如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

文_沈本存

俗話說：“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕?！睌?shù)學(xué)作為“數(shù)理化”之首，更是占據(jù)著重要地位。眾所周知，在學(xué)習(xí)文科屬性強(qiáng)的學(xué)科時，常常需要學(xué)生整理知識結(jié)構(gòu)圖來加強(qiáng)理解，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門理科屬性強(qiáng)的學(xué)科時，是否有這個必要呢？答案是“有”。素質(zhì)教育背景下，不論是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、反思過程，還是進(jìn)行各類訓(xùn)練，都是從一類數(shù)學(xué)概念出發(fā)，解決某一方面的數(shù)學(xué)問題。

以正反例子為引子，配合變式練習(xí)和自主命題

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并不適用于任何數(shù)學(xué)概念教學(xué)，一些數(shù)學(xué)概念很難構(gòu)建出形象的數(shù)學(xué)模型，這時便需要另辟蹊徑。列舉正反例子是一種適用范圍廣泛的數(shù)學(xué)理解方法，可通過判斷“是”與“不是”來加深學(xué)生對于概念的理解。這一方法需要循序漸進(jìn)，不可以急于求成，教師使用這一方法時，要做到戒驕戒躁，一點(diǎn)一點(diǎn)、一步一步地將學(xué)生代入。這是一個漫長的過程，需要配合不斷的反思。

以難度較大的函數(shù)為例，很多學(xué)生面對一次函數(shù)都束手無策，抱有恐懼心理。教師在講解完一次函數(shù)概念以后，可以進(jìn)行正反例子訓(xùn)練，列舉一些函數(shù)給學(xué)生，比如“y=3x+2、y=(x+1)(x+2)”，讓他們判斷所例舉內(nèi)容是否為一次函數(shù)。通過這一過程，學(xué)生可以加深對一次函數(shù)特點(diǎn)的了解。為了使效果更加明顯，可以讓學(xué)生進(jìn)行分組練習(xí)，和自己的搭檔互相出題、互相判斷，這個方法不失為檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果的一個好方法。另外，解一次函數(shù)和方程組一類問題不僅需要技巧，還需要熟練度。解方程組時可以巧用“消元法”，教師可以針對這一方法設(shè)置相關(guān)習(xí)題，進(jìn)行多次變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生熟練使用解題技巧，提升解題準(zhǔn)確率，在解題的過程中加深學(xué)生對概念的理解。與此同時，解題也是一種對概念的靈活運(yùn)用。學(xué)生掌握足夠的做題技巧和提高做題準(zhǔn)確率以后，可以大幅度提高面對一次函數(shù)的自信心，體會到數(shù)學(xué)帶給自己的樂趣，實(shí)現(xiàn)快樂學(xué)數(shù)學(xué)。變式訓(xùn)練和列舉正反例子的數(shù)學(xué)理解方法在其他章節(jié)也可以投入使用，數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合自身的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計，使得方法與教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系，從而達(dá)到輔助概念理解教學(xué)的效果。

以數(shù)學(xué)關(guān)系為紐帶，縱向、橫向全面研究概念聯(lián)系

世界是一個統(tǒng)一聯(lián)系的整體，數(shù)學(xué)亦是如此，很多數(shù)學(xué)概念之間都存在某種聯(lián)系，可以通過一些方式實(shí)現(xiàn)它們之間的轉(zhuǎn)化?？蓮目v向和橫向思維兩個角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，學(xué)生往往不注重聯(lián)想，需要教師的正確引導(dǎo)。開發(fā)學(xué)生的橫向、縱向分析思維，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門科目十分必要，利于學(xué)生掌握各個數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，從而將數(shù)學(xué)概念進(jìn)行內(nèi)化處理，形成自身的知識結(jié)構(gòu)，在大腦中構(gòu)建出數(shù)學(xué)知識庫，方便概念查找?？v向思維可用于分析一些類似概念，構(gòu)建各個數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系記憶；而橫向思維則適用于探討不同體系之間的聯(lián)系，于不同中找相似，兩者缺一不可，共同構(gòu)成全面的數(shù)學(xué)思維。

例如，在初中數(shù)學(xué)之中，縱向思維可以運(yùn)用于學(xué)習(xí)三角形及多邊形概念知識。三角形的特點(diǎn)是三條邊和三個角，它的內(nèi)角和是180 度，那么四邊形、五邊形，甚至是十六邊形是否與三角形具有相似的特點(diǎn)？這時是利用縱向思維的最佳時機(jī)，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形和多邊形的聯(lián)系，形成牢固的記憶。橫向思維可以運(yùn)用于函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的學(xué)習(xí)之中，它們看似沒有必然的聯(lián)系，但實(shí)際通過對比和研究可以發(fā)現(xiàn)，可對它們進(jìn)行轉(zhuǎn)換以便于解題。比如對于“直線y＝kx＋2 經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，試求k的值”這題，可以將題意理解為“坐標(biāo)點(diǎn)(3，4)在直線y＝kx＋2這一條直線上”。這樣一來，便實(shí)現(xiàn)了一次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，對于探索函數(shù)與方程的聯(lián)系具有重要意義，同時可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)、函數(shù)與不等式之間的轉(zhuǎn)化。

以整合概念為目的，進(jìn)行概念分析，形成完整體系

學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念會有個人的理解和定義，對概念有明確的實(shí)際定義，可以使解決現(xiàn)實(shí)問題更加容易。通過開發(fā)縱向與橫向思維，學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系會更加了解，同時對概念進(jìn)行整理，制作知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖，就可以形成一個自身的數(shù)學(xué)體系，形成對數(shù)學(xué)概念的整體認(rèn)知。制作知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖是整合知識概念的有效方式，學(xué)生在制作之初可能束手無策，因此教師需要先進(jìn)行示范，即先從節(jié)出發(fā)，逐步擴(kuò)展到章、冊，再到整個初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，慢慢拓展知識結(jié)構(gòu)的范圍。進(jìn)行知識點(diǎn)串聯(lián)組合是一個漫長的過程，需要由點(diǎn)到面地深入教學(xué)和學(xué)習(xí)。但是一旦知識網(wǎng)絡(luò)體系形成，將是一個長期存在的事物，在輔助學(xué)生汲取數(shù)學(xué)概念知識方面具有極大的作用。深入概念學(xué)習(xí)，能為學(xué)生以后解決相關(guān)問題奠定理論基礎(chǔ)。

具體在進(jìn)行知識點(diǎn)構(gòu)圖的過程中，可以借助一定的工具。比如，在制作《有理數(shù)》章節(jié)知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖時，數(shù)學(xué)教師在課堂中給學(xué)生提供一個模板，學(xué)生也可以在網(wǎng)絡(luò)上參考他人的知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行構(gòu)思，將“正負(fù)數(shù)”“有理數(shù)和無理數(shù)”“數(shù)軸”等瑣碎知識點(diǎn)串聯(lián)起來，共同構(gòu)成一個完整的章節(jié)概念體系。以后可以在同學(xué)間分享，學(xué)習(xí)他人的優(yōu)點(diǎn)，取長補(bǔ)短，并不斷對自己的知識結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行完善，進(jìn)行每個章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)整理，是對知識的全面總結(jié)，以便學(xué)生在日后進(jìn)行復(fù)習(xí)時可以更加清晰和方便。