新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題的研究

李玉恒

摘 要：現(xiàn)如今，隨著我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)進(jìn)程的加快發(fā)展，為教育事業(yè)的創(chuàng)新、改革發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件，由此極大地推動(dòng)了新課標(biāo)的進(jìn)一步發(fā)展。在新課標(biāo)教育環(huán)境下，關(guān)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方向重新提出新的要求，特別是對(duì)于數(shù)列所提出的要求較高。數(shù)列教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中始終都占據(jù)著至關(guān)重要的地位，與人們的日常生活工作緊密聯(lián)系，如分期付款與銀行儲(chǔ)蓄等。當(dāng)下，隨著新課程改革的進(jìn)一步深入，高中數(shù)學(xué)急需改革與創(chuàng)新原有的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)數(shù)列，且數(shù)列知識(shí)在高考中占有重要地位，為提高數(shù)學(xué)成績(jī)，就需要高度重視學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)數(shù)列。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo);高中數(shù)學(xué);數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列問(wèn)題作為組成高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，也是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，出現(xiàn)形式以壓軸題為主，在高考數(shù)學(xué)分值中占據(jù)重要位置，與我國(guó)的日常生活息息相關(guān)，是組成新課程改革的重要內(nèi)容，所包含的數(shù)學(xué)思想、方法，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展與提高?；诖?，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)列問(wèn)題作為一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題，其基礎(chǔ)內(nèi)容、重要內(nèi)容都在于數(shù)列通項(xiàng)公式，為更好地學(xué)習(xí)這部分知識(shí)就需要掌握相關(guān)通項(xiàng)公式。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列的重要性

數(shù)列知識(shí)作為組成高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，需要引起學(xué)生、教師的高度重視，且數(shù)列知識(shí)在人們的日常生活、工作中比較常見(jiàn)，如工資計(jì)算、產(chǎn)品規(guī)格、細(xì)胞分裂等，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)可致力于自身運(yùn)算、推理能力的顯著提高，為此學(xué)生需要高度重視數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)與掌握，在學(xué)習(xí)過(guò)程中強(qiáng)化對(duì)學(xué)習(xí)方法的創(chuàng)新、知識(shí)的挖掘，采用科學(xué)、有效的方法，更好地掌握相關(guān)知識(shí)。同時(shí)，在數(shù)列學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生需要產(chǎn)生一定緊迫感，正確理解數(shù)列知識(shí)的重要性，然后才會(huì)積極、主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)[1]。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列內(nèi)容介紹

1.地位

按照新課程的改革標(biāo)準(zhǔn)，高中數(shù)學(xué)需要按照“螺旋上升式”的原則來(lái)合理安排教學(xué)內(nèi)容，為此“數(shù)列”作為一個(gè)獨(dú)立章節(jié)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)必修五第二章節(jié)中，所占課時(shí)共計(jì)12個(gè)。同時(shí)，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的重要作用體現(xiàn)在數(shù)學(xué)聯(lián)系上，與不等式、函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)知識(shí)密切相關(guān)，所體現(xiàn)的思想方法比較獨(dú)特，如類(lèi)比歸納、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整體代入、函數(shù)和方程等。

2.學(xué)習(xí)內(nèi)容重點(diǎn)、難點(diǎn)

數(shù)列的學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于其屬性、項(xiàng)目，在探討過(guò)程中需要運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)，對(duì)其求和的基本方法與相關(guān)遞推問(wèn)題等進(jìn)行熟練掌握。難點(diǎn)在于數(shù)列與不等式、函數(shù)等綜合問(wèn)題，為有效解決就需要采用遞推數(shù)列的方式。

3.數(shù)列性質(zhì)

數(shù)列性質(zhì)比較特殊，究其原因在于其定義在正整數(shù)集上是特殊函數(shù)之一，因此函數(shù)所具有的一般性質(zhì)都具有，如單調(diào)性、最值、周期性等。同時(shí)，在數(shù)列中考查的重點(diǎn)在于其函數(shù)性質(zhì)，其在一定程度上是數(shù)列、函數(shù)的交匯點(diǎn)，是高考熱門(mén)考點(diǎn)與重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)，能夠?qū)W(xué)生本身所具有的綜合能力進(jìn)行客觀考查[2]。

三、新課標(biāo)下學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

在新課標(biāo)下，學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)數(shù)列中對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)目公式、求和公式的復(fù)習(xí)與預(yù)習(xí)缺乏積極性，但是這種題型缺少解題捷徑，學(xué)生在解決固定題型時(shí)往往很難有效地應(yīng)用正確公式。再加上，學(xué)生做題本來(lái)就少，解題思路仍然沿用傳統(tǒng)方式，一旦題型有變，學(xué)生在解題面前就會(huì)顯得手足無(wú)措，更談不上靈活地應(yīng)用數(shù)列知識(shí)了。在數(shù)列解題過(guò)程中，累加法、累乘法均具有良好的推導(dǎo)性，有利于學(xué)生有效地處理等差、等比數(shù)列，但是其公式并不能為許多學(xué)生有效地掌握與理解。在與自然數(shù)相關(guān)的題型中，學(xué)生很難掌握其知識(shí)點(diǎn)，因此在證明題型中關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)的得出就不能借助遞推公式。

四、新課標(biāo)下數(shù)列問(wèn)題的解決策略

1.創(chuàng)新學(xué)習(xí)方式與增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣

按照新課程改革的要求，需要致力于學(xué)習(xí)方式的創(chuàng)新。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)可以提前預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，過(guò)程中羅列出重點(diǎn)、難點(diǎn)、不懂的問(wèn)題，然后在課堂學(xué)習(xí)中積極地與同學(xué)、老師認(rèn)真地溝通與交流，并將其主體作用充分發(fā)揮出來(lái)，然后對(duì)數(shù)列知識(shí)的發(fā)展、演變過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)的探究，確保問(wèn)題的及時(shí)發(fā)現(xiàn)與解決，在探究過(guò)程中對(duì)探索所帶來(lái)的感受進(jìn)行充分體驗(yàn)，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)發(fā)展過(guò)程的感受，增強(qiáng)自身的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)能力的顯著提高，促進(jìn)發(fā)散思維的發(fā)展，更好地理解與應(yīng)用數(shù)列知識(shí)[3]。

2.為幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)需要充分借助多媒體技術(shù)

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，多媒體技術(shù)在社會(huì)生活的方方面面中滲透，在數(shù)列學(xué)習(xí)中也逐漸引入多媒體技巧。針對(duì)數(shù)列知識(shí)的抽象、難懂性，教師為幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)，可巧妙地融合多媒體技術(shù)，借助多媒體技術(shù)的直觀性幫助學(xué)生再次學(xué)習(xí)數(shù)列中的重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)，更好地掌握與運(yùn)用數(shù)列知識(shí)，從而使其能夠更好地吸收知識(shí)。如此一來(lái)，可滿足高中生的好奇心理、創(chuàng)新心理，調(diào)動(dòng)對(duì)于學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，從而能夠更好地吸收、掌握相關(guān)數(shù)列知識(shí)。

3.合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果

合作學(xué)習(xí)在新課程改革中是一種新型方式，通過(guò)合作學(xué)習(xí)可幫助學(xué)生更好地預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)相關(guān)數(shù)列知識(shí)，及時(shí)找出知識(shí)中存在的問(wèn)題、解題思路與結(jié)論。學(xué)生之間通過(guò)相互學(xué)習(xí)與彌補(bǔ)，有助于強(qiáng)化對(duì)數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)，從而有助于學(xué)習(xí)目的的實(shí)現(xiàn)，為學(xué)生營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，通過(guò)相互學(xué)習(xí)與影響，再加上通力合作，能夠?qū)?shù)列知識(shí)所具有的共通性不斷挖掘出來(lái)[4]。

五、通項(xiàng)公式的幾種求解方式

在數(shù)列部分教學(xué)中，通項(xiàng)公式一直都是教學(xué)重點(diǎn)，是一切數(shù)列問(wèn)題得以解決的基礎(chǔ)，本文主要結(jié)合高考題目介紹了五種求解方式。本質(zhì)上這五種方式是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)，觀察法能夠?qū)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)出來(lái);待定系數(shù)法可以體現(xiàn)函數(shù)與方程思想;構(gòu)造法、累乘法、累積法能夠體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想?；诖?，教師在數(shù)列部分教學(xué)過(guò)程中需要旨在幫助學(xué)生更好地掌握與學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，在教學(xué)過(guò)程中潛移默化地滲透相應(yīng)教學(xué)思想，學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中能夠更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，營(yíng)造高效的課程教學(xué)。

1.觀察法求通項(xiàng)公式

這是求數(shù)列通用公式的基本方法，在判斷時(shí)主要通過(guò)觀察數(shù)列{an}中第n項(xiàng)數(shù)值和這項(xiàng)之前的數(shù)值關(guān)系，在高考中主要具有兩種類(lèi)型的試題，即表格與圖形。

2.待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式

在求通項(xiàng)公式時(shí)，采用待定系數(shù)法主要是結(jié)合公式法，往往要求學(xué)生必須掌握一定的運(yùn)算能力，幫助學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)認(rèn)真求出通項(xiàng)公式，通常主要包括兩種情況，即無(wú)關(guān)于Sn和an數(shù)列，關(guān)于學(xué)生掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)情況考查，可以通過(guò)直接給出等差或等比數(shù)列的方式[5]。

如：已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

問(wèn)題分析：按照問(wèn)題，要求學(xué)生在構(gòu)造方程時(shí)學(xué)會(huì)利用待定系數(shù)法，求解時(shí)借助方程，然后確保數(shù)量關(guān)系能夠在短時(shí)間內(nèi)快速找到，而解題的關(guān)鍵在于方程組的構(gòu)造，根據(jù)題意將相關(guān)方程組列出來(lái)，最后可以求出a1=1、d=-1，因此an=2-n。另一種方式可實(shí)現(xiàn)Sn和an相關(guān)知識(shí)的有效融合，關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的計(jì)算可以充分利用二者關(guān)系，在具體求解過(guò)程中需要對(duì)通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的定義進(jìn)行牢固記憶。

3.構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列的方式求通項(xiàng)公式

這種方式主要是經(jīng)過(guò)構(gòu)造法，轉(zhuǎn)變煩瑣、缺乏規(guī)律性的數(shù)列結(jié)構(gòu)為遞推式，然后求解，采用這種方式可直接將通項(xiàng)公式求出來(lái)。

4.累加法求通項(xiàng)公式

在解決數(shù)列部分問(wèn)題時(shí)，如存在遞推數(shù)列，即an+1=an+f（n），借助累加法可以將其向an+1-an=f（n）的形式轉(zhuǎn)變，如此數(shù)列通項(xiàng)公式可以更快捷地計(jì)算出來(lái)。

如：在已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2，則在bn=an+1-an的情況下，如何證明{bn}為等差數(shù)列。

問(wèn)題分析：通過(guò)觀察題目中的等式，不難發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)列關(guān)系為遞推關(guān)系，求解時(shí)可以采用累加法，值得一提是在求解之前需要變形已知關(guān)系。

5.累乘法求通項(xiàng)公式

若an+1/an這樣的數(shù)列出現(xiàn)在數(shù)列部分問(wèn)題的解題過(guò)程中，為快速解題可以采用累乘法。本質(zhì)上累加法、累乘法都是通過(guò)變形已知數(shù)列來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)新遞推關(guān)系的構(gòu)造，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行求解，求解時(shí)關(guān)鍵在于化歸、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)等式，實(shí)現(xiàn)對(duì)新遞推關(guān)系的構(gòu)造[6]。

六、數(shù)列應(yīng)用能力的學(xué)習(xí)

1.合情推理能力與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)

俗話說(shuō)，沒(méi)有大膽的猜測(cè)，就不會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn)，為此需要大膽的猜測(cè)與歸納判斷，然后進(jìn)行科學(xué)的論證。為有效解決各種問(wèn)題，擁有一定創(chuàng)新意識(shí)至關(guān)重要，在問(wèn)題解決過(guò)程中合情推理能夠提供一定線索，便于結(jié)論的得出[7]。

2.推理論證能力的培養(yǎng)

合理論證在高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中至關(guān)重要，為此需要高度重視學(xué)生推理論證能力的培養(yǎng)。同時(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生必須掌握嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)

只有學(xué)生具備有效的應(yīng)用意識(shí)，才能更好、更簡(jiǎn)單地解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)數(shù)列加強(qiáng)與生活之間的緊密聯(lián)系，在高考中關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的考查通常會(huì)用數(shù)列背景。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)在新課標(biāo)背景下至關(guān)重要，學(xué)生應(yīng)該側(cè)重于學(xué)習(xí)目標(biāo)的培養(yǎng)，嚴(yán)格按照新課標(biāo)要求強(qiáng)化對(duì)數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)，并應(yīng)用到實(shí)際解題過(guò)程中。

參考文獻(xiàn)：

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