隱函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)探討

劉翠香 王素云 單彩虹

陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部

在多元函數(shù)微分學(xué)中,隱函數(shù)的求導(dǎo)占據(jù)了很重要的地位。同時(shí)對(duì)初學(xué)者來說,它也是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。特別是方程組確定的抽象、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，更讓學(xué)員無所適從。學(xué)員在學(xué)習(xí)中存在的主要問題是：（1）搞不清變量之間具備怎樣的函數(shù)關(guān)系；（2）死記硬套公式，不能將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化。本文探討在教學(xué)中如何引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)員直觀化、抽象化地將這些問題綜合解決。

一、利用代數(shù)思想直觀化處理函數(shù)關(guān)系

弄清變量間的函數(shù)關(guān)系，是解決隱函數(shù)求導(dǎo)問題的關(guān)鍵，它也是實(shí)際教學(xué)中學(xué)員容易出錯(cuò)的問題所在。因此必須分析清楚方程組哪些變量是因變量，哪些變量是自變量，函數(shù)關(guān)系清楚了，才能正確解決這類問題。下面用代數(shù)思想來直觀化地幫助學(xué)員分析變量間的函數(shù)關(guān)系。

線性代數(shù)關(guān)于線性方程組的解有如下定理：一個(gè)含有r個(gè)線性方程的n元線性無關(guān)的方程組Ax=b若有解，則自由未知數(shù)的個(gè)數(shù)s等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n與方程個(gè)數(shù)r之差，即s=n?r。運(yùn)用這一原理可解決上述問題。

設(shè)有方程組：

滿足隱函數(shù)存在定理的一切條件，可確定一組隱函數(shù)，則(1)中所有變量的個(gè)數(shù)相當(dāng)于定理中的n，方程個(gè)數(shù)為r，則自變量個(gè)數(shù)s=n?r，所以方程組(1)可確定r個(gè)s元函數(shù)。X1，X2……，Xn中究竟哪些是自變量，哪些為因變量，這由題設(shè)的要求來確定。下面通過例子來具體說明。

分析：解此題的關(guān)鍵是先弄清楚變量間確定怎樣的函數(shù)關(guān)系。變量的個(gè)數(shù)n=5，分別為x,y,z,u,v；方程個(gè)數(shù)r=3,則自變量個(gè)數(shù)s=5?3 = 2，故方程組可確定3個(gè)2元函數(shù)。又因?yàn)轭}目要求，顯然z是因變量，x,y是自變量，從而剩下的u,v也必是因變量。因此知。

在教學(xué)中，借助代數(shù)思想直觀化地幫助學(xué)員解決這類問題。

二、利用核心思想進(jìn)行求解

掌握了如何確定變量間的函數(shù)關(guān)系后，要解決的就是求解導(dǎo)數(shù)。教材中的隱函數(shù)存在定理給出了求解公式，但在教學(xué)中，不能要求學(xué)員去死記、硬套公式，而是從定理的證明過程入手，讓學(xué)員在理解定理的基礎(chǔ)上，掌握其數(shù)學(xué)方法和思想。隱函數(shù)求導(dǎo)的基本思想即是方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，基本方法主要?dú)w結(jié)為兩種：（1）對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，（2）利用全微分。下面還是通過例2來具體說明。

例2．解：方法1 直接對(duì)方程兩邊求偏導(dǎo)數(shù)

把3個(gè)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得到方程組

同理把3個(gè)方程兩邊同時(shí)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，可解得

由此例題可以看出，要求學(xué)員對(duì)變量間的函數(shù)關(guān)系確定后，對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)實(shí)際上是對(duì)恒等式求導(dǎo)，然后轉(zhuǎn)化為以隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)為未知量的線性方程組的求解問題。

另解：方法2 利用全微分

把3個(gè)方程兩邊同時(shí)求微分，得到方程組

解得：

由上述求解過程不難發(fā)現(xiàn)微分法在隱函數(shù)求導(dǎo)中具有巨大的優(yōu)越性。微分法的最大好處就是將自變量、因變量“一視同仁”，從而大大降低了思維強(qiáng)度。

三、靈活運(yùn)用理論知識(shí)解決應(yīng)用問題

空間曲線方程有兩種形式：一是參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)；另一種是一般方。求曲線上一點(diǎn)的切向量T，有參數(shù)方程知；由一般方程可確定函數(shù)關(guān)系，此時(shí)把x看作參數(shù)，則切向量。于是一般方程切向量的求解就轉(zhuǎn)化為了隱函數(shù)求導(dǎo)問題。

空間曲面的方程也有兩種形式：一是F(x,y,z)=0或者Z=f(x,y)；二是參數(shù)形式x=x(u,v) ,y=y(u,v) ,z=z(u,v)。求曲面上一點(diǎn)的法向量時(shí)，一般方程F(x,y,z)=0對(duì)應(yīng)的法向量n=(Fx,Fy,Fz)，方程形式為Z=f(x,y)時(shí)對(duì)應(yīng)；參數(shù)形式下則轉(zhuǎn)化為方程組確定函數(shù)關(guān)系，通過隱函數(shù)求導(dǎo)得到，即可求得對(duì)應(yīng)的法向量。

對(duì)于一些不直接以方程組的形式出現(xiàn)的隱函數(shù)求導(dǎo)，可轉(zhuǎn)化為方程組形式處理，這樣可以不考慮復(fù)雜的中間變量關(guān)系。

總之，在教學(xué)中，除了要著重化解學(xué)員在學(xué)習(xí)中存在的難點(diǎn)外，我們更要培養(yǎng)學(xué)員的數(shù)學(xué)思想和分析問題的綜合能力，促使他們能靈活運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)去解決問題。