分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用與教學(xué)

楊振中

摘要：分類思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛。它是利用題目所給的參數(shù)進(jìn)行分類，把復(fù)雜的問題分為若干個(gè)比較容易的問題來解決。在分類思想的教學(xué)方面應(yīng)該盡量體現(xiàn)分類思想的應(yīng)用，讓學(xué)生在運(yùn)用分類思想的實(shí)踐中加深對(duì)分類思想的理解，提高學(xué)生的解題能力和思維能力。

關(guān)鍵詞：分類；解題；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）07-0162

分類思想是用在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中一種常用而且很重要的思想，它在其他學(xué)科也占有很重要的地位。其中在中學(xué)物理學(xué)和化學(xué)等其他自然學(xué)科中的應(yīng)用也非常頻繁。

一、分類思想的定義和它在數(shù)學(xué)方面的表達(dá)形式

分類就是按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對(duì)象歸于一類，不同性質(zhì)的對(duì)象歸于不同類別的思維方法，它是一種邏輯方法，同時(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想。分類的思想就是當(dāng)我們面臨的數(shù)學(xué)問題不能以統(tǒng)一形式解決時(shí)，可以把已知條件的范圍劃分若干個(gè)子集，在各個(gè)子集內(nèi)分別討論問題的解。然后通過綜合各種解而得到原問題的解答。用數(shù)學(xué)式子來表達(dá)時(shí)我們可設(shè)符合這一問題所有的元素組成一個(gè)集合P，依據(jù)元素某些性質(zhì)可將集合P無遺漏、無重復(fù)地分成若干個(gè)真子集P1、P2、…、Pn，（即滿足：1. P=P1∪P2∪…∪Pn。2. Pi∩Pj=？，i，j∈{1，2，…，n}則稱P1、P2、…、Pn是集合P的分類。）如有必要還可以對(duì)Pi再進(jìn)行分類，構(gòu)成二級(jí)分類，依次類推。

二、分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，分類思想運(yùn)用是相當(dāng)廣泛的。在筆者多年的教學(xué)中，筆者感受到幾乎是每一章節(jié)的內(nèi)容都有運(yùn)用到分類思想。這不僅體現(xiàn)在日常教學(xué)中，而且體現(xiàn)在解決問題的過程中。如果在解題的過程中，你對(duì)某一適用于分類思想的題目采用了分類討論的方法后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它比原來的方法快捷了許多。下面，我們結(jié)合求解曲線方程、三角函數(shù)、不等式、排列組合的例子來研究分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用問題。

1.分類思想在確定曲線方程中的應(yīng)用

此類問題是根據(jù)曲線的參數(shù)分類，且由曲線的定義來確定曲線的方程。在做的過程中前提是要熟知各類曲線的方程表達(dá)式，然后結(jié)合所給的參數(shù)分為若干個(gè)區(qū)間來討論。其中在劃分參數(shù)區(qū)間的過程中找到臨界值是非常關(guān)鍵的。如：

例1.討論方程（m-3）x2+（5-m）y2=1所表示的曲線。

分析：因?yàn)閙-3，5-m的正、負(fù)是決定曲線為雙曲線或橢圓（含圓）的根據(jù)，所以使m-3=0，5-m=0的值成為劃分的標(biāo)準(zhǔn)；又因?yàn)閙-3，5-m的相對(duì)大小又決定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上，所以使m-3=5-m的值也是劃分的標(biāo)準(zhǔn)，這樣抓住m=3，4，5這三個(gè)數(shù)量臨界就可以進(jìn)行討論。

4.分類思想在排列組合中的應(yīng)用

由排列和組合這章節(jié)的加法原理的定義，我們就可以知道排列和組合本身就是一個(gè)分類思想的產(chǎn)物。在課本上的一些解決問題的方法，筆者認(rèn)為也是由分類思想得到的。在經(jīng)過幾年的中學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生在不斷的學(xué)習(xí)中慢慢地掌握了分類思想，到了排列和組合這章節(jié)的時(shí)候就是要運(yùn)用這一思想的時(shí)候。并且在這一章的時(shí)候也是他們?cè)谶@一方面得到充分鍛煉的時(shí)候。

例.某車間有10名工人，其中4人僅會(huì)車工，3人僅會(huì)鉗工，另外三人車工鉗工都會(huì)，現(xiàn)需選出6人完成一項(xiàng)工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？

分析：如果先考慮鉗工，因有6人會(huì)鉗工，故有C63種選法，但此時(shí)不清楚選出的鉗工中有幾個(gè)是車工鉗工都會(huì)的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會(huì)車工，因此在選車工時(shí)，就無法確定是從7人中選，還是從6人、5人或4人中選。同樣，如果先考慮車工也會(huì)遇到同樣的問題。因此需對(duì)全能工人進(jìn)行分類。

（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含有2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。

5.錯(cuò)用分類的情況

分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題邏輯思維方法，使用分類思想解決問題要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，常見的“個(gè)別”情形略舉以下幾例。

（1）“方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“Δ=b2-4ac≥0”時(shí)忽略了個(gè)別情形：

三、在教學(xué)中使學(xué)生循序漸進(jìn)理解和運(yùn)用分類思想

學(xué)生對(duì)分類思想的理解和應(yīng)用應(yīng)循序漸進(jìn)，由淺入深，不能也不可能一步到位。在學(xué)生了解了分類的定義后，筆者在基礎(chǔ)知識(shí)的講授和解題指導(dǎo)中充分利用教學(xué)內(nèi)容，盡量體現(xiàn)分類思想的應(yīng)用，讓學(xué)生運(yùn)用分類思想的實(shí)踐中加深對(duì)分類思想的理解。例如，在函數(shù)最值的教學(xué)中，筆者對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（c≠0）最值的討論，作了這樣的安排。

第一階段，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a>0和a<0的兩種情況討論最大和最小值。

第二階段，在a>0（或a<0）的前提下，在某個(gè)閉區(qū)間[]α，β內(nèi)分包括端點(diǎn)與不包括端點(diǎn)兩種情況來討論。

例.已知函數(shù)y=x2-2x，根據(jù)以下不同條件求函數(shù)的最大值和最小值，

第三階段，進(jìn)一步變換為在某個(gè)不定區(qū)間上的最值討論；或者變換為某個(gè)不定函數(shù)在指定區(qū)間上的最值討論。

例.求函數(shù)y=x2-2ax，x∈R在[] 0，2的最大值和最小值

這樣的安排使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的最值問題有了較清楚的理解，解決這樣的問題的時(shí)候就能夠得心應(yīng)手了。

通過對(duì)學(xué)生的經(jīng)常性訓(xùn)練，學(xué)生就能習(xí)慣于用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式處理問題，并逐步熟練利用這種方法解決相關(guān)的問題。

（作者單位：廣西北海市鐵山港區(qū)南康中學(xué)536017）