數(shù)學實驗：豐富小學生探索規(guī)律的向度

【摘 要】讓每一位學生在數(shù)學實驗中探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，驗證數(shù)學猜想、解決數(shù)學問題，是一個值得研究的教學問題。蘇教版六上《表面涂色的正方體》一課，是在學生認識了長方體和正方體特征、會進行體積計算后安排的一次“探索規(guī)律”活動課，主要教學思路是引導學生在觀察、想象、實驗中發(fā)現(xiàn)不同類型涂色正方體個數(shù)的規(guī)律，培養(yǎng)學生初步的抽象、推理能力和空間觀念，促進學生理解數(shù)學規(guī)律與圖形特征的內(nèi)在關聯(lián)，發(fā)展空間觀念，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

【關鍵詞】數(shù)學實驗;表面涂色的正方體;探索規(guī)律;空間觀念

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）17-0063-05

【作者簡介】蔣敏杰，江蘇省常州市教育科學研究院（江蘇常州，213016）小學數(shù)學教研員，高級教師，常州市教育領軍人才，江蘇省首屆青年教師教學基本功（小學數(shù)學）大賽一等獎獲得者，江蘇省優(yōu)秀教育工作者，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。

【背景】

在數(shù)學教學中開展數(shù)學實驗，是指引導學生借助一定的物化工具，在實驗目的的引領下進行規(guī)范的實驗操作，并通過數(shù)學化分析理解數(shù)學概念、探索數(shù)學規(guī)律、驗證數(shù)學猜想、解決數(shù)學問題的一種數(shù)學學習方式。數(shù)學實驗活動有助于激活學生的學習興趣，促進學生數(shù)學地思考、理解并解決問題。

蘇教版六上《表面涂色的正方體》一課，是學生認識了長方體和正方體的基本特征，會進行體積計算后安排的一次“探索規(guī)律”活動課，旨在通過引導學生經(jīng)歷探索規(guī)律的活動，使其產(chǎn)生對數(shù)學規(guī)律的興趣，初步形成探索規(guī)律的意識。筆者發(fā)現(xiàn)，學生雖經(jīng)歷了探索規(guī)律的過程，但思維仍處于“接受”狀態(tài)，且歸納概括時常常束手無策。筆者分析得知，這主要是因為學生思維的深刻性、廣度不夠，空間想象缺乏支撐，認知不夠靈活，不能通過觀察、想象等進行形式化類推;教師則更多關注學生是否能概括出3面涂色、2面涂色、1面涂色、沒有涂色的小正方體個數(shù)的規(guī)律，而對于如何觀察、想象、說理、建立數(shù)學規(guī)律與圖形特征的內(nèi)在關聯(lián)等缺少引領性指導。本文以《表面涂色的正方體》一課的教學為例，以數(shù)學實驗引導學生觀察、想象、實驗，展開規(guī)律探索，促進學生積累由特殊到一般、由具體到抽象探索簡單數(shù)學規(guī)律的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學思維能力和空間觀念。

【教學過程及分析】

一、提出問題，激活思維

師（出示正方體模型）：這是一個正方體，如果把這個正方體的表面涂上紅色，涂紅色的面一共有幾個？為什么？

師（課件演示）：將這個表面涂色的正方體的每條棱都平均分成10份。像這樣切開，可以切成多少個小正方體？

生：大正方體被切成了1000個一樣大的小正方體。

師：請同學們想象一下，這1000個小正方體，是不是都是6個面被涂上了紅色？

生1：肯定不是，切開后的小正方體，有的是3個面涂紅色，有的是2個面涂紅色，有的是1個面涂紅色。

生2：不可能有6個面涂紅的，因為切開后，里面是沒有涂紅色的。

師：那會不會出現(xiàn)4個面、5個面涂紅色的？

生1：也不會有。我覺得最多只有3個面涂成紅色。只能在頂點這個地方，其他地方是2個面、1個面涂紅色。

生2：還可以有一些小正方體沒有涂紅色。因為它在大正方體里面。

師：將一個大正方體像這樣把每條棱平均分成10份，切成1000個同樣大的小正方體，這些小正方體的表面可能有3面涂色、2面涂色、1面涂色，也可能沒有涂色。

師：每一種類型的小正方體各有多少個呢？它們的個數(shù)與什么有關呢？這里面還藏著好多有意義的數(shù)學問題呢？今天，我們就一起來研究像這樣的“表面涂色的正方體”。（揭示課題）

上述教學中，教師首先激發(fā)學生探索的需求;其次啟發(fā)學生初步借助直觀想象和推理等方式，明確了要觀察和思考的對象，認識到涂色小正方體有不同類型;最后借助復雜問題解決，再次激發(fā)學生探索規(guī)律的心理需求。這樣組織教學，不僅使學生明確了研究的問題與思考的方向，也鍛煉了他們初步的空間想象能力，為后續(xù)實驗的設計與實施提供了支持。

二、實驗探索，初識規(guī)律

師：在數(shù)學中，為了便于研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般從簡單的情況開始研究。我們先來研究可見的三類涂色正方體，沒有涂色的稍后研究。

師（提供棱長為2厘米、3厘米、4厘米的正方體各1個，把它們切成棱長為1厘米的小正方體）：仔細觀察，它們的每條棱分別被平均分成了多少份？并想一想，切開后各有多少個小正方體，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別在這些大正方體的哪個位置，有多少個？四人小組議一議。

生1：這個（棱長為2）切開后有8個小正方體，它們都是3個面涂色。

生2：這個（棱長為3）切開后有27個小正方體，3個面涂色的在頂點的地方;2個面涂色的在棱中間;1個面涂色的在面上，一共有6個。

生3：這個（棱長為4）切開后有4×4×4=64（個）小正方體，3個面涂色的有8個，在頂點的地方;2個面涂色的在棱中間，一條棱上有2個，一共有24個;1個面涂色的在面上，一個面上有4個，一共有24個。

師：各類涂色小正方體的個數(shù)與什么有關？在什么位置？又有什么規(guī)律呢？這就需要我們做實驗，通過數(shù)據(jù)來說明與發(fā)現(xiàn)。

師：你打算怎樣做這個實驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？

生：把正方體沿著均分線切開，分別數(shù)一數(shù)各類小正方體的個數(shù)，看一看它們的位置在哪里、有什么特點。

呈現(xiàn)實驗探究單（如圖1）。

生自主開展實驗，小組內(nèi)交流獲得初步結論。

師：通過剛才的實驗，同學們獲得了數(shù)據(jù)，完成了表格，誰能告訴老師，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？請同學們來交流。

第一層次：發(fā)現(xiàn)3面涂色的規(guī)律

生：我們發(fā)現(xiàn)，無論每條棱均分的份數(shù)怎樣變，3面涂色的小正方體都是8個。

師：你能結合圖形特征說說理由嗎？

生：3面涂色的小正方體都處于大正方體的頂點位置，3條棱相交于頂點，這樣就有3個面相鄰，正方體有8個頂點，所以無論怎樣切，3個面涂色的都只有8個。

師：是的，頂點連接3條棱，與3個面有關，這就是3面涂色的小正方體只有8個的原因。

第二層次：發(fā)現(xiàn)2面涂色的規(guī)律

生（上臺指）：2面涂色的小正方體分別是0個、12個、24個。因為棱2等分時，都是3面涂色的，所以2面涂色的沒有。棱3等分時，每條棱上有1個，這樣12條棱上就有12個。4等分時，每條棱上有2個，這樣12條棱上就有24個。

師：這樣看來，等分得越多，2面涂色的小正方體就越多。那么，為什么棱3等分后，每條棱上只有1個2面涂色的小正方體呢？

生：我們來看，棱3等分后，每條棱上頭和尾的小正方體都在頂點上，是3個面涂色的，去掉這2個，剩下的就是2面涂色的，這樣就只有中間的1個小正方體是2個面涂色的。

師（課件直觀呈現(xiàn)）：大正方體的棱幾等分，每條棱上就有幾個小正方體;兩端的小正方體連接3個面，是3面涂色的;棱上的這些連接2個面，自然切開后是2面涂色的。所以，這個1我們還可以寫成（3-2）。

生：這樣就可以是（3-2）×12=12（個）。

師：棱4等分呢？

生：（4-2）×12=24（個）。

師：也就是說，2面涂色小正方體的個數(shù)是幾的倍數(shù)？（12）

第三層次：發(fā)現(xiàn)1面涂色的規(guī)律

生：1面涂色小正方體的個數(shù)都是6的倍數(shù)。因為每個面上的個數(shù)是一樣多的。

師：結合數(shù)據(jù)與圖形，誰來具體說說？

生：1個面涂色的小正方體在每個面的中間。比如這個（3等分），每個面上有1個，一共有1×6=6（個）;這個（4等分）是每個面上有4個，一共有4×6=24（個）。

師：你的發(fā)現(xiàn)很直觀。還有什么想說的嗎？

生：棱3等分時，面上是1個正方形（學生從平面上理解，實際表示的是正方體），可以寫成1×1，棱4等分時，面上是4個正方形，可以寫成2×2。

師：結合圖形特征，“1×1”“2×2”與原來正方體的棱長有什么關系？

生：可以這樣看，去掉頭和尾，剩下的正好是一個正方形。1就是（3-2），2就是（4-2）。

師：是的。（課件呈現(xiàn)直觀圖）這樣看，就發(fā)現(xiàn)了1個面涂色的規(guī)律。

師：同學們剛才通過做實驗、觀察圖形、記錄數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方體的位置，以及它們的個數(shù)與棱長的關系。請大家結合圖和表，再把我們的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

本環(huán)節(jié)教學，重在引導學生通過數(shù)學實驗的設計、實施與分析，結合獲得的數(shù)據(jù)、圖形的特征、不同類型小正方體的位置特點等，進行基于事實的數(shù)學說理分析。教師并不急于讓學生獲得規(guī)律，而是將更多時間留給學生，引導學生從數(shù)據(jù)變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并與圖形特征進行關聯(lián)，使學生認識到頂點處連接3個面，切開后3面涂色的小正方體只有8個;每條棱連接2個面，2面涂色的小正方體在棱上，數(shù)量是12的倍數(shù);1面涂色的小正方體在面上，數(shù)量是6的倍數(shù)。實驗成為學生探索規(guī)律的重要方式，一方面理解實驗對象，進行實驗設計，另一方面結合空間想象與邏輯推理，對數(shù)據(jù)進行數(shù)學化分析。在分析數(shù)學實驗的過程中，教師主要引導學生在數(shù)與形之間建立關聯(lián)，促進他們展開深度思考，提高探索規(guī)律的能力。

三、應用驗證，抽象表征

1.遷移研究棱5等分的情況。

師（出示棱5等分的正方體）：帶著剛才的發(fā)現(xiàn)，我們一起來研究棱5等分的情況。思考一下，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別在什么位置？有多少個？能用算式表達出來嗎？

生1：3面涂色的在頂點上，有8個。

生2：2面涂色的在棱上，有（5-2）×12=36（個）。

師：請解釋一下這個算式的意思。

生：每條棱上去掉頂點上3面涂色的2個，中間就是2面涂色的小正方體。12表示正方體有12條棱。

師：1個面涂色的呢？誰能完整地表達？

生：1個面涂色的在面上，每個面上有5-2=3（個），3×3=9（個），所以一共有9×6=54（個）。

師：都同意嗎？（課件直接演示）確實如同學們所想所說。同學們現(xiàn)在不僅能依據(jù)圖形特征進行思考，而且能通過推理應用規(guī)律了。

2.歸納概括規(guī)律。

師：現(xiàn)在可以解決一開始的問題了，正方體的棱10等分，請快速思考一下，先想到在哪個位置，再將個數(shù)計算出來。

生：3面涂色8個;2面涂色（10-2）×12=96（個）;1面涂色（10-2）×（10-2）×6=384（個）。

師：如果涂色正方體的每條棱都平均分成n份，切成若干個同樣大小的小正方體，那么，切成的小正方體一共有多少個？其中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體各有多少個？先獨立思考，再在小組內(nèi)交流，之后全班交流。

生1：切成的小正方體有n×n×n=n3（個）。

生2：3面涂色的有8個;2面涂色的有（n-2）×12（個）;1面涂色的有（n-2）×（n-2）×6（個）。

生3：1面涂色的還可以寫成（n-2）2×6（個）。

師：用含有字母的式子可以概括地表達我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（n-2）×12是什么意思？

生：棱被n等分，2面涂色的小正方體在棱上，每條棱上有（n-2）個，一共有12條棱，所以是（n-2）×12個。

師：那（n-2）2×6呢？

…………

師：同學們，我們從簡單問題入手，在數(shù)學實驗中觀察、想象、分析數(shù)據(jù)，并結合圖形的特征發(fā)現(xiàn)了數(shù)學規(guī)律。回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有哪些體會？

實驗獲得的結論需要具有可重復性。在學生通過棱2、3、4等分初步發(fā)現(xiàn)了“表面涂色的正方體”中蘊含的規(guī)律后，引導他們對棱5等分的情況進行實驗數(shù)據(jù)驗證，使規(guī)律更加可靠。用含有字母的式子歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律也是本課的難點。讓學生用字母進行簡單替換不難理解，教師將重心放在引導學生解釋說理上，并通過直觀圖示幫助學生進一步從具體的數(shù)量過渡到抽象的符號，不僅使學生的抽象表達更加自然，也使他們認識到規(guī)律需要從數(shù)據(jù)變化和圖形特征中提煉，促進了其探索規(guī)律能力的形成。

四、深度學習，拓展思維

師：這些小正方體中還有一類——無涂色的小正方體，這些小正方體在大正方體的什么位置？個數(shù)可以怎樣計算？你打算怎樣研究？

…………

師：還是要回歸數(shù)據(jù)，這次的想象更加困難了。（課件演示棱3等分的情況，觀察到只有1個）你有什么想說的？

…………

師：它們都在大正方體的正中間，我們可以通過實驗，把這些沒有涂色的小正方體找出來。先想象再看演示，并將數(shù)據(jù)記錄在表格中。你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)個數(shù)可以是（n-2）3，比如1×1×1=13，2×2×2=23，3×3×3=33。

師：你能試著解釋嗎？

…………

師：今天，我們研究了表面涂色的正方體。同學們?nèi)绻信d趣，還可以像這樣來研究研究表面涂色的長方體，看看它有怎樣的規(guī)律，與正方體有什么相同的地方與不同的地方。

課尾將重心放在沒有涂色的小正方體的個數(shù)上，由于空間想象要求較高，因而教學中通過呈現(xiàn)直觀圖示，幫助學生主動遷移。最后提出研究長方體中涂色情況的話題，豐富研究對象，激發(fā)學生后續(xù)研究的興趣。

綜上所述，開展“探索規(guī)律”活動有助于改進學生的學習方式，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的意識和能力，使學生初步學會從數(shù)學的角度觀察與分析客觀現(xiàn)實，提升數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學實驗引導學生圍繞問題，在觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證等活動中學習，能極大地豐富學生探究的視角與方式。在本課教學中，數(shù)學實驗建立在學生對不同類型小正方體有直觀感知、形成初步認識的基礎上，是對個人思考的驗證與再發(fā)現(xiàn)。課始，在學生觀察、猜測后，教師指出需要做實驗，通過數(shù)據(jù)來說明與發(fā)現(xiàn)。接著以想一想位置、猜一猜個數(shù)、切一切方塊、數(shù)一數(shù)個數(shù)、記一記數(shù)據(jù)的實驗設計，有梯度地引導學生經(jīng)歷基于思考的結論驗證、發(fā)現(xiàn)過程。在觀察、想象、操作、分析等探索的關鍵環(huán)節(jié)，教師有針對性地引導學生展開相應的探索活動，形象、直觀地把握3面、2面、1面涂色小正方體的位置、個數(shù)與圖形特征間的聯(lián)系，把不易理解、無法看見的數(shù)學知識轉變成直觀表象，進而促進學生開展高質量的數(shù)學思考。在實驗過程中，教師注重引導學生基于對圖形的觀察和得到的數(shù)據(jù)進行說理，通過問題驅動引發(fā)學生從現(xiàn)象走向數(shù)學實質，促進學生獲得分析和解決問題的基本方法，提升其探索規(guī)律的能力。

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃教師發(fā)展專項重點自籌課題“促進教師專業(yè)發(fā)展的小學數(shù)學教學關鍵問題的實踐研究”（J-b/2018/13）階段性研究成果。