基于時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的天氣衍生品定價(jià)研究

唐欣 鄒楚瑜

[摘要]馬鈴薯作為我國(guó)主要的糧食作物，其產(chǎn)量受天氣狀況的影響較大。河北省張北、圍場(chǎng)和豐寧三地是馬鈴薯種植最集中的區(qū)域，異常的天氣波動(dòng)會(huì)給當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶帶來嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失。天氣衍生品可以幫助農(nóng)戶對(duì)沖農(nóng)作物面臨的天氣風(fēng)險(xiǎn)，但要達(dá)到良好的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效果，就需要更加精準(zhǔn)的定價(jià)模型。本文致力于尋求精度更高的定價(jià)模型，于是在傳統(tǒng)的Ornstein-Uhlenbeck均值回復(fù)模型的基礎(chǔ)上，引入時(shí)間序列模型來重新模擬均值回復(fù)速度，得到時(shí)變均值回復(fù)模型。之后，使用張北、圍場(chǎng)、豐寧三地1951—2018年的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)擬合2019年每日平均氣溫的動(dòng)態(tài)變動(dòng)過程，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)精準(zhǔn)度。最后，在此基礎(chǔ)上，借助蒙特卡羅模擬法測(cè)算馬鈴薯生長(zhǎng)溫度指數(shù)期貨合約的價(jià)格，并與傳統(tǒng)的均值回復(fù)模型的定價(jià)結(jié)果做比較。研究表明，時(shí)變Ornstein-Uhlenbeck均值回復(fù)模型能夠較好地?cái)M合氣溫的變動(dòng)趨勢(shì)，并且比傳統(tǒng)的Ornstein-Uhlenbeck均值回復(fù)模型更能精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)期貨價(jià)格。

[關(guān)鍵詞]天氣衍生品;時(shí)變O-U均值回復(fù)模型;均值回復(fù)速度;生長(zhǎng)溫度指數(shù)

中圖分類號(hào)：F842.66 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16465/j.gste.cn431252ts.202008

中國(guó)是馬鈴薯生產(chǎn)第一大國(guó)，而河北省的張北、圍場(chǎng)和豐寧又是我國(guó)重要的種薯繁育、商品薯生產(chǎn)加工以及儲(chǔ)運(yùn)基地，具有十分重要的戰(zhàn)略地位。馬鈴薯產(chǎn)業(yè)的發(fā)展對(duì)河北省農(nóng)民精準(zhǔn)脫貧、增收及糧食安全生產(chǎn)具有重要意義。而天氣狀況日益多變，可能會(huì)導(dǎo)致馬鈴薯減產(chǎn)，最終會(huì)波及整條馬鈴薯產(chǎn)業(yè)鏈，影響農(nóng)戶福祉。我國(guó)現(xiàn)有的政府補(bǔ)貼和農(nóng)產(chǎn)品保險(xiǎn)無法完全彌補(bǔ)天氣風(fēng)險(xiǎn)管理的缺口，因此需要開發(fā)新型的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理工具，天氣衍生品就是其中之一。天氣衍生品誕生于1996年，是以天氣指數(shù)作為標(biāo)的資產(chǎn)的金融衍生工具，用以對(duì)沖天氣反常變化帶來的收入不確定性，這類產(chǎn)品在國(guó)外被廣泛運(yùn)用于天氣敏感性行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)管理策略，其中就包括農(nóng)業(yè)領(lǐng)域。但在我國(guó)，天氣衍生品領(lǐng)域還是一片空白。

1 文獻(xiàn)綜述

在天氣衍生品領(lǐng)域的研究中，普遍采用時(shí)間序列模型、Ornstein-Uhlenbeck均值回復(fù)模型（以下簡(jiǎn)稱O-U均值回復(fù)模型）以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為氣溫預(yù)測(cè)模型。研究思路大致分為三種，一是基于時(shí)間序列模型，如利用ARIMA模型、AR-GARCH模型對(duì)每日平均氣溫時(shí)間序列進(jìn)行分析和預(yù)測(cè);二是基于O-U均值回復(fù)模型，假設(shè)氣溫變量服從隨機(jī)布朗運(yùn)動(dòng)，并利用蒙特卡羅仿真模擬來對(duì)天氣衍生品進(jìn)行定價(jià);三是利用小波分析對(duì)氣溫序列進(jìn)行分解和重構(gòu)，并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，以此來為天氣衍生品定價(jià)。

國(guó)外學(xué)界對(duì)O-U均值回復(fù)模型的研究由來已久。Vasicek O[1]于1977年率先提出了利率變動(dòng)的O-U均值回復(fù)模型，他認(rèn)為利率的變化雖然是隨機(jī)的，但是長(zhǎng)期利率傾向于回歸長(zhǎng)期均值水平。O-U均值回復(fù)模型被運(yùn)用于氣溫預(yù)測(cè)始于1998年，Dischel B[2]提出基于隨機(jī)微分方程（SDE）的氣溫預(yù)測(cè)模型，并首次建立了平均氣溫的均值回復(fù)模型。而后，眾多學(xué)者對(duì)Dischel提出的均值回復(fù)模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)和改進(jìn)。Dornier F等[3]使用這一模型進(jìn)行平均氣溫的預(yù)測(cè)，值得一提的是，他們將氣溫的波動(dòng)率考慮為一個(gè)常數(shù)。Alaton P等[4]于2002年用一個(gè)正弦函數(shù)來描述溫度的季節(jié)性變動(dòng)，將溫度的波動(dòng)率考慮為按月變化的常數(shù)，提出了基于月波動(dòng)率的O-U均值回復(fù)模型，并以此模型結(jié)合蒙特卡羅模擬對(duì)氣溫期權(quán)進(jìn)行定價(jià)分析，得到了較好的實(shí)證效果。2003年Bhowan A[5]通過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，氣溫的波動(dòng)率并非按月變化的常數(shù)，其變化規(guī)律同樣呈現(xiàn)出均值回復(fù)的特性。Benth F E等[6]在此基礎(chǔ)上將溫度的波動(dòng)率考慮為日波動(dòng)率，并對(duì)氣溫的季節(jié)項(xiàng)進(jìn)行傅里葉變換，用多個(gè)正弦和余弦函數(shù)來描述氣溫的季節(jié)性變化，進(jìn)而提出了基于日波動(dòng)率的O-U均值回復(fù)模型，該模型成為運(yùn)用最為普遍的氣溫預(yù)測(cè)模型。

而國(guó)內(nèi)學(xué)界關(guān)于O-U均值回復(fù)模型對(duì)天氣衍生品定價(jià)方面的研究不夠深入，但起步其實(shí)并不晚。2006年劉國(guó)光[7]通過Alaton提出的基于月波動(dòng)率的O-U均值回復(fù)模型，結(jié)合1980—1999年的北京每日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)，并運(yùn)用蒙特卡羅仿真模擬法為天氣期權(quán)和天氣互換定價(jià)，實(shí)驗(yàn)效果較好。然而一直到2011年，國(guó)內(nèi)學(xué)者才開始在劉國(guó)光的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。李永等[8]在2011年以O(shè)-U均值回復(fù)模型為基礎(chǔ)，通過回歸分析和傅里葉變換求得相關(guān)參數(shù)，并對(duì)上海地區(qū)1951—2008年的氣溫進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差絕對(duì)值均小于5%。2012年李永等[9]又以上海氣溫為例利用帶Levy過程的O-U均值回復(fù)模型對(duì)天氣衍生品定價(jià)的合理性進(jìn)行測(cè)度，較好地模擬了氣溫的變化。此外，部分國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)的O-U均值回復(fù)模型還貢獻(xiàn)了全新的研究思路，他們將均值回復(fù)速度設(shè)置為以年為單位的分段函數(shù)，由于每年的均值回復(fù)速度存在一定的差異，故將模型命名為時(shí)變O-U均值回復(fù)模型。其中最具代表性的研究是陳百碩等[10]在2014年和王明亮等[11]于2015年發(fā)布的兩篇文獻(xiàn)，均證明這種時(shí)變模型可以更好地?cái)M合氣溫變動(dòng)過程。本文也將延用這種方法進(jìn)行實(shí)證分析。

2 時(shí)變均值回復(fù)模型和氣溫指數(shù)模型的建立

2.1 時(shí)變均值回復(fù)模型

2.1.1 模型的建立

3 實(shí)證與結(jié)果分析

3.1 基于時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的氣溫預(yù)測(cè)

3.1.1 數(shù)據(jù)說明

本文選取了河北省三個(gè)主要的馬鈴薯產(chǎn)地張北、圍場(chǎng)、豐寧1960年1月1日至2019年12月31日的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)樣本（單位℃，精確到0.1℃，共60年，去除閏年2月29日以后共計(jì)65 700個(gè)數(shù)據(jù)）。

3.1.2 氣溫時(shí)間序列的參數(shù)估計(jì)

由公式（5），對(duì)三個(gè)城市的日平均氣溫序列進(jìn)行線性和非線性回歸分析，在各參數(shù)均通過顯著性檢驗(yàn)的前提下，得到各自的氣溫長(zhǎng)期趨勢(shì)St：

由公式（7），結(jié)合三座城市的日平均氣溫得到各自的月波動(dòng)率值，將每日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)代入公式（11）可得均值回復(fù)速度，具體變動(dòng)情況如圖1所示。

由圖1可知，三個(gè)城市的均值回復(fù)速度差異較大，且不存在明顯的相關(guān)關(guān)系，需要繼續(xù)討論。

3.1.3 均值回復(fù)速度Ai的時(shí)間序列分析

三個(gè)城市Ai值的時(shí)間序列全部通過ADF單位根檢驗(yàn)，觀察自相關(guān)和偏自相關(guān)圖判斷出三個(gè)序列均存在序列相關(guān)問題。在引入ARIMA（1，0，1）后，序列相關(guān)問題得以解決，各系數(shù)也通過了顯著性檢驗(yàn)，模型的擬合效果很好。于是分別構(gòu)建張北、圍場(chǎng)、豐寧ARIMA（1，0，1）模型：

3.2 天氣衍生品的設(shè)計(jì)與定價(jià)

3.2.1 標(biāo)的指數(shù)的計(jì)算

本文選擇基于馬鈴薯的GDDs指數(shù)期貨定價(jià)。由于馬鈴薯的種植期多集中于第四季度，因此選取7.22℃作為馬鈴薯GDDs指數(shù)的基線溫度，對(duì)預(yù)測(cè)得到的氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到三個(gè)城市2019年10月—12月（第四季度）分別的生長(zhǎng)溫度指數(shù)GDDs，通過與2019年實(shí)際的GDDs指數(shù)做對(duì)比，來判斷時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的預(yù)測(cè)精度，結(jié)果如表2所示。

由此可見，三座城市的GDDs指數(shù)的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的偏差率均不超過8%，說明兩種預(yù)測(cè)精度較好，并且時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的預(yù)測(cè)精度要比傳統(tǒng)的O-U均值回復(fù)模型更高，能夠更好地?cái)M合氣溫變動(dòng)情況。

3.2.2 天氣衍生品的設(shè)計(jì)與定價(jià)

本文為張北、圍場(chǎng)和豐寧分別設(shè)計(jì)一份天氣衍生品期貨合約。按照芝加哥商品交易所（CME）對(duì)天氣指數(shù)期貨合約的規(guī)定，合約規(guī)格設(shè)置如表3所示。

結(jié)合公式（13）將GDDs指數(shù)轉(zhuǎn)化為合約價(jià)格。假設(shè)買方分別在10月1日、11月1日、12月1日進(jìn)入期貨多頭或空頭，分別計(jì)算三個(gè)時(shí)點(diǎn)的期貨價(jià)格，比較兩種模型預(yù)測(cè)的合約價(jià)格與真實(shí)價(jià)格的偏差程度，判斷時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的改進(jìn)效果。由于篇幅原因只以豐寧為例進(jìn)行展示，如表4所示。

由表4可知，當(dāng)以豐寧為標(biāo)的城市時(shí)，兩種O-U均值回復(fù)模型都能較好地貼近期貨的價(jià)格，預(yù)測(cè)的偏差率均小于5%，且時(shí)變模型效果更佳。其他兩座城市以兩種模型進(jìn)行實(shí)證分析的效果均較好，大部分預(yù)測(cè)偏差率小于8%（個(gè)別值除外），并且時(shí)變模型整體效果要優(yōu)于傳統(tǒng)模型，雖然精度提升的幅度不大（平均提高0.2%左右），但是由于交易體量較為龐大，依舊能明顯改善期貨的作用效果。此外，兩種模型模擬不同城市的期貨價(jià)格的效果不同，其中對(duì)豐寧的期貨價(jià)格的預(yù)測(cè)效果最佳（平均誤差率不超過3%）。

4 結(jié)論與展望

本文著眼于提高傳統(tǒng)的天氣衍生品定價(jià)模型——O-U均值回復(fù)模型的預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度，將均值回復(fù)速度從常數(shù)改進(jìn)為ARIMA時(shí)間序列，構(gòu)建時(shí)變O-U均值回復(fù)模型。以河北省張北、圍場(chǎng)和豐寧三個(gè)馬鈴薯種植大縣為例，選取1960—2019年的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，對(duì)時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的預(yù)測(cè)精確度進(jìn)行了實(shí)證分析。之后，基于馬鈴薯的生長(zhǎng)溫度指數(shù)GDDs設(shè)計(jì)天氣期貨產(chǎn)品，利用蒙特卡羅模擬法擬合了期貨合約的價(jià)格，并與傳統(tǒng)的O-U均值回復(fù)模型的擬合結(jié)果做比較分析，考察兩個(gè)模型的效果差異。研究發(fā)現(xiàn)，三個(gè)城市的均值回復(fù)速度變動(dòng)趨勢(shì)各不相同，但均適合引入ARIMA（1，0，1）模型，并且改進(jìn)后的時(shí)變O-U均值回復(fù)模型對(duì)氣溫變化過程的擬合程度較好。此外，時(shí)變O-U均值回復(fù)模型在期貨定價(jià)方面展現(xiàn)出了比傳統(tǒng)O-U均值回復(fù)模型更好的預(yù)測(cè)精度。

在得到上述研究結(jié)論的同時(shí)，本文還提出一些展望。第一，雖然本文選取的三個(gè)城市的均值回復(fù)速度均適合ARIMA（1，0，1）模型，但這并不代表其他地區(qū)也同樣適合這一模型，具體的論證需要后續(xù)研究跟進(jìn)。第二，雖然本文以三個(gè)城市為例證明了時(shí)變O-U均值回復(fù)模型的擬合效果更佳，但三個(gè)城市均來自同一地區(qū)，這種空間局限性表明時(shí)變O-U均值回復(fù)模型在我國(guó)其他地區(qū)未必?fù)碛型瑯拥淖饔眯Ч?，具體情況需要通過進(jìn)一步拓展研究進(jìn)行論證。第三，以天氣期貨為代表的諸多天氣衍生品具有良好的天氣風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避效果，并已經(jīng)得到了國(guó)外資本市場(chǎng)20余年的檢驗(yàn)，但是這一金融創(chuàng)新產(chǎn)品還未在我國(guó)成為正規(guī)的場(chǎng)內(nèi)交易產(chǎn)品，希望有關(guān)部門可以盡快推動(dòng)天氣衍生品在我國(guó)證券市場(chǎng)的發(fā)行與流通，讓這一產(chǎn)品真正幫助農(nóng)戶、企業(yè)以及整個(gè)農(nóng)業(yè)對(duì)沖面臨的天氣風(fēng)險(xiǎn)。

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