微分方程教學(xué)設(shè)計(jì)之線性化思想的應(yīng)用

摘要：線性化的思想被廣泛用于微分方程的研究。通過從教科書中選擇與微分方程有關(guān)的示例，將線性化思想應(yīng)用于微分方程的精確求解過程，可以增強(qiáng)學(xué)生對線性化的理解，并激發(fā)學(xué)生對研究與微分方程相關(guān)內(nèi)容的興趣。

關(guān)鍵詞：微分方程;教學(xué)設(shè)計(jì);線性化思想;應(yīng)用

一. 引言

求解微分方程（解析和數(shù)值解）的問題是微分方程研究的基本問題之一。目前，國內(nèi)大學(xué)常用的教科書介紹了常微分方程的所有基本解，例如經(jīng)典的分離變量法和積分元法。線性微分方程的解比非線性微分方程的解更加成熟，并且教科書中對線性微分方程的解的介紹相對全面，尤其是對于一階線性微分方程的解。在課程中，學(xué)生可以學(xué)習(xí)求解許多簡單類型微分方程，雖然得到了正確答案，但是事實(shí)證明他們?nèi)匀粚Ψ匠瘫旧硪约八鼈冎g的轉(zhuǎn)換關(guān)系缺乏了解。例如，可以通過變量變換將伯努利方程式變換為線性導(dǎo)數(shù)。學(xué)生雖然表面上看好像掌握簡單的微分方程的解，但實(shí)際上，他們對這個問題缺乏深入的了解。本文主要介紹線性化思維在整個微分方程研究中的應(yīng)用，并通過具體示例，展示微分方程教學(xué)設(shè)計(jì)之線性化思想的應(yīng)用

二. 教學(xué)設(shè)計(jì)分析

（一）融合背景，內(nèi)容精煉.

微分方程課程的教育目的是連接過去和未來，與現(xiàn)實(shí)融合并面對邊界。這是一門學(xué)習(xí)微積分、線性代數(shù)、復(fù)數(shù)函數(shù)的課程，是后續(xù)功能分析、計(jì)算方法和其他專業(yè)課程的基礎(chǔ)。一方面，課程的內(nèi)容緊跟工程實(shí)踐，使學(xué)生能夠理解生活中的數(shù)學(xué);另一方面，課程的內(nèi)容面向?qū)W科的邊界，面向數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)。科學(xué)研究，面向新時代，培養(yǎng)理性分析和解決問題的能力。創(chuàng)新能力。受時間限制，課程內(nèi)容應(yīng)突出相關(guān)的物理背景，適當(dāng)結(jié)合實(shí)際的工程背景，并確保課程內(nèi)容得到改善。例如，數(shù)學(xué)物理方程中包含的三個偏微分方程的推導(dǎo)是本課程中的第一個難度級別。在講述時，必須首先清楚地解釋所討論的物理現(xiàn)象，指出限制該現(xiàn)象的相關(guān)物理定律，并分析物理定律。物理量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式關(guān)系，最后是適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理和相應(yīng)方程的推導(dǎo)。在建立模型的過程中，不斷融合實(shí)際問題的物理背景，用數(shù)學(xué)語言描述和表達(dá)這些物理現(xiàn)象和實(shí)際問題.不同典型方程分別對應(yīng)不同的物理背景，三類方程中的系數(shù)和非齊次項(xiàng)也包含了不同的物理含義.講解時著重講清實(shí)際背景，要從數(shù)學(xué)建模開始，也要貫穿基本概念的建立和主要結(jié)果的剖析.如此講解與分析可以使數(shù)學(xué)概念和結(jié)果更加直觀，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺與想象力、對工程技術(shù)問題的理解力.

（二）剖析思想，深入淺出.

微分方程本身包含大量數(shù)學(xué)思想，例如數(shù)學(xué)建模思想，簡化復(fù)雜問題的思想，清晰解決方案的良好態(tài)度思想，級數(shù)和積分的收斂與發(fā)散思想，形式解和數(shù)值解。教師應(yīng)使用數(shù)學(xué)知識作為交流工具，以誘使學(xué)生挖掘，完善和概括知識背后的數(shù)學(xué)思維，以便他們可以從隱性形式轉(zhuǎn)換為顯式形式，從而可以從數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的模棱兩可的經(jīng)歷中轉(zhuǎn)換。學(xué)生記憶被轉(zhuǎn)化為清晰的理解、精通和靈活的應(yīng)用，最終完成了對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的必要理解。在講授本課程時，教師不僅應(yīng)努力介紹基礎(chǔ)知識，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)課程中包括的數(shù)學(xué)思想，并在培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力的同時，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和獲得知識。簡化復(fù)雜問題的想法應(yīng)在差異化過程中得到充分體現(xiàn)。高度綜合的復(fù)雜問題通常分解為多個簡單問題，并解決了簡單問題，以完成對復(fù)雜問題的分析和解決。例如，它解釋了根據(jù)物理定律建立清晰的微分方程解的方法，忽略了瑣碎的因素，并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

三.實(shí)例分析

（一）微分線性化

考慮二階非線性方程

（1）

其中：? 表示函數(shù)? ?（ ） 關(guān)于自變量 x 的導(dǎo)數(shù).對方程（1）進(jìn)行微分，可得

（2）

通過微分，將微分方程（1）的解轉(zhuǎn)換為方程y0和線性微分方程 的解。 顯然，求解微分方程 比直接求解方程（1）容易得多。

（二）偏微分方程線性化

與普通微分方程相比，精確求解偏微分方程更加困難。然而，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家提出了一套精確求解偏微分方程的方法，例如分離變量的方法和反向散射的方法。本文介紹了孤子理論中著名的KdV方程，并利用行波約化的方法給出?方程的單孤立子解以及兩孤子解。的確，在這一部分中，學(xué)生可以繼續(xù)通過偏微分方程的線性化探索線性化的概念，以增強(qiáng)學(xué)生對微分方程線性化的理解。

KdV 方程的表達(dá)式為：

（3）

引入變換

（4）

得到

（5）

方程（5）仍然是一個非線性方程，看起來比方程（3）本身更復(fù)雜，但是由于方程中的每個項(xiàng)都是由函數(shù)f及其導(dǎo)數(shù)的乘積組成的二次函數(shù)，因此該方程可以視為 （5）雙線性方程。日本學(xué)者（Ryogo Hirota）引入了以他命名的Hirota雙線性算子，以便以更簡潔的形式編寫雙線性方程。最后可以算得兩個孤子解，即

（6）

四.結(jié)論

綜上所述可以分析得到，可以通過分析常微分方程過程的教學(xué)狀況和學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，建立課程的教學(xué)設(shè)計(jì)策略以及分析教學(xué)困難來獲得這一目標(biāo)。以解決方案的存在性和新穎性為例，探索“整合背景、分析思想、延伸課堂、應(yīng)用分析”的設(shè)計(jì)理念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題和創(chuàng)新科學(xué)研究的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] Nail H I.微分方程與數(shù)學(xué)物理問題[M].陸琦，楊凱，胡享平，譯.北京：高等教育出版社， 2013

[2] 劉玉堂，辛祥鵬.二次 Riccati 方程研究綜述[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2017，30（3）：21-27

李愛玲

（河北北方學(xué)院