與勾股定理逆定理相關(guān)的基本圖形

沈占立 楊劍文

勾股定理被稱為是“千古第一定理”，它的姊妹定理——勾股定理的逆定理也毫不遜色，兩者結(jié)合起來可謂“珠聯(lián)壁合”，相得益彰，茲介紹兩類與勾股定理的逆定理（簡稱為“勾逆”）相關(guān)的基本圖形及其應(yīng)用.

一“劍合璧”型

基本圖形與結(jié)論

如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB，BC，CD，AD均給出具體數(shù)值，先在Rt△ABC中由勾股定理求出AC的長，若滿足AC²+CD²=AD²，則由勾股定理的逆定理可得到△ACD是直角三角形，即所謂的“共邊用勾逆”.這幅圖看上去像是兩把利劍合在一起，故謂“雙劍合壁”.

例1 如圖l，在四邊形ABCD中，AB=3 ，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四邊形ABCD的面積.

解析：在Rt△ABC中，有AC²=AB²+BC²=3²+4²=25.

又AC²+CD²=25+144=169=13²=AD²，由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.

∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=（1/2）×3×4+（1/2）×5×12=36.

反思：解決有關(guān)勾股定理及其逆定理組合的問題時，一般先要找出已知的直角三角形，用勾股定理求出一邊.再在另一個三角形中求出三邊之間的平方關(guān)系，借助勾股定理的逆定理判斷此三角形是否為直角三角形，以使問題獲解.

例2 在圖3所示的一塊地ABCD中，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥CD，AB=13m，BC=12m.求這塊地的面積.

解析：連接AC.在Rt△ACD中，由勾股定理知AC=5m.因5²+12²=13²，由勾股定理逆定理知△ABC為直角三角形.∠ACB=90°.故S_{凹四邊形ABCD}=S_△ABC-SS_△ACD=24（㎡）.

二“費馬點”型

基本圖形與結(jié)論

如圖4，P點是等邊△ABC（此特殊幾何圖形還可以為等腰直角三角形或正方形）內(nèi)一點，PC，PB，PA均給出具體數(shù)值，且常是一組勾股數(shù)，以BP為一邊，構(gòu)造等邊△BPE，連接AE（或?qū)ⅰ鰾PC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BEA.等腰直角三角形或正方形一般是旋轉(zhuǎn)90°），即可由“手拉手”模型得到△BEA≌△BPC.再由“勾逆”得到Rt△AEP.本圖形中的P點類似于“費馬點”.

以上結(jié)論可為計算角度提供依據(jù)，幫助理清思路和簡化汁算.

反思：在解決條件分散的問題時，一般是巧構(gòu)特殊圖形轉(zhuǎn)換邊和角，將分散的條件集中到一個圖形中，再觀察是否會生成新的特殊圖形，可借助勾股定理的逆定理判斷是否生成直角三角形.