高中數(shù)學課堂中培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的研究

梁楨楨

【摘要】直觀想象素養(yǎng)是教育部提出的核心素養(yǎng)內(nèi)容之一，在數(shù)學的學習中有著非常重要的作用，落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主陣地是我們的課堂，教師在課堂中創(chuàng)設合適的教學情境、學習活動等，將直觀想象素養(yǎng)的養(yǎng)成滲透到課堂教學中，文章以“拋物線及其標準方程”的教學設計為例，闡述如何在高中數(shù)學課堂中培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】直觀想象素養(yǎng)? ?數(shù)學課堂? ?拋物線? ?培養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）31-065-03

在六大核心素養(yǎng)中，直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。直觀想象建立起了數(shù)與形的橋梁，隨著時代的發(fā)展，在教學中，對提升學生直觀想象素養(yǎng)也提出了更高的要求?，F(xiàn)在高中生利用直觀想象能力解決實際問題的能力非常有限，所以我們要重視學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主陣地是我們的課堂，在數(shù)學課堂上如何將培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)落在實處？這是一線教師都非常關心的問題，本文以人教A版《數(shù)學》（選修2-1）“拋物線及其標準方程”（第一課時）教學設計為例，闡述如何將培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)落實在高中數(shù)學課堂。

一、創(chuàng)設合適的教學情境，提升數(shù)學素養(yǎng)

活動1：直觀感知生活中的拋物線。（1）圖片展示：上海盧浦大橋、彩虹、噴泉、衛(wèi)星接收天線。（2）動畫演示投籃時籃球的運行軌跡是拋物線。

設計意圖：通過生活實例，吸引學生注意力，讓學生直觀感知生活中的拋物線，并認識到學習拋物線的重要性，激發(fā)學習熱情。

活動2：理性思考數(shù)學中的拋物線。老師先讓學生回憶二次函數(shù)圖象，如y=x2，y=ax2+bx+c（a≠0）等圖象是怎樣的，接著提出問題，為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？

活動3：利用幾何畫板演示不同開口朝向、大小的拋物線，讓學生觀察，并提問：這些都是拋物線嗎？為什么？

設計意圖：活動2和活動3通過問題的引入激發(fā)學生的學習欲望，明確我們需要用拋物線的定義來判斷，理性思考數(shù)學中的拋物線。幾何畫板的演示讓拋物線“活”了起來，避免學生對拋物線開口死板的感性認識。

剖析：彩虹、噴泉體現(xiàn)了自然之美，上海浦東大橋、衛(wèi)星接收天線又體現(xiàn)了人類的智慧，籃球更是本班男生的至愛，現(xiàn)實情境的引入，讓學生感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，熟悉的情境能迅速吸引學生的注意，進而調(diào)整好狀態(tài)進入課堂的學習。因此教師在數(shù)學課堂中要重視創(chuàng)設合適的教學情境，學生的內(nèi)心被觸動了，會更積極動腦進行類比歸納總結，挖掘數(shù)學本質(zhì)，為進一步上升到理論認識做準備，這一過程也同時提升了學生的直觀想象素養(yǎng)。

二、合理運用現(xiàn)代信息技術，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

活動1：幾何畫板動態(tài)演示拋物線的形成過程。教師一邊利用幾何畫板演示拋物線的作圖過程，一邊介紹作圖規(guī)則。用《幾何畫板》作圖，如圖1，點F是定點，l是不過點F的定直線，H是l上任意一點，過點H作l的垂線MH，作線段FH的垂直平分線m，MH與直線m交于點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，思考點M滿足的幾何條件。

設計意圖：拋物線的畫法較為復雜，可以通過幾何畫板動態(tài)演示，讓學生直觀觀察拋物線的形成過程，使他們真正看到了“軌跡”，這樣易于理解，記憶深刻，這種直觀、生動的教學是化靜為動的變化過程。能將復雜問題簡單化，有助于學生提升直觀想象素養(yǎng)。

活動2：歸納總結拋物線的定義與對定義的解讀。

師：能結合剛才的演示給拋物線下個定義嗎？

生：到一個定點F與到一條定直線l距離相等的點的軌跡.

師：那定點F和一條定直線l的位置關系如何？點F能在直線l上嗎？

生：（有點遲疑）有學生回答不能。

師：為什么？若點F在直線l上，平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡是什么呢？

生：若點F在直線l上，則軌跡為過定點F垂直于直線l的直線l'.

師生共同歸納定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫作拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。

設計意圖：以學生為主體，讓學生觀察拋物線的形成過程，并找到其幾何特征，進而歸納定義，著重培養(yǎng)學生分析、歸納等能力，并加深學生對拋物線定義中的條件“不過”的理解，培養(yǎng)學生的嚴謹。

剖析：教師利用幾何畫板演示拋物線的作圖過程，直觀生動，也利用學生自己歸納拋物線的定義。北京師范大學教育學部課程與教學論研究院張瑜教授提到：“直觀想象是實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎，是人在思維的過程中逐漸形成的思想方法和思考能力”。在教學中教師合理運用現(xiàn)代信息技術，讓學生直觀的感知，有助于將復雜問題簡單化，同時讓學生體會圖形動靜變化過程，從而找到解決問題的本質(zhì)和思路，促進直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，同時這一過程也是直觀想象到數(shù)學抽象的升華。

三、引導學生增強數(shù)形結合意識，推導數(shù)學問題

活動1：拋物線方程的推導。

師：根據(jù)拋物線的定義，怎樣探究出拋物線的方程？現(xiàn)在我們已知一定點F和一條定直線l。

生：根據(jù)求曲線方程的步驟：建系—設點—列式—化簡。

師：很好，那怎樣建系？如何建系更合理？

生1：過點F且垂直于直線l的直線為x軸，準線所在直線為y軸建系（如圖2）

生2：過點F且垂直于直線l的直線為x軸，過F點作垂直于x軸的直線為y軸建系（如圖3）

生3：過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，以KF的中垂線為y軸建系更為簡單（如圖4）.

師：同學們積極思考，充分討論，我們找到的建系方法共有三種，我們現(xiàn)在的任務就是分別求出不同建系方法下的拋物線方程，接下來我們分小組完成。

匯總這三種建系方式下的拋物線方程依次為：y2=2px-p2，y2=2px+p2，y2=2px，不難得出第三種建系方式下的拋物線方程最簡潔，因此第三種建系方式最好。所以我們得出了開口向右的拋物線的標準方程為y2=2px，其中把定點F（? ?，0）叫作拋物線的焦點，定直線l：x=-? ? 叫作拋物線的準線。

設計意圖：教師通過引導，鼓勵學生自主探索，小組合作交流，充分體現(xiàn)了學生的主體地位，學生分工求出三種建系下的方程，充分展現(xiàn)了知識形成的過程，學生動手實踐，并進一步體會建立恰當?shù)淖鴺讼祵Ψ匠绦问降姆e極意義，為標準方程的理解打下了基礎，從拋物線定義到拋物線標準方程的求法，強化了數(shù)形結合，這是從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變，是解析幾何基本思想的體現(xiàn)。

活動2：類比得到四種標準方程。

思考問題：（1）大家能否根據(jù)開口向右的拋物線的標準方程y2=2px，寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程？（2）是不是每一種開口方向都要通過建系去推導？

教師要求學生先獨立思考，再討論交流。

生：通過旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)可以從圖形上得到不同開口的拋物線

（其實在前面已經(jīng)利用幾何畫板演示過不同開口不同大小的拋物線，這里提出要找另外三種開口的拋物線方程就相當?shù)淖匀涣耍?/p>

師：的確把拋物線對折、旋轉(zhuǎn)后生成開口不同的拋物線，但沒有旋轉(zhuǎn)公式，所以無法直接通過旋轉(zhuǎn)得到方程。

生：可以用坐標代換來解決這個問題。

師：很好，接著請同學們完成書上的表格內(nèi)容，把另外三種開口的拋物線的方程，焦點坐標和準線方程寫出來。

設計意圖：前面幾何畫板的演示，合理地解釋了拋物線開口的任意性，學生易于接受消化，也為這里的問題的提出作了很好的鋪墊，通過焦點在x軸正半軸上的標準方程，坐標代換得到其余三種情況，以加深學生對拋物線標準方程的理解。通過四種情況的觀察、對比，引導學生發(fā)現(xiàn)拋物線的標準方程與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到一般的規(guī)律。

活動3：實例分析，深化理解拋物線

例1. 根據(jù)下面拋物線的方程說出它的開口方向，并寫出焦點坐標和準線方程。

（1）y2=16x? ? ? ? ? （2）x2=-? ? y? ? ? ?（3）y=? ? x2

例2.根據(jù)焦點坐標和準線方程，寫出拋物線的標準方程.

（1）焦點：F（-2，0）? ?（2）準線：y=1

變式1：已知拋物線過點A（-3，2），求其標準方程。

變式2：已知拋物線的焦點到準線的距離為6，求其標準方程。

設計意圖：例1根據(jù)方程判斷開口，確定焦點位置和準線，體現(xiàn)了由數(shù)到形，例2是由形到數(shù)。讓學生在數(shù)形之間不斷轉(zhuǎn)化，增強理解，鞏固提高。變式1中點的坐標在第二象限，根據(jù)拋物線的圖象，開口向左或者向上，會經(jīng)該點，通過數(shù)形結合，把方程設出來，代入點A即可寫出方程，所以這個題根據(jù)條件應該寫出兩個標準方程。變式2，開口可以向上，向下，向左，向右，應該寫出四個標準方程。題目思維量不大，但要注意圖形在解題過程中的作用，滲透數(shù)形結合的思想。

剖析：華羅庚先生說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！被顒?、活動2和活動3充分體現(xiàn)了這個數(shù)學理念。數(shù)形結合是直觀想象主要表現(xiàn)之一，通過圖形解決問題或者通過數(shù)字符號畫出圖形，通過數(shù)形結合的思想方法建立形與數(shù)的聯(lián)系，這是學習數(shù)學必須具備的素養(yǎng)。建構主義認為，學習是一個過程，在這個過程中學生根據(jù)自己本身已經(jīng)具有的知識來主動建構新的知識。在課堂教學中，要引導學生將自己已有的知識和新獲得的知識進行重組，建構出新的知識體系。將直觀想象素養(yǎng)提升的目標落實在具體的題目中，通過問題分析等途徑，引導學生增強數(shù)形結合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力，發(fā)展理性思維，同時這個過程也為學生提升直觀想象素養(yǎng)提供了場所。所以我們讓學生根據(jù)他們的基礎去發(fā)展構建屬于他們自身的直觀想象素養(yǎng)，在這樣的教學過程中培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)。

直觀想象素養(yǎng)在數(shù)學新知識的學習中有著非常重要的作用，重視學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，有助于學生理解和掌握數(shù)學結論，有助于提升學生數(shù)形結合等能力，但直觀素養(yǎng)是不能強加給學生的，是老師在課堂上根據(jù)學生的具體實際情況，通過創(chuàng)設合適的教學情境、學習活動等逐步培養(yǎng)的，所以我們老師備課時要鉆研教材，根據(jù)學情設計好每一節(jié)課，提升學生的直觀想象素養(yǎng)。

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