零點(diǎn)和極點(diǎn)位于有限條射線上的亞純函數(shù)的增長性

葉枝宏,石東偉

（1.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系,云南普洱665000；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

零點(diǎn)和極點(diǎn)位于有限條射線上的亞純函數(shù)的增長性

葉枝宏1,石東偉2

（1.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系,云南普洱665000；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

研究了一類亞純函數(shù)級(jí)的估計(jì)問題,得到了零點(diǎn)位于從原點(diǎn)出發(fā)的有限條射線,極點(diǎn)位于其他從原點(diǎn)出發(fā)的有限條射線上的亞純函數(shù)級(jí)與下級(jí),沒有類似于此類整函數(shù)的級(jí)與下級(jí)的估計(jì)關(guān)系.

亞純函數(shù)；零點(diǎn)和極點(diǎn)；級(jí)與下級(jí)

1 亞純函數(shù)概述和主要結(jié)論

本文假設(shè)讀者已經(jīng)熟悉了Nevanlinna理論中的主要結(jié)果和相關(guān)記號(hào),并統(tǒng)一用ρf（λf）表示函數(shù)f（z）的級(jí)（下級(jí)）,簡記為ρ（λ）.此外,詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[1-3].

對(duì)于零點(diǎn)和極點(diǎn)位于有限條射線上的亞純函數(shù),喬建永在文獻(xiàn)[4]中證明了：

定理A如果亞純函數(shù)f（z）的零點(diǎn)位于arg z=θj（j=1,2…,q）則

筆者近期在文獻(xiàn)[5]中證明了：

定理B存在的亞純函數(shù)f（z）,滿足：

（1）零點(diǎn)和極點(diǎn)位于有限條（一條）射線上；

（2）級(jí)為+∞,下級(jí)為0；

（3）只有有限條Julia方向.

而定理B證明中所構(gòu)造的亞純函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位于同一條射線上.一個(gè)比較自然的問題是當(dāng)零點(diǎn)和極點(diǎn)所在射線不同時(shí),級(jí)與下級(jí)之間是否有一種具體的圍界式子.對(duì)于只有2條射線的情況,在文獻(xiàn)[6]中證明了：

定理C設(shè)亞純函數(shù)f（z）的零點(diǎn)位于arg z=α,極點(diǎn)位于arg z=β（,α≠β）,那么它的級(jí)和下級(jí)滿足ρ≤[λ]+2.

猜測一般情況可能具有ρ≤[λ]+m的估計(jì)（m為射線條數(shù)）,進(jìn)一步否定了這個(gè)猜測.具體而言得到如下定理：

定理1對(duì)于任何s∈N,必存在α1, α2, α3,β1, β2, β3∈[-π,π)和一零點(diǎn)位于射線arg z=α（jj=1,2,3）,極點(diǎn)位于射線arg z=β（jj=1,2,3）上的亞純函數(shù)（fz）滿足ρf-λf＞s.

2 幾個(gè)輔助結(jié)論以及證明

定義設(shè)D=D(α1,α2,....,αm)表示從原點(diǎn)出發(fā)的射線族Dl=D(lα1,lα2,....,lαm),l∈N； 用G(Dl)表示集合的凸包（開）,并記V(D)={l∈N∶0?G(Dl)}.

引理1設(shè)D=D(α1,α2,....,αm)和F=F(β1,β2,....,βm)兩判別的射線族,如果存在自然數(shù)q,q'使得{q,q+1,...,q'}∩V(D)=φ,并且{q,q+1,...,q'}∩V(F)=φ,則存在一零點(diǎn)位于D,極點(diǎn)位于F上的亞純函數(shù),滿足λ＜q≤q'＜ρ.

引理1的證明需要下面的引理：

引理2給定m, q, s∈N;βμl∈(0,+∞),1≤μ≤m,0≤l≤s -1,則存在有窮的正數(shù)序列xμj,1≤j≤n(μ),1≤μ≤m,滿足,這里n（μ）是有限數(shù),并且不失一般性設(shè)0＜xμj＜1[7].

引理1的證明：

設(shè)q,q'使得{q,q+1,...,q'}∩V(D)=φ,并且{q,q+1,...,q'}∩V(F)=φ成立的自然數(shù).運(yùn)用引理2和V（D）和V（F）的定義,對(duì)于D=D(α1,α2,....,αm),存在βμl,使得

對(duì)于F=F(β1,β2,....,βm),存在βμl',使得

對(duì)于βμl,βμl',存在0＜xμl＜1和0＜yμl＜1,滿足

下面構(gòu)造遞增趨于+∞的數(shù)列｛tv｝和｛Nv｝,Nv是M的整數(shù)倍.

對(duì)于λ∈(q-1,q)；ρ∈(q',q'+1),選取適當(dāng)?shù)膖,使0按如下遞推的方式定義：

當(dāng)v是奇數(shù)時(shí)選取Nv≈2(Ctv)λ.

當(dāng)v是偶數(shù)時(shí)Nv的選取如下：

N2≈2(Ct2)ρ.如果t4＞e2Ct2,選取N4≈2(Ct4)ρ.否則選取N4≈2(Ct4)λ.

依次下去：如果tv＞＜v, k是使得Nk≈2(Ctk)ρ,且與v最近的偶數(shù)）選取Nv≈2(Ctv)ρ,否則選取的v必然有無窮多項(xiàng).記

顯然有Ctv＜tv+1,又因?yàn)镃≥A,C≥B,所以區(qū)間[tv,Btv]對(duì)于每一個(gè)都不相交,區(qū)間[tv,Atv]對(duì)于每一個(gè)v也不相交；

記n1（t）=n1（t,Z）,n2（t）=n2（t,Y）

構(gòu)造的n1（t）,n2（t）具有以下性質(zhì)（設(shè)A≥B）

下面構(gòu)造以{aj},{bj}為零點(diǎn),以p'為虧格的典型乘積E1(z)和E2(z),并構(gòu)造亞純函數(shù)

選取r∈[A-1exp(At),Alnt]∩[B-1exp(Bt),Blnt ],顯然上面的交集非空且r?[t,Ct ],

vn vn+1vn vn+1vn vn

r?[tvn,Atvn],r?[tvn,Btvn].選取充分小ε0的使得區(qū)間[r, r+ε0)內(nèi)沒有（fz）的零點(diǎn)和極點(diǎn).在｜z｜≤r＜r+ε0（ε0是充分小的固定正數(shù)）內(nèi)

沒有零點(diǎn)和極點(diǎn),于是LogF（z）可以單值解析分支,選取主值分支logF（z）（選取的原因是后面的運(yùn)算與虛部無關(guān)）.此時(shí)在原點(diǎn)的充分小領(lǐng)域內(nèi)

于是得到

對(duì)式（1）兩邊取實(shí)部得到

其中

所以

進(jìn)一步來估算A(k,r).

（1）當(dāng)q≤k≤q'時(shí),由引理1有

由于

（2）當(dāng)利用這些關(guān)系式子得到

從而所構(gòu)造的函數(shù)以λ為下級(jí),以ρ為級(jí),且λ＜q≤q'＜ρ.

3 借助輔助引理證明定理1

根據(jù)引理3對(duì)于任意的s∈N,存在q∈N,使得2q-1＞s,記q'=3q -1＞q+s,我們考慮射線族和射線,其中,容易看到{q,q+1,...,q'}∩V(D)=φ,且{q,q+1,...,q'}∩V(F)=φ.

由上面的定理知道存在亞純函數(shù)（fz）滿足λ＜q≤q'＜ρ,即ρ-λ＞q'-q =s.

定理說明對(duì)于一般情況ρ≤[λ]+m的估計(jì)不成立.

證畢.

[1]陳特為,張錫桐.圓外亞純函數(shù)的Nevanlinna理論[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2002,11（4）：40-44.

[2]張南岳,陳懷惠.復(fù)變函數(shù)選講[M].北京：北京大學(xué)出版社,1995：53-78.

[3]Lee A.Rubel,Entire and Meromorphic Funcions[M].Spinger,1996：78-86.

[4]Qiao J Y.Tow problems in the value distribution theory[J].Acta.Mathematics sinia Newseries,1995,11（4）：365-369.

[5]葉枝宏,劉滿霞.零點(diǎn)和極點(diǎn)位于有限條射線上的亞純函數(shù)[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2007,8（增1）：18-20.

[6]葉枝宏,尹愛軍.一類亞純函數(shù)的級(jí)[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010,24（2）：24-26.

[7]Gleizer E V.Growth of entire functions with zeros on a syetm of rays[J].Ukrainskii Matematicheskii Zhurnal,1996,38（3）：292-302.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Growth of Meromorphic functions with zeros and poles lie on finitely many rays

Ye Zhihong1,Shi Dongwei2
（1.Department of Mathematics Puer College,Puer 665000,China；2.Henan Insititute of Science and Technology,Xinxiang 453003,China）

A question about the order and the lower order of meromorphic functions with zeros lie on finitely many rays and poles lie on finitely many other rays will be answered.Relation the order and the lower order of those meromorphic functions different from entire functions with zeros lie on finitely many rays.

Meromorphic function；order and lower order；zeros and poles

O174.52

A

1008-7516（2013）05-0040-05

10.3969/j.issn.1008-7516.2013.05.010

2013-06-24

云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2012c170）

葉枝宏（1980-）,男,云南普洱人,碩士,講師.主要從事復(fù)分析研究.