重積分中兩類面積元素之辨析

張 輝， 王兆強， 王 靜

(火箭軍工程大學 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

0 引言

重積分是多元函數(shù)積分學的重要內(nèi)容，如何正確計算二重積分是需要解決的關(guān)鍵問題。 而在二重積分的計算以及應用中，常常需面對一個至關(guān)重要的概念：面積元素。 為使學生能夠深刻理解面積元素，下面將對二重積分面積元素和曲面的面積元素進行再研究，并給出兩類面積元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后得到基于元素法的兩類面積元素的表達形式，并輔以典型例題供參考學習，使初學者靈活使用，達到事半功倍、舉一反三的效果。

為了確保二重積分的存在性，假設(shè)被積函數(shù)均是連續(xù)或分塊連續(xù)。

1 二重積分面積元素的再研究

可見，面積元素dσ是與平面坐標系的選取密切相關(guān)的。 許多學生對極坐標系中面積元素的表達式ρdρdθ理解較為困難，甚至有些學者[2]認為把ρdρdθ作為極坐標系中的面積元素的說法不太嚴格，而筆者認為教材中關(guān)于面積元素的表述是正確的，本質(zhì)上就有dσ=dxdy=ρdρdθ。

究竟是什么原因呢？事實上，教材中采用了兩種方法介紹直角坐標系和極坐標系中面積元素之間的關(guān)系。第一種方法是從二重積分的定義出發(fā)，利用直角坐標系和極坐標系之間的內(nèi)在聯(lián)系得到二重積分所對應的特定和式的極限在極坐標系中的形式。一般對直角坐標系中面積元素為dxdy較好理解，但對極坐標系中面積元素為ρdρdθ很難理解，不應該是dρdθ嗎？

筆者認為產(chǎn)生這樣錯誤想法的主要原因是沒有理解直角坐標系和極坐標系的本質(zhì)聯(lián)系。對于平面xOy直角坐標系，極坐標系的確定是以O(shè)點為極點，Ox軸正向作為極軸OA的。給定平面OA極坐標系，直角坐標系的確定是以O(shè)點為原點，OA軸作為橫軸Ox的正向，逆時針旋轉(zhuǎn)π/2得到縱軸Oy的正向。同時，積分區(qū)域D在直角坐標系和極坐標系中的形狀是不發(fā)生改變的。

我們再來分析其面積元素的內(nèi)在聯(lián)系。從元素法的角度來看，如圖1所示，Δσ面積近似等于兩邊長分別為dρ和ρdθ的矩形的面積ρdρdθ，故將ρdρdθ作為極坐標系中面積元素的表達式。這說明了極坐標中面積元素恰好為ρdρdθ，上述問題得以較好解決。

圖1 極坐標系中的面積元素Fig.1 Area element in polar coordinate system

第一種方法是將點(x,y)和點(ρ,θ)看成是同一平面上的同一個點，只是采用不同的坐標而已，而換元法是將直角坐標平面ρOθ上的點(ρ,θ)變?yōu)橹苯亲鴺似矫鎥Oy上的點(x,y)，將直角坐標平面ρOθ上閉區(qū)域D′變?yōu)橹苯亲鴺似矫鎥Oy上的閉區(qū)域D，如圖2所示。

圖2 換元法中積分區(qū)域的轉(zhuǎn)換Fig.2 Conversion of integral regions in conversion method

圖3 換元法中面積元素的轉(zhuǎn)換Fig.3 Conversion of area elements in conversion method

考察一個具體例子進行說明，對于半徑為a(a>0)的平面圓面D={(x,y)|x2+y2≤a2}，在極坐標系中可以表達為D={(ρ,θ)|0≤ρ≤a，0≤θ≤2π}，其本質(zhì)上仍然刻畫的是該圓面，而在換元法中對應平面直角ρOθ坐標系中的區(qū)域為矩形域，如圖4所示。

圖4 換元法中的矩形域Fig.4 Rectangular domain in exchange method

對于極坐標變換的逆變換

或

由換元法可得

圖5 換元法中面積元素的轉(zhuǎn)換Fig.5 Conversion of area elements in conversion method

由換元法得，

圖6 積分區(qū)域的變換Fig.6 Transform of integral region

同理，對于球面坐標變換情形也是成立的。

2 曲面面積元素的再研究

在二重積分及其應用中，常常會遇到兩類面積元素，一是二重積分的面積元素dσ，二是計算曲面面積時曲面的面積元素dA。筆者在第一部分詳細介紹了面積元素dσ不同類型的表達式及其內(nèi)在聯(lián)系。而對于曲面的面積元素dA，與曲面S方程的給定形式有關(guān)。下面分3種情形討論。

則有

進而

同理

代入可得

由第一部分分析可得，

同理

dydz=|yuzv-yvzu|dudv，dzdx=|zuxv-yvxu|dudv，

情形3，若曲面S方程由方程F(x,y,z)=0所確定的二元隱函數(shù)z=f(x,y)給定，由隱函數(shù)存在定理知，

即有

則

3 曲面的面積元素的再研究

圖7 旋轉(zhuǎn)曲面的面積元素Fig.7 Area elements of rotating surfaces

4 結(jié)束語

如何把握不同類型面積元素的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，這是初學者對于重積分首先要面對的問題。要從簡單、基礎(chǔ)的一元函數(shù)積分學過渡到對復雜、抽象的多元函數(shù)積分學的學習中確有難度，但是似乎越難的學科就越具有其獨特的魅力，使你不斷地花心思去學它、理解它、體會它，從而真正感到它的內(nèi)在美。