小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)制定的四個構(gòu)成

邵佳雯

摘 要：代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)，即從具體問題出發(fā)，從特例入手，嘗試性地進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，摸索規(guī)律法則，得出猜想，并嘗試加以驗(yàn)證，歸納出一般原理。代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)重在“觀察、猜想、驗(yàn)證、概括”四個步驟，只有這四個步驟落實(shí)到位，學(xué)生的代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)才能掌握。圍繞代數(shù)歸納的四個步驟，從觀察發(fā)現(xiàn)，大膽猜想，全面驗(yàn)證，精煉概括四個構(gòu)成，確定代數(shù)歸納活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)制定的相關(guān)原則。

關(guān)鍵詞：代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn);經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo);目標(biāo)制定

代數(shù)歸納是從特殊到一般的活動，由一系列具體事實(shí)概括出一般原理。

代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)，即從具體問題出發(fā)，從特例入手，嘗試性地進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，摸索規(guī)律法則，得出猜想，并嘗試加以驗(yàn)證，歸納出一般原理，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。讓學(xué)生經(jīng)歷具體數(shù)字計(jì)算到符號、數(shù)學(xué)語言表達(dá)的過程，即由特殊到一般的過程，由此逐漸積累相應(yīng)的代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)。這種思維方式的活動經(jīng)驗(yàn)，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時有益于學(xué)生終身可持續(xù)發(fā)展。要使我們的數(shù)學(xué)活動更有針對性，更有效地展開，我們必須明確我們數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是什么，該怎么制定。筆者結(jié)合自己的思考，圍繞代數(shù)歸納的觀察、猜想、驗(yàn)證、概括，淺談小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)制定的四個構(gòu)成。

一、注重“觀察”經(jīng)驗(yàn)積累，找準(zhǔn)共性與本質(zhì)

觀察是一種“思維的直覺”，學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力是學(xué)生順利完成數(shù)學(xué)活動不可或缺的。它是獲得知識、提高能力的敲門磚，為學(xué)習(xí)發(fā)展奠基。啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)他們從不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中觀察出事物的共性和本質(zhì)，或者從司空見慣的事物中看出不同，是經(jīng)歷代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)活動的第一步。

有學(xué)者認(rèn)為：“兒童有一種注意某些線索而無視另一些線索的強(qiáng)烈傾向，這種傾向常常受外界制約而左右著自己的行動?！币蚨趯W(xué)生的數(shù)學(xué)觀察活動中，要明確觀察的方向。

低年級的學(xué)生缺乏獨(dú)立觀察的能力，在觀察活動中，東瞧西看，無序觀察，導(dǎo)致分不清主次，把重要特征遺漏。因此要引導(dǎo)學(xué)生有目的地觀察。如人教版一年級上冊“9加幾”一課中，探索9加幾計(jì)算得數(shù)的規(guī)律時，9+1=10，9+2=11，9+3=12，9+4=13，9+5=14，9+6=15，9+7=16，9+8=17，9+9=18，若直接讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)了什么？他們的回答一般是“都是9加幾”“第二個加數(shù)越來越大，和也越來越大”。他們回答的觀察結(jié)果是正確的，但卻不是我們要的關(guān)鍵點(diǎn)。這時要明確地引導(dǎo)學(xué)生觀察“第二個加數(shù)”與“和的個位”，思考它們之間有什么關(guān)系，對應(yīng)代數(shù)歸納觀察的經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)側(cè)重于：教師引導(dǎo)觀察9加幾的加法算式中，第二個加數(shù)與和的個位，思考二者之間的關(guān)系。

小學(xué)生常常觀察事物太表面化且無序，缺乏條理。問題提出后，他隨意一看，就輕易地下結(jié)論，或是感覺無從下手。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要訓(xùn)練學(xué)生有序地觀察。如探索“商隨除數(shù)的變化而變化的規(guī)律”，在學(xué)生匯報(bào)結(jié)果之后，指引學(xué)生從上往下觀察算式，被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了什么變化？商呢？再從下往上觀察，你們又發(fā)現(xiàn)了什么？有條理地進(jìn)行觀察，思維變得有序有向，進(jìn)而再要求他們能做到“異中求同”，通過觀察，找到其中的共性與規(guī)律。同時也要求能“同中求異”，尋找到共性后，根據(jù)不同處，發(fā)現(xiàn)每一處的特性，探尋到背后的本質(zhì)。掌握了事物的共性與本質(zhì)，觀察也就更加全面而有深度。相應(yīng)代數(shù)歸納觀察的經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是：學(xué)生通過有序觀察，從變與不變中發(fā)現(xiàn)被除數(shù)、除數(shù)與商的變化特點(diǎn)。

二、注重“猜想”經(jīng)驗(yàn)積累，嘗試類比與突破

數(shù)學(xué)猜想可以促進(jìn)學(xué)生多角度思維，加快大腦中表象形成，易抓住事物的本質(zhì)特征，從而得出結(jié)論。猜想發(fā)散學(xué)生的思維，給予學(xué)生數(shù)學(xué)新知的發(fā)現(xiàn)機(jī)會，促使學(xué)生產(chǎn)生探究知識的欲望，提高觀察、分析問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造力。猜想總與觀察聯(lián)系在一起。即便是偉大的科學(xué)家，也常常是從“猜想”開始。有時，猜想經(jīng)驗(yàn)證，完成得很順利，但常常需要再“檢驗(yàn)猜想”，然后“修正猜想”，以此反復(fù)，直至得到一個更滿意的猜想。

人教版五年級下冊“2和5的倍數(shù)特征”這課，2、5的倍數(shù)的特征都跟倍數(shù)的個位有關(guān)，且學(xué)生低年級時對“2的倍數(shù)都是雙數(shù)”已有感知，只要引導(dǎo)觀察，給出實(shí)例，即可得出猜想。猜想并驗(yàn)證2的倍數(shù)特征后，就可將猜想方式類比遷移到5的倍數(shù)特征中。代數(shù)歸納的猜想經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)側(cè)重于：學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，尋找一般屬性，猜想2的倍數(shù)特征，再類比遷移猜想5的倍數(shù)特征。

而“3的倍數(shù)特征”的猜想經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)側(cè)重于：經(jīng)歷猜想，檢驗(yàn)猜想，修正猜想的過程，直至得到更滿意的猜想，積累猜想經(jīng)驗(yàn)。2、5的倍數(shù)的特征都明顯跟倍數(shù)的個位有關(guān)。但3的倍數(shù)特征不是，無法遷移猜想。不少學(xué)生一開始由于有2和5倍數(shù)特征的猜想經(jīng)驗(yàn)，易遷移猜想“個位上是3、6、9的數(shù)，都是3的倍數(shù)”，然而計(jì)算驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)并不是。此時需要換個角度思考，反思問題，修正猜想，大膽突破。教師引導(dǎo)學(xué)生通過活動操作，將猜想的方向轉(zhuǎn)移到“一個數(shù)各個位上的數(shù)之和”，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中經(jīng)歷“猜想，推翻猜想，再觀察，再猜想”的過程，學(xué)生能大膽猜想，有方向地猜想，這節(jié)課重在學(xué)生能對自己的猜想進(jìn)行檢驗(yàn)，避免盲目猜想，能修正猜想，得出合理猜想。

三、注重“驗(yàn)證”經(jīng)驗(yàn)積累，結(jié)合枚舉與分析

數(shù)學(xué)驗(yàn)證并非結(jié)果的簡單檢驗(yàn)，而是以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維為依據(jù)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行檢驗(yàn)與證明?！懊杜e歸納”和“科學(xué)歸納推理”是小學(xué)階段重要的驗(yàn)證方法。枚舉歸納，簡而言之就是用大量的例子來證實(shí)猜想。但若枚舉時只注重“量”而忽略了“質(zhì)”，只注重了廣泛的“發(fā)散”而忽略了典型的“提煉”，那么學(xué)生的思維水平就永遠(yuǎn)無法提升。教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)和點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生全面舉例，盡可能涉及更廣的范圍，舉出更為特殊的例子?！翱茖W(xué)歸納推理”是小學(xué)生特別是中、高年級學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)理解、從具體思維逐步過渡到抽象思維的重要的推理形式?？茖W(xué)歸納推理以科學(xué)分析為主要依據(jù)，要求學(xué)習(xí)者對每一例證都要理解對象與其屬性間的必然聯(lián)系，這就促使學(xué)生要調(diào)動認(rèn)知結(jié)構(gòu)中較穩(wěn)固的原有觀念來同化這些肯定例證。

低年級學(xué)生更多采用枚舉歸納。學(xué)生全面舉例，盡可能涉及更廣的范圍，舉出更為特殊的例子。根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)情況，舉例可以從一位數(shù)到兩位數(shù)、三位數(shù)等。從整數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)。教師有意識地引領(lǐng)，將學(xué)生的視角引向各個地方，所舉的例子思維含量越來越高。舉的例子既要全面，又要特殊。如0，常常會是特殊的那個數(shù)，舉例時不能漏。因我們無法窮盡所有符合“加法交換律”的等式，所以在收集了大量的正例之后，還要讓學(xué)生嘗試去尋找不符合此規(guī)律的等式。當(dāng)學(xué)生找不到反例后，才能驗(yàn)證猜想。因而學(xué)生運(yùn)用枚舉歸納法驗(yàn)證時，制定經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平，學(xué)生能全面枚舉，有特例，想反例。

隨著學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平逐漸提升，將枚舉與分析有效結(jié)合，學(xué)生對定律、規(guī)律的理解會更加深刻。如“加法交換律”一課，先讓學(xué)生大量枚舉，可以是一位數(shù)，還可以是兩位數(shù)或三位數(shù)等。不僅是整數(shù)，還可以是小數(shù)、分?jǐn)?shù)。再給學(xué)生提供交換加數(shù)和不變的生活情境，“從學(xué)校到圖書館是400米，圖書館到明明家是560米，明明家到學(xué)校的距離是多少？”讓學(xué)生根據(jù)列出的算式思考明明從家到學(xué)校應(yīng)該怎么走，學(xué)生列出加法算式，再推斷出：變的是行走的方向，不變的是路程的總和。這樣的分析過程，意在豐富學(xué)生對加法交換律在現(xiàn)實(shí)生活中意義的理解。驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)著重于學(xué)生經(jīng)歷全面枚舉與實(shí)例的分析推理，驗(yàn)證交換兩個加數(shù)，和不變。

四、注重“概括”經(jīng)驗(yàn)積累，重視嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范

小學(xué)數(shù)學(xué)概括能力是指將多種或眾多的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行相應(yīng)的概括，進(jìn)而探求出能夠反應(yīng)數(shù)學(xué)知識本身的特點(diǎn)、發(fā)展規(guī)律以及內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)學(xué)細(xì)微能力。

數(shù)學(xué)知識內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛。只有把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)聯(lián)系起來，才能以不變應(yīng)萬變。概括有助于學(xué)生更好地掌握知識。教師不能僅僅滿足于學(xué)生表面上對所學(xué)內(nèi)容的理解，還應(yīng)該重視組織學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提升，通過結(jié)論的概括來幫助學(xué)生更加到位地理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。同時概括能力也需要積累。數(shù)學(xué)作為一種語言而存在時，它就是數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)的橋梁。

學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)、簡潔地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果，這不僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，還能使學(xué)生思維更加有條理性和邏輯性。低年級學(xué)生以數(shù)學(xué)語言表達(dá)為主，代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)側(cè)重于：學(xué)生自主概括，合作探討，交流概括，教師引導(dǎo)語言精煉。概括時可能遇到有特例的情況，如“商的變化規(guī)律”的概括可以遷移運(yùn)用“積的變化規(guī)律”的概括經(jīng)驗(yàn)。但由于0是不能做除數(shù)的，在概括時，教師點(diǎn)撥強(qiáng)調(diào)0除外。教師要引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范數(shù)學(xué)語言，完整表述，強(qiáng)調(diào)特例。這課的概括目標(biāo)是：學(xué)生遷移概括，教師點(diǎn)撥特例，規(guī)范數(shù)學(xué)語言。

中高年級的學(xué)生漸漸有符號化思想，此時代數(shù)概括除了用數(shù)學(xué)語言描述，還能用簡潔的符號語言表示。如“加法交換律”，在學(xué)生用數(shù)學(xué)語言概括加法交換律后，教師繼續(xù)引導(dǎo)：“能不能用更簡潔的數(shù)學(xué)方式來表示這句話？”學(xué)生會嘗試用圖形、符號、字母等。經(jīng)歷這個過程，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中學(xué)會符號表達(dá)，體會到數(shù)學(xué)符號語言的簡潔性。思考圖形或字母可以表示的數(shù)，學(xué)生能進(jìn)一步體會符號表征的概括性，也滲透了代數(shù)思想。制定概括目標(biāo)：學(xué)生能用語言描述加法交換律的條件與結(jié)論，會用含有字母的式子表示加法交換律。

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)來源于活動，又運(yùn)用于活動，需要長期不斷的積累。因此，教師要有效地制定代數(shù)歸納活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，要關(guān)注代數(shù)歸納活動的觀察發(fā)現(xiàn)，找準(zhǔn)共性與特性;要讓學(xué)生大膽猜想，嘗試類比與突破;要讓學(xué)生結(jié)合枚舉與分析，全面驗(yàn)證;要讓學(xué)生精煉概括，注重嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范。這樣，便能引領(lǐng)學(xué)生有效地開展代數(shù)歸納活動。

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