勾股定理的應(yīng)用技巧

朱亞邦

勾股定理應(yīng)用范圍廣，涉及的題型多.解題時(shí)要準(zhǔn)確理解題意，明確思考方向，靈活應(yīng)用多種方法。

一找直角三角形

例1 如圖1所示，△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，連接AE，求AE的長(zhǎng).

解：△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故△ACE為等腰三角形，∠ACE=120°.

∴∠CAE=30°，∠BAE=60°+30°=90°.

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

AE²=BE²-AB²=（2+2）²-2²=12，AE=2√3.

二分類討論

例2 已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12.求BC邊的長(zhǎng)，

分析：由于題中沒(méi)有給出圖形，也沒(méi)有說(shuō)明△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形，因此必須進(jìn)行分類討論。

解：（1）如圖2，當(dāng)BC邊上的高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理得BD=9，DC=5.

∴BC=BD+DC=14.

（2）如圖3，當(dāng)BC邊上的高AD在△ABC外部時(shí)，同樣可求得BD=9，DC=5.

∴BC=BD-DC=4.

綜上.BC的長(zhǎng)為14或4.

三整體代入

例3 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，中線AD.BE的長(zhǎng)分別為7和4.求斜邊AB的長(zhǎng).

分析：此題涉及的未知量較多，但不必一一求出，將有關(guān)未知量整體代入求解，解題過(guò)程就會(huì)很簡(jiǎn)捷.

四設(shè)而不求

例4 在△ABC中，∠C=90°，兩直角邊的長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，且a+b=8 .c=6.求S_△ABC.

解：由a+b=8，c=6，得

S_△ABC=（1/2）ab=[（a+b）²-（a²+b²）]/4=[8²8-6²]/4=7.

五理清概念

例5 數(shù)學(xué)老師出了這樣一道判斷題：“由長(zhǎng)度分別為1.2，2，1.6的線段組成的三角形是不是直角三角形？”明明同學(xué)算了一下說(shuō)它肯定不是直角三角形，理由是：因?yàn)?.2²+2²=5.44，1.6²=2.56，而1.2²+2²≠1.6².明明的判斷對(duì)嗎？

解：∵1.2²+1.6²=2²，

∴此三角形一定是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：只有當(dāng)兩條短邊的平方和等于長(zhǎng)邊的平方時(shí)，這個(gè)三角形才是直角三角形.

六構(gòu)造方程

例b 如圖5，Rt△ABC中，兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為6和8.現(xiàn)將直角邊AC沿著AD折疊，使它落在斜邊AB上，且點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，求AD的長(zhǎng)，

解：在Rt△ABC中，AB=lO.

由折疊中的不變?cè)刂狝E=AC=6，故BE=4.

設(shè)DE=DC=x，則DB=8-x.

在Rt△BDE中，（8-x）²-X²=4²，解得x=3.

在Rt△ACD中，AD=√AC²+DC²=3√5.