局部均布荷載作用下四邊支承矩形板的內(nèi)力計算

楊成永，馬文輝，韓薛果，程霖

（北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044）

地鐵、熱力和燃氣等地下工程中，地下構(gòu)筑物的頂板多為四邊支承的薄板，板上常承受局部均布荷載如汽車輪壓作用.為了確定像汽車輪壓這類荷載在板內(nèi)產(chǎn)生的最大撓度和內(nèi)力，需要進行任意位置局部均布荷載作用下?lián)隙群蛢?nèi)力的計算.

對四邊支承的矩形薄板問題，可以從四邊簡支板的Navier 解出發(fā)，采用疊加方法[1-2]或加補充項的方法[3-4]解決.如：蔡長安等[5-6]以帶附加補充項的Fourier 級數(shù)作為撓度函數(shù)，求解了Winkler 地基及Pasternak 地基上自由邊矩形板的彎曲問題.許琪樓等[7-8]采用一種能滿足自由角點條件的撓度表達式，解決了二鄰邊支承二鄰邊自由矩形板和二鄰邊及對角點支承矩形板的彎曲問題.他們還采用疊加方法[9-10]，提出了四邊支承矩形板及一邊固定一角點或二角點支承的矩形板的統(tǒng)一求解方法.岳建勇等[11-12]采用一種雙三角級數(shù)形式的撓度函數(shù)，得到了三邊固定一邊自由及兩對邊固定兩對邊自由矩形板的精確解.鐘陽等[13]在辛幾何空間中利用分離變量法推導出了四邊固支彈性矩形薄板的精確解析表達式.于天崇等[14]假定矩形板的抗彎剛度沿板的寬度方向按照一般冪函數(shù)形式變化，研究了四邊簡支一對邊受彎作用下面內(nèi)變剛度矩形板的彎曲問題.肖閃閃等[15]采用載荷疊加法研究了集中載荷下四邊固支正交各向異性矩形板的線性彎曲，并討論了經(jīng)典Kirchhoff 薄板假設(shè)對于集中載荷的適用性.

可以看出，目前已有的研究成果中，疊加方法應(yīng)用較多.而補充項的方法公式簡單，能夠?qū)Ω鞣N邊界條件進行統(tǒng)一處理.

既有研究工作存在以下不足：1）沒有直接給出局部均布荷載作用下四邊支承板內(nèi)力計算公式，致使工程技術(shù)人員在實踐中對級數(shù)解的研究成果難以利用.2）對級數(shù)解的收斂速度討論不充分，不清楚究竟需要取多少項級數(shù)才能滿足精度要求.3）級數(shù)解與有限元數(shù)值解在計算精度和速度方面沒有進行仔細對比.不了解兩種解法在精度上能達到多高的吻合程度；不清楚級數(shù)解法的計算速度比有限元法具體快多少.

為了探討上述問題，本文采用補充項方法進行四邊支承板計算，提出了撓度及彎矩的計算公式；討論了解法的收斂速度，并與既有文獻進行了求解結(jié)果正確性的驗證；最后與有限元數(shù)值結(jié)果在求解精度和計算量上進行了對比.

1 微分方程及右端荷載

采用圖1 所示的坐標系.圖中a、b 為板的長度和寬度，m；x0、y0為局部均布荷載中心的坐標，m；c、d為局部均布荷載的分布長度和寬度，m.

圖1 受局部均布荷載作用的矩形板Fig.1 A rectangular plate under locally uniformly distributed load

2 撓度和彎矩計算

對不同支承條件下的矩形板，文獻[3]給出了帶補充項的撓度表達式.針對本文的四邊支承矩形板，有簡化的撓度表達式為：

3 待定系數(shù)的確定

公式（5）～（10）中待定系數(shù)Aj、Bj、Ci、Di需要根據(jù)板邊的支承條件確定.由于Aj、Bj、Ci、Di分別為左邊、右邊、前邊及后邊法向彎矩正弦級數(shù)的待定系數(shù)，因此當板的某邊為簡支邊時，按公式（8）可知，相應(yīng)的待定系數(shù)取為0.某邊為固支時，按如下方法計算待定系數(shù).

當板左邊（x=0 邊）為固支時，由式（4）在x=0處取w 對x 的偏導數(shù)：

在利用公式（17）～（20）確定待定系數(shù)Aj、Bj、Ci、Di時，若某一邊、某二邊甚至某三邊為簡支，則舍棄相應(yīng)的方程，留下剩余的方程組成方程組解出待定系數(shù).以板左邊及前邊固支其余兩邊簡支為例，此時由于右邊和后邊簡支，故待定系數(shù)Bj=Di=0；舍棄公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程組成方程組，并且在留下的方程中，置Bj及Di為0，進而解出左邊及前邊兩個固支邊的待定系數(shù)Aj和Ci即可.

4 計算與分析

4.1 計算步驟

采用本文公式計算四邊支承板撓度和彎矩的步驟如下：

1）若板的四邊全為簡支邊，則取Aj=Bj=Ci=Di=0.若板存有固支邊，則從公式（17）～（20）中選擇相應(yīng)的公式組成方程組，計算待定系數(shù)Aj、Bj、Ci或Di.

2）確定系數(shù)Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）計算撓度的傅里葉系數(shù)wij.

3）最后，按公式（4）計算撓度，按公式（9）及（10）計算彎矩.

本文后續(xù)計算中，線性方程組的求解采用克勞特（Crout）分解法.計算程序采用C 語言編寫，程序中實型變量采用雙精度.

4.2 計算參數(shù)

取板沿x 方向長度a=5 m，y 方向長度b=7 m，厚h=0.1 m；板彈性模量E=3×107kPa，泊松比μ=0.3；荷載按公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范（JTG D60—2015）取一個汽車輪壓傳遞到板上形成的局部均布荷載.軸重取120 kN，單輪地面分布尺寸0.6 m×0.2 m，輪壓擴散角35°，板埋深0.714 m.由此得作用在板上的局部均布荷載q0=31.25 kPa，荷載x 方向分布長度c=1.6 m，y 方向分布長度d=1.2 m；荷載中心坐標x0=2.5 m，y0=3.5 m.

4.3 收斂速度的討論

采用4.2 節(jié)的計算參數(shù)，板四邊均固支，取級數(shù)項數(shù)為5 項、10 項、20 項、30 項、40 項、50 項、60 項及80 項，計算結(jié)果列于表1.

表1 及后續(xù)表格中，“板中心撓度”“板中心x 方向彎矩”“板中心y 方向彎矩”“長邊中點x 方向彎矩”分別為無量綱量

從表1 看出，30 項后，撓度計算結(jié)果的前5 位有效數(shù)字不再發(fā)生變化；40 項后，彎矩計算結(jié)果的前4位有效數(shù)字不再發(fā)生變化.因此可得出，40 項時，級數(shù)已可視為收斂.后續(xù)計算中采用40 項級數(shù)的計算結(jié)果.

表1 不同級數(shù)項數(shù)的計算結(jié)果Tab.1 Computed results by different number of series terms

4.4 計算結(jié)果與既有文獻對比

4.4.1 與文獻[1]對比

文獻[1]中有四邊固支板受滿布均布荷載作用的計算結(jié)果.為與之對比，采用4.2 節(jié)的計算參數(shù)，板四邊均固支，荷載改為滿布，荷載強度不變，仍為q0=31.25 kPa.計算結(jié)果列于表2.

表2 與文獻[1]計算結(jié)果對比Tab.2 Comparison of computed results with that in reference[1]

由表2 看出，2 種方法的結(jié)果前2 位有效數(shù)字相同.由于文獻[1]表格的有效數(shù)字只有3 位，可以認為表2 中2 種結(jié)果是一致的.

4.4.2 與文獻[16]對比

文獻[16]列出了四邊簡支板中央受局部均布荷載作用時彎矩的計算系數(shù).為與其對比并避免查表計算中的插值，取泊松比μ=0，輪壓x 方向分布長度c=2 m，y 方向分布長度d=1 m，其余參數(shù)采用4.2 節(jié)的數(shù)據(jù)，板四邊均簡支.

計算結(jié)果列于表3.

表3 與文獻[16]計算結(jié)果對比Tab.3 Comparison of computed results with that in reference[16]

由表3 看出，兩種方法的結(jié)果，前3 位有效數(shù)字相同.由于文獻[16]表格的有效數(shù)字是4 位，可以認為表3 中兩種結(jié)果是一致的.

4.5 計算結(jié)果與有限元對比

采用4.2 節(jié)的計算參數(shù)，板左邊（x=0 邊）及前邊（y=0 邊）固支，其余兩邊簡支.按相同的參數(shù)和邊界條件采用ANSYS 軟件SHELL63 號單元，劃分3種粗細不同網(wǎng)格進行計算.計算結(jié)果列于表4.

表4 與有限元計算結(jié)果對比Tab.4 Comparison of computed results with that by FEM

由表4 可看出：

1）隨有限元網(wǎng)格的加密，計算結(jié)果逐漸趨于本文的級數(shù)解.由此可說明，本文級數(shù)解是四邊支承板變形問題的理論解或精確解.當有限元網(wǎng)格細到5 mm×5 mm 時，撓度及彎矩有5 位有效數(shù)字與級數(shù)解相同.可以認為這時數(shù)值解與級數(shù)解基本一致.

2）表4 中的軟件運行所用時間是從數(shù)據(jù)輸入到輸出全部的計算機運行時間.要達到較高的精度，有限元需要花費的計算機時間大大高于級數(shù)解.就本算例來說，相差達10 萬倍以上.需要注意的是，本算例中，有限元在5 mm×5 mm 網(wǎng)格時，需要求解的方程組的階數(shù)，不少于（x 方向節(jié)點數(shù)5/0.005）×（y 方向節(jié)點數(shù)7/0.005）×6 個自由度=840 萬；而級數(shù)解取40 項時需要求解的方程組的階數(shù)僅為40×2 個固支邊=80.

5 結(jié)束語

采用帶補充項的撓度函數(shù)，研究了四邊支承矩形薄板的彎曲問題.給出了局部均布荷載作用下簡支邊和固支邊不同組合條件下的統(tǒng)一計算公式.

對比計算表明，以Navier 解為基礎(chǔ)帶補充項的傅里葉級數(shù)解，達到收斂的級數(shù)項數(shù)約為40 項.該級數(shù)解與其他采用疊加法得到的傅里葉級數(shù)解，具有同樣的求解精度.與有限元數(shù)值法相比，級數(shù)解的計算量十分微小.

值得一提的是，式（3）若換成滿布荷載、線荷載和集中力相應(yīng)的傅里葉系數(shù)，本文方法也適用.