均布荷載下兩端固支深梁的解析解

梅甫良

(嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江嘉興314001)

梁的平面應(yīng)力問題是彈性力學(xué)中的一個非常經(jīng)典的問題，也是實際工程經(jīng)常遇到的問題.Timoshenko 和Gooder研究了各向同性懸臂梁的拉伸、剪切、純彎曲、橫彎曲以及兩端簡支各向同性梁在均布荷載或其他荷載作用下的彎曲問題.[1]Lekhnitskii研究了兩端簡支各向異性梁在均布或線性分布荷載作用下的彎曲問題.[2]Ahmed 等給出了兩端固支深梁的有限差分解.[3]陳玉驥獲得了單跨超靜定梁在均布荷載作用下的彈性力學(xué)解.[4]樊友景等獲得了均布荷載作用下兩端固支梁的彈性力學(xué)解.[5]張偉等給出了集中荷載作用下兩端固支梁的彈性力學(xué)解.[6]王曉琴等導(dǎo)出了均布荷載作用下懸臂梁的彈性力學(xué)解.[7]上述彈性力學(xué)解，都是采用了固支邊原始位移條件下的不同簡化(1)邊界上中點固定不動，即該點不能移動，水平線不能轉(zhuǎn)動.所獲得的半逆解析解，這是由于應(yīng)力函數(shù)是空間坐標(biāo)的多項式函數(shù)，所以它無法滿足固支邊原始位移條件.因此，用多項式應(yīng)力函數(shù)求解時都是采用簡化的固支邊位移條件.

最近，文獻(xiàn)[8]建議的固支邊位移條件簡化處理為固支邊中點2個縱橫方向的位移u、v以及?u/?y(或?v/?x)為零，據(jù)此條件所獲得的遠(yuǎn)離固支邊各點處縱橫向位移和縱向正應(yīng)力的精度較高，而固支邊附近各點的計算精度卻不是很高.爾后，戴瑛等對文獻(xiàn)[8]建議的固支邊位移簡化條件進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種改進(jìn)型固支邊位移條件，仍然令固支邊中點2個縱橫方向的位移u、v為零，但不以固支邊中點?u/?y(或?v/?x)為零作為固支邊位移條件，而是改為以固支邊頂點縱向位移u為零，這種改進(jìn)型固支邊位移條件所獲得的受均布荷載作用下，兩端固支短梁的解析解與其有限差分解符合得較好，[3]特別是所獲得的固支邊附近各點處縱向正應(yīng)力解析解與有限差分解之間的相對誤差，比起以文獻(xiàn)[8]等建議的固支邊位移簡化條件所獲得的固支邊附近各點縱向正應(yīng)力解析解與有限差分解的相對誤差要來得小.[9]可是，運用戴瑛等建議的改進(jìn)型固支邊位移條件來求解懸臂深梁的平面應(yīng)力問題時發(fā)現(xiàn)，雖然所獲得的應(yīng)力解析解與有限差分解比較符合，但其橫向位移解析解與有限差分解的差距是比較大的.綜上所見，固支邊位移條件的簡化改進(jìn)與兩端固支梁固支邊的位移實際約束情況是比較一致的，但它與一邊固支、另一邊自由懸臂梁固支邊的位移實際約束情況是有差距的.[9]

圖1 兩端固定均布荷載深梁

本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出了一種新型固支邊位移簡化條件，即令固支邊的縱向位移u、橫向位移v以及縱向位移u對橫向坐標(biāo)z的一階導(dǎo)數(shù)，沿高度方向進(jìn)行積分后都為零；以均布荷載作用下兩端固支梁平面應(yīng)力問題為例，用本文提出的固支邊位移簡化條件和半逆解法推導(dǎo)出其應(yīng)力和位移解析解.為了探討本文建議的固支邊位移簡化條件的正確性和可靠性，給出了文獻(xiàn)[8]的兩個固支邊位移簡化條件與文獻(xiàn)[9]的1個固支邊位移簡化條件所得的解析解和以固支邊原始位移條件所取得的有限元解，將本文所得的應(yīng)力位移解析解分別與現(xiàn)有其他3種不同簡化處理的固支邊位移條件所獲得的解析解和原始固支邊位移條件所取得的有限元解進(jìn)行了對比研究.

1 問題描述與基本方程

考慮厚度為單位1、長度為l和高度為h的兩端固定矩形截面深梁，其上表面受均布荷載q的作用，而下表面不受力，如圖1所示.

在不計體力的情況下，其平衡微分方程、幾何方程和應(yīng)力應(yīng)變方程分別為：

(1)

式(1)中，σx、σz和τzx是應(yīng)力分量，εx、εz和γzx是應(yīng)變分量，u和w是位移分量，E和μ分別是材料的彈性模量和泊松比.

應(yīng)力邊界條件為：

(2)

位移邊界條件為

u=0，w=0 (x=0) 和 (x=l)

(3)

2 半逆解法

應(yīng)力分量可用應(yīng)力函數(shù)U表示：

(4)

式(4)中應(yīng)力函數(shù)U已自動滿足重調(diào)和方程.

本文采用Ding H J[8]等建議的7項五次多項式應(yīng)力函數(shù)U：

U=a(z5/5-x2z3)+bxz3+cz3+dz2+ex2z+fxz+gx2

(5)

式(5)中a、b、c、d、e、f、g是7個待定系數(shù).

將式(5)代入式(4)，可得應(yīng)力分量的表達(dá)式為：

(6)

將式(6)代入式(1)中的應(yīng)力應(yīng)變方程，再代入式(1)中的幾何方程和應(yīng)力應(yīng)變方程，可得位移分量的表達(dá)式：

(7)

式(7)中，u0，v0和ω為積分常數(shù).

應(yīng)力函數(shù)式(5)中的7個待定系數(shù)和位移表達(dá)式(7)中的3個積分常數(shù)，可由應(yīng)力邊界條件式(2)和位移邊界條件式(3)確定.采用上述多項式解法，難以滿足固支邊位移條件式(3).因此，本文采用簡化的固支邊界條件.

對固支邊界條件，文獻(xiàn)[8]等建議的位移簡化條件如下：

(8)

或者

(9)

文獻(xiàn)[9]又提出了一種新的簡化固支邊界條件如下：

(10)

由式(10)可見，文獻(xiàn)[9]用固支邊頂點縱向位移為零的條件代替固支邊中點?w/?x=0或?u/?z=0的條件.

在現(xiàn)有文獻(xiàn)成果的基礎(chǔ)上，本文對固支邊提出了一種新的簡化固支邊界條件如下：

(11)

最后，利用式(11)和式(2)，即可確定式(5)中的7個待定系數(shù)和式(7)中的3個積分常數(shù)，具體如下：

(12)

將求得的上述待定系數(shù)和積分常數(shù)代入應(yīng)力分量式(6)和位移分量式(7)，就可以求得梁內(nèi)任一點處的應(yīng)力分量和位移分量.

由上述4種不同固支邊簡化條件式(8)、(9)、(10)和(11)所確定的10個待定系數(shù)中發(fā)生差異的3個系數(shù)c、ω和v0，示于表1中.

表1 4種不同固支邊簡化條件下受影響待定系數(shù)的比較

3 算例分析

以梁的長高比l/h=2、均布荷載q=60×106N/m2、彈性模量E=200Gpa、泊松比μ=0.3為例,采用文獻(xiàn)[8]建議的重調(diào)和應(yīng)力函數(shù)(4)并結(jié)合4種不同固支邊簡化條件式(8)～式(11)分別獲得了其應(yīng)力和位移解析解,還利用ANSYS10.0軟件獲得了其應(yīng)力位移有限元數(shù)值解.在本文的有限元法中,梁的跨度方向為200等分,高度方向為100等分,左、右固支邊上所有節(jié)點水平和豎向位移均設(shè)為零.所有計算結(jié)果示于表2和圖2～圖8中.

表2 梁上、下邊最大撓度值的比較

圖2和圖3分別給出了不同簡化固支邊界條件時，在z=-h/2和z=h/2沿長度方向的撓度分布，表2列出了不同簡化固支邊界條件下，梁上、下邊最大撓度值及其相對偏差.由圖2、圖3和表2可見，按文獻(xiàn)[8]建議的簡化固支邊界條件式(8)下的梁上、下邊最大撓度與有限元計算結(jié)果的相對偏差分別為20.8%和27.1%，而按文獻(xiàn)[8]建議的簡化固支邊界條件式(9)下的梁上、下邊最大撓度值與有限元計算結(jié)果的相對偏差分別為59.1%和73.9%.文獻(xiàn)[9]提出的簡化固支邊界條件式(10)下的梁上、下邊最大撓度值與有限元計算結(jié)果的相對偏差都很小，只有2.7%.運用本文提出的固支邊簡化條件式(11)所導(dǎo)出的梁上、下邊最大撓度值與有限元計算結(jié)果的相對偏差也不大，分別為7.6%和8.9%.可見，采用本文簡化固支邊界條件式(11)所得的位移精度是相當(dāng)高的.

圖2 z=-h/2處撓度分布圖3 z=h/2處撓度分布圖4 x/l=0.5處應(yīng)力分量σx分布圖5 x/l=0.5處應(yīng)力分量σz分布圖6 x/l=0.05處應(yīng)力分量σx分布圖7 x/l=0.05處應(yīng)力分量σz分布

圖8 x/l=0.05處應(yīng)力分量τzx分布

圖4和圖5分別給出了4種不同簡化固支邊界條件下，梁中截面(x/l=0.5)上的應(yīng)力分量σx和σz解析曲線和有限元數(shù)值計算曲線.由圖5可見，這4條解析曲線是完全重合的，而與σz有限元數(shù)值計算曲線幾乎重合.由圖4可見，本文的σx解析曲線與文獻(xiàn)[9]建議的固支邊簡化條件下所得的σx解析曲線是完全重合的，且與σx有限元數(shù)值計算曲線十分接近.然而，按文獻(xiàn)[8]采用的固支邊簡化條件式(8)或式(9)所得的σx解析曲線偏離σx有限元數(shù)值計算曲線較大，尤其是在梁頂、梁底附近.由此可以證明，本文建議的固支邊簡化條件式(11)比文獻(xiàn)[8]的固支邊簡化條件式(8)或式(9)更加接近固支邊的實際約束情況，因此是可靠的，也是合理的.

圖6、圖7和圖8分別給出了四種不同固支邊簡化條件下的固支邊附近截面(x/l=0.05)上的應(yīng)力分量σx、σz和τzx解析曲線和有限元數(shù)值計算曲線.由圖6可見，本文的σx解析曲線與文獻(xiàn)[9]等建議的固支邊簡化條件(10)所得的σx解析曲線是完全重合的，介于由文獻(xiàn)[8]等推薦的固支邊簡化條件式(8)和式(9)所得的兩條σx解析曲線解之間.本文的σx解析曲線與有限元數(shù)值計算曲線之間存在一定的偏差，但是其偏差很小.由圖7和圖8可見，本文的σz、τxz解析曲線與文獻(xiàn)[8-9]推薦的固支邊簡化條件式(8～11)所得的σz、τxz解析曲線是完全重合的；在梁頂邊和底邊的計算上，本文的σz、τxz解析值與相應(yīng)的有限元數(shù)值計算值重合；在其他點上，本文的σz、τxz解析值與有限元數(shù)值計算值存在一定的差別.這是由于本文簡化固支邊界條件式(11)與固支邊實際約束之間的差異造成的.由此可見，基于各種不同固支邊簡化條件所得的固支邊附近的各應(yīng)力分量值的計算精度，會受到不同固支邊簡化條件的影響，但從圖6可見，本文建議的固支邊簡化條件對固支邊附近的主要應(yīng)力分量σx的計算精度影響是比較小的，是可以接受的.

4 結(jié)論

本文提出了一種新的固支邊簡化條件，采用半逆解法導(dǎo)出了均布荷載作用下兩端固支深梁平面應(yīng)力問題的應(yīng)力和位移解析表達(dá)式.同將本文的應(yīng)力和位移解析解與其他3種固支邊簡化條件所得的應(yīng)力和位移解析解及有限元數(shù)值解進(jìn)行了比較，結(jié)論發(fā)現(xiàn)，該簡化固支邊界條件能夠較真實刻畫固支邊實際約束情況，是合理的、可靠的；不論是在固支邊附近還是其他區(qū)域的應(yīng)力和位移精度，受本文固支邊約束簡化條件的影響都是比較小的.