動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在斜拉橋模型索力優(yōu)化中的應(yīng)用

方有亮， 武 錚， 張 穎

(河北大學(xué)建筑工程學(xué)院, 保定 071000)

斜拉橋在眾多橋梁中具有杰出的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和技術(shù)優(yōu)勢(shì)，是全世界建造最多的橋梁結(jié)構(gòu)之一。但是在實(shí)際橋梁建設(shè)過(guò)程中，由于施工過(guò)程復(fù)雜，工程周期長(zhǎng)，建設(shè)期間會(huì)有很多外部因素對(duì)斜拉橋的成橋狀態(tài)造成影響，最后的成橋狀態(tài)會(huì)與理想狀態(tài)有所偏差，所以需要優(yōu)化斜拉橋的施工過(guò)程。郭偉[1]采用正裝迭代法計(jì)算斜拉橋的施工索力，按照施工順序，采用正裝迭代法優(yōu)化施工索力，以達(dá)到成橋的目標(biāo)狀態(tài)，表明成橋索力能得到很好的收斂，滿足工程計(jì)算的精度要求；王偉坤等[2]研究了中國(guó)首座斜拉獨(dú)塔單索面鋼-混凝土組合斜拉橋，運(yùn)用頻率法測(cè)索原理，實(shí)測(cè)拉索自振頻率得到實(shí)際索力，表明運(yùn)用這種方法可在現(xiàn)場(chǎng)快速確定出下一根索一次張拉到該橋期望值的增量；Changfu等[3]針對(duì)一種新型斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了實(shí)用的拉索拉力和拱軸優(yōu)化方法,在進(jìn)行參數(shù)分析下，成橋索力收斂，計(jì)算精度提高。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是把一個(gè)多階段的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)單階段的問(wèn)題，從而求解整個(gè)階段的最優(yōu)決策問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求解一系列單個(gè)階段中的最優(yōu)問(wèn)題[4]；王鑫淼[5]設(shè)計(jì)了多搬運(yùn)機(jī)器人兩階段動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃算法，通過(guò)調(diào)節(jié)優(yōu)先級(jí)的方式進(jìn)行在線協(xié)調(diào)，結(jié)果表明有效地節(jié)省了搬運(yùn)機(jī)器人的沖突等待時(shí)間；張建[6]建立車位動(dòng)態(tài)規(guī)劃雙目標(biāo)模型，這種方法能準(zhǔn)確得到最優(yōu)車位分配結(jié)果，并且收斂速度極快，響應(yīng)時(shí)間短；谷潤(rùn)平等[7]研究了機(jī)場(chǎng)場(chǎng)面滑行路徑動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，結(jié)果表明使航班總體滑行時(shí)間有效減少，提高場(chǎng)面運(yùn)行效率。

現(xiàn)運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[8-9]進(jìn)行斜拉橋索力優(yōu)化，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是把整個(gè)施工階段拆分成一系列的單個(gè)問(wèn)題，求解索力張拉過(guò)程的最優(yōu)解，最后完成整個(gè)施工，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法對(duì)索力優(yōu)化過(guò)程提出一個(gè)新的優(yōu)化思路和方法。運(yùn)用Midas軟件建模，求出拼接主梁對(duì)節(jié)點(diǎn)豎向位移和張拉斜拉索對(duì)主梁豎向位移的影響矩陣[10]，將影響矩陣同各階段的理想豎向位移代入動(dòng)態(tài)規(guī)劃表達(dá)式中，運(yùn)用MATLAB[11-12]程序進(jìn)行計(jì)算，與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ托纬蓪?duì)比，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以在各個(gè)施工階段都可以與理論值進(jìn)行比較，可以實(shí)時(shí)監(jiān)控整個(gè)施工過(guò)程，隨時(shí)校準(zhǔn)各個(gè)階段，更好地保證整個(gè)施工過(guò)程索力的調(diào)整。

1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃在斜拉橋索力優(yōu)化中的應(yīng)用

斜拉橋在施工過(guò)程中，主梁豎向位移只與主梁的裝接及斜拉索的張拉有關(guān)，忽略其他因素對(duì)其影響。則斜拉橋主梁位移和斜拉索的初張拉力滿足式(1)的數(shù)學(xué)關(guān)系，該數(shù)學(xué)關(guān)系式同樣也是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

Xn+1=Xn+Gnfn+Kn

(1)

式(1)中：Xn+1為第n個(gè)施工段結(jié)束后主梁的豎向位移；Xn為第n-1個(gè)施工段結(jié)束后主梁的豎向位移；Gn為在第n個(gè)施工段中給第n根索施加單位張拉力對(duì)主梁豎向位移的影響矩陣；fn為第n根斜拉索的初張拉力；Kn為第n個(gè)施工段拼接第n根主梁對(duì)主梁豎向位移的影響矩陣。

影響矩陣Kn、Gn是已知的，力fn是未知的，為了求解每一施工段的初張拉力，可建立目標(biāo)函數(shù)E為

(2)

式(2)中：A(n×n)和B(n×n)是加權(quán)矩陣；Un為各施工段結(jié)束后主梁的理想豎向位移。不同的斜拉橋A矩陣和B矩陣都不相同，在進(jìn)行求解時(shí)可做調(diào)整。設(shè)gN(X)為第n階段E的最小值，也就是指標(biāo)函數(shù)：

(3)

將式(2)代入式(3)，可得：

A(Xn+1-Un)+(fn,Bfn)]

(4)

將式(1)代入式(4)中，可得:

A(Xn+Gnfn+Kn-

Un)+(fn,Bfn)]

(5)

將式(5)進(jìn)行配方，可得：

Hn(fn+MnXn+Nn)+

rn(Xn)]

(6)

式(6)中：

(7)

(8)

(9)

(10)

由式(6)可知若gN(X)最小時(shí)，有：

fn=-MnXn-Nn

(11)

將有關(guān)Mn、Nn的函數(shù)代入式(11)，可得：

(12)

式(12)中：

Ln=(Un-Kn)

(13)

由于Un是每階段主梁的理想豎向位移，故其可以通過(guò)計(jì)算求出來(lái)，最終可得：

(14)

式(14)中：H1、G1和L1都是已知的，X1是第一施工段拼接第一根主梁未張拉斜拉索時(shí)主梁的豎向位移，可用Midas/Civil軟件進(jìn)行求解，故f1可以被求出來(lái)。

2 模型試驗(yàn)

2.1 斜拉橋模型

斜拉橋兩邊完全對(duì)稱，左右兩側(cè)的索力、梁和塔的內(nèi)力及位移也完全對(duì)稱，也就是說(shuō)分析斜拉橋模型一側(cè)的數(shù)據(jù)就可以推出來(lái)另一側(cè)的數(shù)據(jù)，為了節(jié)省實(shí)驗(yàn)材料和測(cè)量?jī)x器，同時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不造成任何影響，本實(shí)驗(yàn)最終只研究了圖1所示的半側(cè)結(jié)構(gòu)。為接近于真實(shí)工況，采用加載方式模擬配重。每個(gè)節(jié)點(diǎn)上放置一質(zhì)量為5.1 kg的重物。斜拉橋的主梁和塔的材料都為鋼材，截面長(zhǎng)度為50 mm，寬度為30 mm；斜拉索的材料為鋼絲繩，直徑為2 mm，高跨比為30/4 200=1/140，符合斜拉橋的取值范圍,具體的材料參數(shù)如表1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 Experimental system

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

兩片鋼板及螺栓做固定處理，需要注意的是固定時(shí)兩鋼板必須加緊，以減小誤差。同時(shí)，節(jié)點(diǎn)上放置重物以達(dá)到放大剛度矩陣的目的。斜拉索與力傳感器、主梁的固定主要通過(guò)索扣來(lái)實(shí)現(xiàn)，斜拉索的加載主要通過(guò)張拉千斤頂來(lái)實(shí)現(xiàn)。斜拉索與力傳感器、主梁的固定通過(guò)索扣來(lái)實(shí)現(xiàn)，圖2所示為斜拉索的具體連接方式。

圖2 斜拉索固定與連接Fig.2 Cable fixation and connection

2.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

實(shí)驗(yàn)過(guò)程共計(jì)7個(gè)階段，按動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，先用Midas/Civil計(jì)算出合理成橋時(shí)斜拉橋主梁的豎向位移，然后求出主梁施工和張拉斜拉索對(duì)主梁豎向位移的影響矩陣，將這些影響矩陣同各階段的理想豎向位移寫入動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序中，計(jì)算出斜拉橋的初張拉力，分步張拉斜拉索，用位移計(jì)讀取各個(gè)施工過(guò)程節(jié)點(diǎn)的位移。部分實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖3所示。

圖3 部分實(shí)驗(yàn)過(guò)程Fig.3 Partial experimental process

3 有限元模擬

3.1 模型建立

運(yùn)用零位移法[13]來(lái)確定成橋狀態(tài)時(shí)的索力，在斜拉橋模型建立過(guò)程中，約束斜拉索與主梁連接點(diǎn)的位移，得出各個(gè)階段的理論值，與優(yōu)化結(jié)果形成對(duì)比。采用Midas/Civil建立斜拉橋模型，邊界條件均采用固定邊界，斜拉橋各個(gè)施工階段的模型如圖4所示。

圖4 各階段斜拉橋模型Fig.4 Models of cable-stayed bridges in different stages

假定該斜拉橋模型采用懸臂法的方法進(jìn)行施工，模擬斜拉橋施工階段過(guò)程，從而得出各個(gè)施工階段的理想位移，采集每個(gè)階段的理想位移，最終將理論計(jì)算結(jié)果與動(dòng)態(tài)規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。具體施工段劃分如表2所示。

表2 斜拉橋模型各施工階段的工作Table 2 Work of cable-stayed bridge model at different construction stages

3.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化結(jié)果

采用Midas/Civil中提供的未知荷載系數(shù)法。約束范圍在-1～1 mm[14]。此荷載系數(shù)即為拉索的初拉力。運(yùn)用Midas/Civil有限元軟件，求解出影響矩陣[15-16]Kn和Gn求解出來(lái)(表3、表4)，將影響矩陣代入式(1)。

表3 拼接主梁的影響矩陣Table 3 The influence matrix of spliced girders

表4 張拉斜拉索的影響矩陣Table 4 Impact matrix of stayed cables

將求解出的影響矩陣代入動(dòng)態(tài)規(guī)劃進(jìn)行優(yōu)化，求解出各個(gè)施工階段的初始張力拉力以及各個(gè)施工階段施工完成后各主梁節(jié)點(diǎn)的豎向位移。

3.3 結(jié)果對(duì)比

由圖5可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃求出索力與理論計(jì)算求出的索力增長(zhǎng)趨勢(shì)和幅度相似，1～7號(hào)索，索力逐漸變大，符合實(shí)際橋梁的斜拉索索力變化趨勢(shì)，2號(hào)斜拉索索力出現(xiàn)突變，應(yīng)該是在第1段主梁拼接時(shí)橋塔與主梁的連接不牢固，導(dǎo)致第2段主梁拼接并加載荷載后索力出現(xiàn)一個(gè)突變。索優(yōu)化后，索力減小，而且相比優(yōu)化之前索力，優(yōu)化后，索力變化更加均勻，斜拉索的索力的變化幅度也更平滑。

圖5 索力對(duì)比Fig.5 Comparisons of cable forces

由圖6可知，從第2施工階段到第7施工階段，節(jié)點(diǎn)位移逐漸趨于平滑，隨著斜拉橋施工的進(jìn)行，主梁的各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移趨于0，說(shuō)明隨著施工階段的進(jìn)行，斜拉橋受力均勻，而且達(dá)到了設(shè)計(jì)之初的要求，從第2施工階段到第7施工階段，位移變化在0.6 mm以內(nèi)，最終主梁的各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在±0.05以內(nèi)，主梁趨于水平。動(dòng)態(tài)規(guī)劃結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)得出的節(jié)點(diǎn)位移趨勢(shì)相同，節(jié)點(diǎn)的誤差在0.1 mm以內(nèi)，在誤差范圍內(nèi)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以在各個(gè)施工階段與理論值進(jìn)行比較，可以實(shí)時(shí)監(jiān)控整個(gè)施工過(guò)程，隨時(shí)可以校準(zhǔn)各個(gè)階段，檢查是否施工過(guò)程中與理論值有大的偏差，并且隨著斜拉橋施工的進(jìn)行，動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)位移相比理論計(jì)算值在減小，相比優(yōu)化前各節(jié)點(diǎn)位移在減小，隨著施工階段的增加，每個(gè)施工階段的整體誤差也減少，斜拉橋的斜拉索越多，跨度越大，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的優(yōu)化性更好，對(duì)于大跨斜拉索的施工會(huì)有更好的指導(dǎo)意義。

圖6 各施工階段節(jié)點(diǎn)位移對(duì)比Fig.6 Comparison of node displacement in each construction stage

由圖7可以看出，相比于優(yōu)化前，優(yōu)化后的斜拉橋主梁的彎矩減小，分布合理。主梁的力學(xué)性能得到了改善，由圖8可以看出，索塔的彎矩也變得更加合理。

圖7 優(yōu)化前后主梁彎矩對(duì)比Fig.7 Bending moment comparison of main girder before and after optimization

圖8 優(yōu)化前后索塔橫梁彎矩對(duì)比Fig.8 Bending moment comparison of pylon beam before and after optimization

4 結(jié)論

運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法對(duì)一座獨(dú)塔斜拉橋進(jìn)行了施工過(guò)程索力優(yōu)化。用零位移法確定每一個(gè)施工階段的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的理想位移和索力，計(jì)算出合理成橋時(shí)斜拉橋主梁的豎向位移，并以此為參考求出主梁施工和張拉斜拉索對(duì)主梁豎向位移的影響矩陣，將這些影響矩陣同各階段的理想豎向位移代入動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序中，求解斜拉橋各個(gè)施工階段的初始張拉力，得到各個(gè)階段施工完成后每個(gè)主梁節(jié)點(diǎn)的豎向位移。

相比理論值，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法優(yōu)化后的索力最后成橋狀態(tài)受力均勻，內(nèi)力得到了更合理的分布，彎矩分配更加合理。運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，可以計(jì)算出各個(gè)施工階段的位移，模擬了整個(gè)施工過(guò)程，在斜拉橋施工過(guò)程中，隨時(shí)進(jìn)行比較，斜拉橋主梁的豎向位移與各階段理想豎向位移理論相比，發(fā)現(xiàn)二者相差很小，并且隨著施工階段的增加，整體誤差也隨之減少，對(duì)于大跨斜拉索的施工會(huì)有更好的指導(dǎo)意義。

由實(shí)驗(yàn)室模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有一致性，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法進(jìn)行斜拉橋施工索力優(yōu)化是完全可行的，這種新的方法有很大的理論價(jià)值，對(duì)實(shí)際工程具有一定的指導(dǎo)意義。