基于PCHIP與G1連續(xù)的離散點(diǎn)曲線重構(gòu)方法研究*

劉 宇，朱志松，趙 旭，張子立

(南通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226019)

0 引 言

數(shù)控海綿切割機(jī)床的切割軌跡一般由圓弧、直線或樣條曲線組成。現(xiàn)有的數(shù)控系統(tǒng)只提供直線插補(bǔ)與圓弧插補(bǔ)[1]。加工坐標(biāo)文件設(shè)計(jì)過(guò)程中可借助CAD參數(shù)化功能，使用圓弧擬合圖紙中的樣條曲線[2]。實(shí)際生產(chǎn)中往往采用已有加工坐標(biāo)文件，這類坐標(biāo)文件中樣條曲線以離散點(diǎn)的形式存在，且分布不均，一般采用折線連接，只能滿足G0連續(xù)[3]，刀具在每一個(gè)插補(bǔ)段都需經(jīng)過(guò)加速、勻速、減速和停頓4個(gè)階段，加工質(zhì)量差、機(jī)床沖擊大、效率低[4]。

為了能夠直接利用數(shù)控機(jī)床的圓弧插補(bǔ)功能，使組成樣條曲線的曲線段在連接處滿足G1連續(xù)(兩條曲線在交點(diǎn)處法線相同，切線夾角為零)，國(guó)內(nèi)研究者一般采用雙圓弧逼近B樣條曲線來(lái)重構(gòu)曲線[5-6]，但針對(duì)離散點(diǎn)坐標(biāo)的雙圓弧逼近研究較少。而且B樣條擬合的曲線除首尾兩個(gè)控制點(diǎn)，其余各點(diǎn)都不在曲線上。對(duì)于海綿切割加工，擬合的曲線必須通過(guò)每個(gè)離散點(diǎn)，使曲線保持原有的形狀特性。分段三次Hermite插值多項(xiàng)式[7-8](PCHIP)擬合著重于保形和單調(diào)，曲線通過(guò)每個(gè)離散點(diǎn)。

因此，筆者對(duì)樣條曲線區(qū)間選擇、雙圓弧弦切角計(jì)算、基于誤差分析的逼近算法進(jìn)行研究，并詳細(xì)闡述其實(shí)現(xiàn)方法。

1 整體方案設(shè)計(jì)

花型文件經(jīng)過(guò)排版和直線擬合可導(dǎo)出海綿加工坐標(biāo)文件(HMD)。與DXF文件相比，HMD文件在生成時(shí)就確定了加工的起點(diǎn)、終點(diǎn)以及加工路徑，不可更改，其中每段曲線都具有方向性。HMD文件中直線坐標(biāo)與圓弧坐標(biāo)的格式是統(tǒng)一的，共有3列數(shù)據(jù)。HMD文件格式如表1所示。

表1 HMD文件格式

表1中，第1列是橫坐標(biāo)值，第2列是縱坐標(biāo)值，第3列是角度(凸度)信息(圓弧圓周角一半的正切值)。第3列的值是判斷圓弧或是直線的依據(jù)，若第3列的值為零，此段曲線為直線；否則，此段曲線為圓弧。HMD文件是以短折線表達(dá)樣條曲線，每段曲線中包含的點(diǎn)離散且密集。這些點(diǎn)擬合為連續(xù)曲線作為后期雙圓弧逼近的基礎(chǔ)。

筆者擬在PCHIP擬合列表離散曲線的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)雙圓弧逼近該樣條曲線。首先，對(duì)表示HMD文件中曲線信息的折線始終點(diǎn)坐標(biāo)，使用SciPy[9]中Interpolate模塊下的PchipInterpolator函數(shù)實(shí)現(xiàn)樣條擬合。

針對(duì)全部離散點(diǎn)選擇樣條曲線區(qū)間，筆者提取HMD文件中的內(nèi)容到列表，得到列表長(zhǎng)度leng，方向標(biāo)記位flag_c(每段折線終點(diǎn)與起點(diǎn)x坐標(biāo)的差值)，趨勢(shì)標(biāo)記位flag(當(dāng)前折線與前一折線方向標(biāo)記位的積)。兩點(diǎn)間距離小于l、兩段折線間角度小于ρ、折線段數(shù)大于k的點(diǎn)為原曲線的直線逼近點(diǎn)，作為擬合的樣本點(diǎn)。橫坐標(biāo)沿x軸遞增的點(diǎn)納入正向列表Z_xy，否則納入反向列表B_xy。

設(shè)i=1,…,leng-1，取相鄰的3個(gè)點(diǎn)(xi-1,yi-1)、(xi,yi)、(xi+1,yi+1)，凸度分別為zi-1、zi、zi+1。相鄰兩條折線的長(zhǎng)度為：

(1)

式中：l1—前一折線的長(zhǎng)度；l2—當(dāng)前折線的長(zhǎng)度。

相鄰兩條折線的夾角為：

angle=

(2)

式中：angle—相鄰兩條折線的夾角。

系統(tǒng)方案流程如圖1所示。

由圖1可知：根據(jù)zi-1為零，判斷前一折線為直線，相鄰兩點(diǎn)的距離小于給定值l、點(diǎn)積計(jì)算相鄰兩段折線的轉(zhuǎn)角angle小于給定值ρ、趨勢(shì)標(biāo)記位flag大于零(當(dāng)前折線與前一折線的始終點(diǎn)x坐標(biāo)增減趨勢(shì)一致)符合連續(xù)的直線逼近點(diǎn)特征。PCHIP方法只能擬合x方向遞增曲線，由方向標(biāo)記位決定添加至正向或反向列表，若是反向列表，則反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)換為正向曲線；接著使用雙圓弧逼近PCHIP擬合曲線，輸出雙圓弧參數(shù)列表。

2 雙圓弧數(shù)學(xué)處理

2.1 雙圓弧算法原理

在給定曲線的點(diǎn)，確定曲線在給定點(diǎn)處的切線方向，可在這兩相鄰點(diǎn)之間用兩段圓弧表示該處曲線的形狀，且在圓弧相交點(diǎn)處相切(滿足G1連續(xù))。

雙圓弧算法原理如圖2所示。

在圖2中：設(shè)曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)分別為Ps(xs,ys)，Pt(xt,yt)，以此兩點(diǎn)作為雙圓弧的基本點(diǎn)。設(shè)φ，ω為起點(diǎn)與終點(diǎn)的弦切角，起點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為L(zhǎng)。設(shè)兩段圓弧的公切點(diǎn)為Pk(xk,yk)，過(guò)點(diǎn)Ps作切線與過(guò)點(diǎn)Pt作切線相交于點(diǎn)F，過(guò)Pk點(diǎn)作兩段圓弧的切線，與PsF、PtF相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N。雙圓弧的圓心分別為Os(xOs,yOs)、Ot(xOt,yOt)，半徑分別為Rs、Rt。各角度以x軸的正向?yàn)榛鶞?zhǔn)旋轉(zhuǎn)取得，均為有向角度，以逆時(shí)針為正。

(3)

式中：φs—由x軸正向轉(zhuǎn)到Vs的夾角；γ—由Vs轉(zhuǎn)到Vk的夾角；ωt—由x軸正向轉(zhuǎn)到Vt的夾角。

圓弧半徑、計(jì)算公式為：

(4)

式中：L—起點(diǎn)與終點(diǎn)的距離；φ—起點(diǎn)的弦切角；ω—終點(diǎn)的弦切角；γ—由Vs轉(zhuǎn)到Vk的夾角。

根據(jù)圓弧半徑、公式(3)與起點(diǎn)坐標(biāo)得到的圓心坐標(biāo)Os、Ot與公切點(diǎn)坐標(biāo)Pk的計(jì)算公式為：

(5)

式中：Rs—第一段圓弧的半徑；φs—由x軸正向轉(zhuǎn)到Vs的夾角；γ—由Vs轉(zhuǎn)到Vk的夾角；Rt—第二段圓弧的半徑。

φs，ωt的計(jì)算公式為：

(6)

式中：f′(xs)—起點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值；f′(xt)—終點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。

導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為：

(7)

式中：f′(x)—導(dǎo)數(shù)值；Δx—自變量增量(設(shè)為0.000 01)。

弦切角的取值為：

(8)

式中：φs—由x軸正向轉(zhuǎn)到Vs的夾角；ωt—由x軸正向轉(zhuǎn)到Vt的夾角；θ—起終點(diǎn)連線與x軸正向的夾角。

θ的表達(dá)式為：

θ=arctan((yt-ys)/(xt-xs))

(9)

式中：θ—起終點(diǎn)連線與x軸正向的夾角。

調(diào)整弦切角的值解決計(jì)算溢出問(wèn)題：

(10)

式中：φ—起點(diǎn)的弦切角。

同理處理ω的計(jì)算溢出。

調(diào)整起點(diǎn)弦切角以得到劣弧：

(11)

式中：φ—起點(diǎn)的弦切角。

角γ的取值與φ,ω乘積的符號(hào)相關(guān)，若乘積大于零，則擬合為C型雙圓?。蝗羰浅朔e小于零，則擬合S型雙圓弧[10]。表達(dá)式為：

(12)

式中：φ—起點(diǎn)的弦切角；ω—終點(diǎn)的弦切角。

2.2 雙圓弧誤差計(jì)算

根據(jù)雙圓弧算法計(jì)算出圓弧的圓心Os(xOs,yOs)、Ot(xOt,yOt)以及圓弧半徑Rs與Rt，在每段雙圓弧對(duì)應(yīng)的PCHIP擬合曲線上取t-1個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)Pj(xj,yj)為：

Pj(xj,yj)=(xs+j×σ,f(xs+j×σ)),
j=1,2,…,t-1

(13)

式中：σ—分段步長(zhǎng)。

σ=(xt-xs)/t

(14)

式中：t—分段數(shù)。

誤差原理如圖3所示。

圖3 誤差原理

根據(jù)圖3可知：由α角范圍得到的雙圓弧誤差計(jì)算公式[11]為：

δ=

(15)

式中：δ—雙圓弧誤差值；α—Pj與圓心連線和x軸正向的夾角；αs—Ps與Os連線和x軸正向的夾角；αk—Pk與Os連線和x軸正向的夾角。

3 雙圓弧逼近

根據(jù)雙圓弧算法原理與誤差原理設(shè)計(jì)逼近方法，由式(16)計(jì)算步長(zhǎng)，設(shè)當(dāng)前段曲線的起始點(diǎn)為Ps(x_start,f(x_start)),終止點(diǎn)為Pt(x_start+step,f(x_start+step))。實(shí)驗(yàn)中采用兩種圓弧逼近方法，分別為余量等分法、整體遞增分割法，在一些論文中也有折中分段法[12]。

余量等分法：設(shè)f(x)為PCHIP擬合曲線，余量等分法逼近流程如圖4所示。

圖4 余量等分法逼近流程

由圖4可知：根據(jù)逼近步長(zhǎng)、當(dāng)前逼近曲線段的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)的弦切角，由公式(4)計(jì)算圓弧半徑，再根據(jù)公式(5)得到圓心與公切點(diǎn)坐標(biāo)，可得到當(dāng)前逼近曲線段的雙圓弧。由公式(15)計(jì)算曲線中間的若干個(gè)點(diǎn)的法向誤差。給定誤差為T，最大的法向誤差max(δ)>T，則num=num+1，重新計(jì)算步長(zhǎng)，并將重新取點(diǎn)之后的第2個(gè)點(diǎn)作為逼近這一段曲線的終點(diǎn)，直到誤差值小于給定誤差；若最大法向誤差max(δ)≤T，將完成逼近段的曲線終點(diǎn)坐標(biāo)與切線角度作為逼近下一段曲線的起點(diǎn)坐標(biāo)與切線角度(每段雙圓弧在連接處滿足G1連續(xù))，輸出逼近的圓弧參數(shù)，在逼近完成之后，重置num=1，開始逼近余下曲線。

步長(zhǎng)計(jì)算公式為：

step=(x_max-x_start)/num

(16)

式中：x_max—擬合之后x值列表的最大值；x_start—逼近每段曲線的起始點(diǎn)橫坐標(biāo)；num—曲線分段數(shù)(初始值為1)。

整體遞增分割法與余量等分法相似，區(qū)別在于步長(zhǎng)與分段數(shù)的取值，不重置num的值，步長(zhǎng)計(jì)算利用曲線的整體長(zhǎng)度，步長(zhǎng)累加超過(guò)整體曲線終點(diǎn)x坐標(biāo)時(shí)，取整體曲線終點(diǎn)為待計(jì)算曲線終點(diǎn)。

其步長(zhǎng)計(jì)算公式為：

step=(x_max-x_min)/num

(17)

式中：x_max—擬合后x值列表的最大值；x_min—擬合后x值列表的最小值；num—曲線分段數(shù)(初始值為1)。

折中分段法在逼近過(guò)程中，取曲線的中點(diǎn)分割曲線，若是不滿足誤差要求，則將分割出的前一段曲線再次取中點(diǎn)分割，這將會(huì)增加分割密度，得到更多的圓弧，故實(shí)驗(yàn)不采用該方法。

4 實(shí)際應(yīng)用

4.1 擬合曲線的誤差分析

設(shè)加工的曲線方程為y=sinx+1,x∈[0,2π]，轉(zhuǎn)換為HMD格式，由60段折線組成，并在定義域內(nèi)取n個(gè)點(diǎn)，以擬合曲線與原曲線縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為擬合誤差μ。PCHIP擬合如圖5所示。

圖5 PCHIP擬合

PCHIP擬合誤差如圖6所示。

圖6 PCHIP擬合誤差

由圖6可知：擬合列表點(diǎn)的誤差較小，大多分布在0～0.000 1 mm之間，而且平均誤差較小，海綿切割尺寸誤差一般要求低于0.5 mm，因此可滿足加工精度要求。

PCHIP擬合誤差值如表2所示。

表2 PCHIP擬合誤差值

4.2 逼近比較

兩種方法在不同給定誤差的圓弧段數(shù)如表3所示。

表3 兩種方法在不同給定誤差的圓弧段數(shù)

由表3可知：在T≤0.000 1 mm時(shí)，整體遞增分割法得到的圓弧段數(shù)急劇增加，多于余量等分法得到的圓弧段數(shù)。

不同給定誤差對(duì)應(yīng)雙圓弧逼近曲線如圖7所示。

4.3 逼近圓弧與原始曲線的誤差分析

不同給定誤差對(duì)應(yīng)逼近誤差如圖8所示。

圖8 不同給定誤差對(duì)應(yīng)逼近誤差

由圖8可知：(1)兩種方案的誤差都在給定誤差范圍以內(nèi)，達(dá)到重構(gòu)曲線的精度要求；(2)第二種方案比第一種方案的誤差分布相對(duì)集中，但是隨著允許誤差范圍的縮小，第二種方案圓弧段數(shù)急劇增加，效率降低；(3)整體遞增分割法的誤差值小于余量等分法，獲得的圓弧精度更高，但在給定精度下，余量等分法可獲得更少的段數(shù)，需在實(shí)際生產(chǎn)中合理選擇。

余量等分法誤差值如表4所示。

表4 余量等分法誤差值

整體遞增分割法誤差值如表5所示。

表5 整體遞增分割法誤差值

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了基于離散加工點(diǎn)的樣條曲線重構(gòu)方法，PCHIP擬合保證了在擬合連接點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，貼合原始形狀，采用基于誤差最小原則的雙圓弧逼近方法，可根據(jù)給定重構(gòu)精度，合理分配圓弧分段；利用Python編寫了相關(guān)程序，驗(yàn)證了該算法的可行性。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：余量等分法與整體遞增分割法都可有效地減少曲線的分段數(shù)；實(shí)驗(yàn)曲線由60段折線組成，在海綿切割尺寸誤差內(nèi)，相對(duì)于原曲線，經(jīng)過(guò)這兩種逼近方法得到的圓弧段數(shù)可減少50%以上的分段數(shù)，且在圓弧連接處的切線相同，滿足了G1連續(xù)，最大限度還原了設(shè)計(jì)曲線的光滑度。