參數(shù)為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，為實(shí)現(xiàn)對(duì)多變量非線性目標(biāo)函數(shù)的全局優(yōu)化，選用高效率的遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，并通過(guò)多組優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比篩選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果。

表1 變間距凸面光柵的設(shè)計(jì)結(jié)果

圖4 光柵周期隨空間位置變化的示意圖Fig.4 Schematic diagram of grating period changing with space position

圖5 在子午與弧矢方向的優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimal results in both meridional and sagittal directions

系統(tǒng)在設(shè)計(jì)波長(zhǎng)處的全視場(chǎng)光線追跡結(jié)果如圖6所示，分辨力優(yōu)于2.4 nm；如圖7、圖8所示，系統(tǒng)在600 nm處有極限分辨力1.9 nm，在800 nm處的分辨力優(yōu)于3.3 nm。在系統(tǒng)的相對(duì)孔徑為F/2.7時(shí)，對(duì)300，600,800 nm的波長(zhǎng)分別在0,0.7和1視場(chǎng)處對(duì)10 μm10 μm的物點(diǎn)進(jìn)行光線追跡，得到的點(diǎn)列圖如圖9所示。圖中，點(diǎn)列圖是對(duì)均勻取樣光線追跡的結(jié)果，實(shí)際的能量分布滿足高斯分布，即光斑能量主要集中在譜線半高位置，如600 nm、0.7視場(chǎng)處的點(diǎn)列圖所示，能量集中分布在直徑約為10 μm的光斑范圍內(nèi)。整個(gè)系統(tǒng)的極限分辨力達(dá)1.9 nm，可實(shí)現(xiàn)約201個(gè)高光譜通道。

圖6 (7002.4)nm波長(zhǎng)的全視場(chǎng)光線追跡結(jié)果Fig.6 Ray tracing results at wavelengths of (7002.4)nm for whole field of view

圖7 (6001.9)nm波長(zhǎng)的全視場(chǎng)光線追跡結(jié)果Fig.7 Ray tracing results at wavelengths of (6001.9)nm for whole field of view

圖8 (8003.3)nm波長(zhǎng)的全視場(chǎng)光線追跡結(jié)果Fig.8 Ray tracing results at wavelengths of (8003.3)nm for whole field of view

圖9 不同波長(zhǎng)、不同視場(chǎng)處的點(diǎn)列圖Fig.9 Spot diagrams at multi-wavelengths for different fields of view

在成像光譜系統(tǒng)中，譜線彎曲會(huì)導(dǎo)致光譜混疊，色畸變會(huì)使像面強(qiáng)度空間分布不均勻，一般要求譜線彎曲和色畸變均不超過(guò)探測(cè)器像元尺寸的一半。凸面光柵成像光譜系統(tǒng)是基于1∶1倍率放大的Offner同心對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其色畸變因系統(tǒng)對(duì)稱性消除，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖10所示。其中，橫軸為光譜維方向，縱軸為每個(gè)波長(zhǎng)狹縫像的長(zhǎng)度相對(duì)于設(shè)計(jì)波長(zhǎng)狹縫像的長(zhǎng)度差，可見(jiàn)系統(tǒng)色畸變可以忽略。系統(tǒng)的譜線彎曲變化曲線如圖11所示，

圖10 不同波長(zhǎng)、不同視場(chǎng)處的色畸變Fig.10 Keystone at different wavelengths and fields of view

圖11 不同波長(zhǎng)、不同視場(chǎng)處的譜線彎曲變化曲線Fig.11 Curves of smile at different wavelengths and fields of view

其中橫軸為系統(tǒng)的歸一化視場(chǎng)，縱軸為實(shí)際的狹縫像相對(duì)理想像的中心偏移量，系統(tǒng)的最大譜線彎曲量約為1.25 μm。當(dāng)系統(tǒng)選用探測(cè)器的尺寸為14 μm時(shí)，它遠(yuǎn)小于半個(gè)像元。在奈奎斯特頻率為35 lp/mm時(shí)，不同波長(zhǎng)處各視場(chǎng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(Modulation Transfer Function,MTF)如圖12所示，系統(tǒng)的MTF值大于0.7，成像質(zhì)量?jī)?yōu)良。

圖12 系統(tǒng)在不同波長(zhǎng)處的調(diào)制傳遞函數(shù)Fig.12 MTFs of system at different wavelengths

基于文中的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，分別采用等間距的凸面光柵與變間距凸面光柵作為系統(tǒng)的分光元件，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)全波段內(nèi)不同視場(chǎng)處的光譜像展寬變化曲線如圖13所示。其中，橫軸為系統(tǒng)的使用波長(zhǎng)，縱軸為狹縫經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后的光譜像寬，顯然變間距光柵的引入使得光譜像半高寬在光斑尺寸附近收斂，可以更好地實(shí)現(xiàn)全波段內(nèi)光譜像的聚焦成像。

圖13 不同視場(chǎng)處的光譜像展寬變化曲線Fig.13 Curves of spectral image broadening at different fields of view

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于變間距凸面光柵的凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的消像散設(shè)計(jì)方法。 對(duì)凸面光柵成像光譜系統(tǒng)的幾何像差理論和聚焦情況進(jìn)行分析，得出近軸光線的像散與凸面光柵刻線函數(shù)的關(guān)系式。并根據(jù)該關(guān)系式對(duì)凸面光柵的刻線型進(jìn)行數(shù)值擬合，得到變間距凸面光柵的數(shù)值解，將設(shè)計(jì)波長(zhǎng)處的像散優(yōu)化到0.025 μm，實(shí)現(xiàn)了全波段內(nèi)像散的均衡。本文設(shè)計(jì)的消像散凸面光柵成像光譜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易加工、裝調(diào)，且相對(duì)孔徑大、成像質(zhì)量好，整體光譜分辨力在系統(tǒng)F數(shù)為2.7時(shí)優(yōu)于3.3 nm，系統(tǒng)的極限分辨力為1.9 nm，可實(shí)現(xiàn)約201個(gè)高光譜通道，且系統(tǒng)在全波段內(nèi)的光學(xué)傳遞函數(shù)值優(yōu)于0.7，滿足系統(tǒng)要求，對(duì)輕小型、高光譜的消像差凸面光柵成像光譜儀的研究具有重要意義。