例析含動滑輪的牽連體速度問題

◇ 湖北 許 文

在運(yùn)動的合成與分解中，常見與動滑輪有關(guān)的牽連體速度問題．對這類問題，學(xué)生往往因不能正確判斷物體合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系而求解出錯，求解這種牽連體的速度問題，可以用微元法、求導(dǎo)法、轉(zhuǎn)換參考系法、能量守恒法等方法進(jìn)行分析與求解．

例1如圖1所示，物體A置于水平面上，A的前端固定一動滑輪B，右側(cè)高臺上有一小定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過兩滑輪B、D．其中繩BC段水平，當(dāng)以速度v0拉繩子自由端時，物體A沿水平面運(yùn)動，當(dāng)跨過動滑輪B的兩段繩子夾角為α?xí)r，物體A運(yùn)動的速度大小v是多少?

圖1

解析

物體A與動滑輪相連，物體A運(yùn)動的速度即為動滑輪運(yùn)動的速度．動滑輪運(yùn)動的速度與動滑輪兩邊繩子移動的速度有關(guān)聯(lián)．

方法1（微元法） 如圖2所示，設(shè)在很短的時間Δt內(nèi)，物體向右運(yùn)動Δx，繩拉出長度 Δl＝Δx＋Δxcosα，故有·（1＋cosα），即v0＝v（1＋cosα），可得

圖2

方法2（導(dǎo)數(shù)法） 如圖3所示，有，則x＋l＝x＋，兩邊對時間t求導(dǎo)，有

圖3

即v0＝v（1＋cosα），可得

圖4

方法3（轉(zhuǎn)換參考系法） 小動滑輪B與物塊A的速度相同．如圖4，以小動滑輪B為參考系，其上段繩上的某點(diǎn)P與下段繩上的某點(diǎn)Q相對小動滑輪的速度大小相等，即

方法4（能量守恒法） 設(shè)輕繩上的拉力大小為F，由系統(tǒng)的能量守恒知，拉繩自由端拉力的功率與兩段繩拉動滑輪的功率和相等，即Fv0＝Fv＋Fvcosα，可得

點(diǎn)評

以上方法1基于平均速度與瞬時速度的關(guān)系，用到了微元法，需要用到數(shù)學(xué)上的近似計(jì)算，這是一種處理變化問題的基本解法；方法2基于速度的物理意義，用到了求導(dǎo)法，通過幾何知識找出牽連體運(yùn)動的位移大小關(guān)系，這種解法對數(shù)學(xué)知識要求較高，但這是一種實(shí)用的解法；方法3利用了轉(zhuǎn)換參考系法，同一繩子繞過動滑輪，動滑輪兩邊繩子上的點(diǎn)相對動滑輪移動的速度大小相等，這是一種最具內(nèi)涵的解法；方法4利用了能量守恒，巧妙地利用牽連體間內(nèi)力的機(jī)械功率關(guān)系求解，求解過程簡潔，給人一種高屋建瓴之感，是一種最為巧妙的解法．

例2如圖5所示，AA1、BB1是固定于天花板上的兩光滑豎直桿．細(xì)繩的一端固定在B點(diǎn)，另一端拴在套于桿AA1的珠子D上，另一顆珠子C穿過細(xì)繩且套在桿BB1上．已知珠子C以速度v1勻速下落，當(dāng)細(xì)繩與桿AA1夾角成θ時，珠子D上升的速度v2大小為（ ）．

圖5

解析

本題中的珠子C相當(dāng)于小動滑輪．

方法1（微元法） 設(shè)在很短時間Δt內(nèi)，珠子C下落距離v1Δt運(yùn)動到C1處，珠子D上升距離v2Δt運(yùn)動到D1處（如圖6所示）．在AA1上取點(diǎn)E，使CE平行且等于C1D1．在CD上取點(diǎn)F使CF＝CE，有DF＝CC1，即

圖6

方法2（轉(zhuǎn)換參考系法） 以珠子C為參考系，珠子D以相對速度v2＋v1上升，它是相對C的轉(zhuǎn)動速度u與平動速度v1的合速度（如圖7所示）．有v1＝（v2＋v1）cosθ，可得

圖7

方法3（能量守恒法）如圖8，設(shè)細(xì)繩上的張力為F，由于C、D兩珠子系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則兩珠子受繩子拉力的功率和為零，即

方法4（相對法） 如圖9所示，繩子D端在CD間移動的速度大小為v2cosθ，而CD間的C端繩子被拉出去的速度大小為v1－v1cosθ，有v2cosθ＝v1－v1cosθ，可得

方法5（導(dǎo)數(shù)法） 設(shè)兩豎直桿間的距離為l，繩總長為L．如圖10所示，則開始時珠子C與天花板的距離為，珠子D與天花板的距離為h2＝，則有

（注:上式求導(dǎo)第一個“－”表示h2在減?。?/p>

圖8

圖9

圖10

總之，對于涉及動滑輪的牽連體速度問題，由于與動滑輪連接物體的速度分解較復(fù)雜，可以采用轉(zhuǎn)換參考系的方法，利用相對速度間的關(guān)系進(jìn)行分析求解．另外，微元法與求導(dǎo)法都是分析此類問題的基本方法，能量守恒法是分析求解這類問題的最巧妙方法．