多題一解在概率統(tǒng)計(jì)課程中的應(yīng)用舉例

劉 倩

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710071)

0 引言

概率統(tǒng)計(jì)作為本科階段一門非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，使學(xué)生能夠掌握解決和分析不確定問(wèn)題的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的抽象性、創(chuàng)造性、發(fā)散性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性都非常有幫助。在概率統(tǒng)計(jì)課程中，例題占有重要的地位，教學(xué)過(guò)程中，教師可以用例題提問(wèn)設(shè)疑，引發(fā)思考，也可以用實(shí)例開場(chǎng)，以例引理。然而，教師往往側(cè)重于一題多解[1-3]，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維[4]，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的解題能力，而忽略多題一解、一法多用的歸納思維能力的訓(xùn)練[5]。

本文從概率統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)典型例題出發(fā)，對(duì)該門課程中多題一解、一法多用問(wèn)題進(jìn)行探討，力求讓學(xué)生掌握概括、綜合、歸納、總結(jié)的方法，以解決同類問(wèn)題為契機(jī)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，達(dá)到舉一反三的效果?！胺础痹谶@里是指“類推”，“舉一反三”就是說(shuō)，學(xué)一件東西，要靈活思考，善于類推，能由此及彼。這句成語(yǔ)對(duì)我們的思維訓(xùn)練啟示很大。最復(fù)雜、最難的題目的解題技巧，往往是最基本、最簡(jiǎn)單的解題技巧的變化和組合。當(dāng)學(xué)生把最基本的方法熟練掌握后，通過(guò)深入思考，用一種解題方法做出多道題目，對(duì)思維能力的培養(yǎng)往往遠(yuǎn)勝于做出多道難題。

1 生日問(wèn)題

例1(生日問(wèn)題)[6]如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那么至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(jí)(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高，而對(duì)于60或者更多的人，這種概率要大于99%。

計(jì)算與生日相關(guān)的概率問(wèn)題被稱為生日問(wèn)題，而這些數(shù)學(xué)事實(shí)通常與一般直覺(jué)相抵觸。從教師授課的角度來(lái)講，生日問(wèn)題的這種悖論會(huì)引起學(xué)生的一種興趣?！耙粋€(gè)班級(jí)中至少有兩個(gè)人的生日相同”這個(gè)事件發(fā)生的概率，并不如大多數(shù)人直覺(jué)認(rèn)為的那樣小，而是相當(dāng)大。 比如，23人中有2人生日相同的概率應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于50%。乍一看這個(gè)題目，感覺(jué)無(wú)從下手，仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)這是一道典型的分房問(wèn)題，也稱投球問(wèn)題，運(yùn)用的基本公式是古典概型的概率計(jì)算公式。

(1)

(2)

根據(jù)(2)式，就不難得到本題一開始給出的數(shù)字了。

表面上看似不相同的題目，通過(guò)建立模型，發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)相同。這道題目也說(shuō)明了“直覺(jué)”有時(shí)并不可靠，這有力地說(shuō)明了研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要性。類似地，投球入盒問(wèn)題也可以用該方法進(jìn)行解答。

2 平面上的隨機(jī)游走問(wèn)題

例2(平面上的隨機(jī)游走)[7]一質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)出發(fā)，等可能地向上、下、左、右方向移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為1，求經(jīng)過(guò)2n次移動(dòng)后回到出發(fā)點(diǎn)的概率。

二項(xiàng)分布是重要的離散分布之一，可以容易地推廣到n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)且每次試驗(yàn)可能有若干個(gè)結(jié)果的情形，推廣后的分布被稱為多項(xiàng)分布。例如，四項(xiàng)分布，該題目就是一道四項(xiàng)分布的應(yīng)用問(wèn)題。

據(jù)表1所示，從調(diào)查覆蓋的地理區(qū)域來(lái)說(shuō)，本調(diào)查所收集到的招聘信息涵蓋了全國(guó)大部分?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)），獲得的招聘信息是比較充分的。

解為了更好地理解四項(xiàng)分布，先來(lái)看一道簡(jiǎn)單的生活問(wèn)題：

人類的血型主要分為O、A、B、AB四型，假定某地區(qū)的居民中這四種血型的人的百分比分別為0.4，0.3,0.25,0.05，若從此地區(qū)居民中隨機(jī)地選出5人，求有兩個(gè)為O型，其他3個(gè)分別為A、B、AB型的概率。

四項(xiàng)分布可以用于這個(gè)場(chǎng)合，所求的概率為

(3)

(4)

通過(guò)建立模型，發(fā)現(xiàn)四項(xiàng)分布也可以用于研究平面上或空間的隨機(jī)游動(dòng)。這是一個(gè)二項(xiàng)分布平行推廣到多項(xiàng)分布的場(chǎng)合。類似地，在產(chǎn)品檢測(cè)中，若對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量所用的標(biāo)準(zhǔn)不只是正品與次品，而是分得更細(xì)，例如有一等品、二等品、三等品、四等品這四類，那也是多項(xiàng)分布的應(yīng)用問(wèn)題。這種由易到難、由簡(jiǎn)到煩的推理過(guò)程正是我們授課過(guò)程中所采用的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的歸納總結(jié)能力。

3 女士品茶問(wèn)題

例3(女士品茶)[8]這個(gè)故事最早出現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher發(fā)表于1935年的著作TheDesignofExperiment中。有一位女士，聲稱自己在喝英式茶的時(shí)候能區(qū)分出來(lái)是茶先倒進(jìn)杯子還是奶先倒進(jìn)杯子。于是，F(xiàn)isher設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)判斷這位女士的說(shuō)法是否可信。實(shí)驗(yàn)是這樣設(shè)置的：準(zhǔn)備8杯飲料，TM(tea milk，先倒茶后倒牛奶)與MT(milk tea，先倒牛奶后倒茶)各4杯，把它們隨機(jī)地排在一起，讓她品嘗，并告訴她TM和MT 各4杯，然后讓她指出哪4杯是TM。假設(shè)她全部說(shuō)對(duì)了，你相信她有這個(gè)能力嗎？

初次接觸女士品茶這類問(wèn)題，學(xué)生們無(wú)從下手。

解先回憶在古典概型的講授過(guò)程中，就已經(jīng)引入的例題：某接待站在某一周曾經(jīng)接待過(guò)12次來(lái)訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來(lái)訪者都是在周二 、周四的概率問(wèn)題是一道典型的古典概型問(wèn)題，結(jié)果為

(5)

人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不可能發(fā)生的”，這一原理被稱為實(shí)際推斷原理。現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為接待時(shí)間是有規(guī)定的。因此這道題目的求解得益于實(shí)際推斷原理的應(yīng)用。

該原理在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中都有著重要應(yīng)用，該原理正是女士品茶問(wèn)題中運(yùn)用的基本原理。對(duì)此問(wèn)題，F(xiàn)isher先引進(jìn)一個(gè)假設(shè)，這個(gè)假設(shè)被稱為原假設(shè)，

H:該女士并無(wú)鑒別能力。

(6)

顯然，由于第二個(gè)事件發(fā)生比較稀奇，因而我們有相當(dāng)?shù)睦碛烧J(rèn)為第一種情況發(fā)生了，或者說(shuō)，該女士4杯全選對(duì)這一事件是一個(gè)不利用假設(shè)H的顯著性證據(jù)。這樣的一個(gè)推理過(guò)程就叫做顯著性檢驗(yàn)。

這就是Fisher的假設(shè)檢驗(yàn)的基本思路。一般我們可以稱之為概率意義下的反證法：假設(shè)女士沒(méi)有這個(gè)能力(這個(gè)假設(shè)H被稱為原假設(shè))，如果女士很好地鑒別了這8杯茶，那就說(shuō)明在原假設(shè)成立的情況下，發(fā)生了非常反常的現(xiàn)象，以至于說(shuō)明原假設(shè)是令人懷疑的。從統(tǒng)計(jì)上來(lái)說(shuō)，如果在原假設(shè)成立的前提下，發(fā)生了非常小概率的事件，那我們就有理由懷疑原假設(shè)的真實(shí)性。這里推斷過(guò)程中運(yùn)用的就是實(shí)際推斷原理。

女士品茶故事中，F(xiàn)isher正是當(dāng)事人之一，這位女士是Fisher的同事，植物學(xué)家Muriel Bristol。在今天看來(lái)，這個(gè)一百多年前的小實(shí)驗(yàn)也許并不復(fù)雜，卻展示出了Fisher先驅(qū)性的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思想。因?yàn)樵贔isher登場(chǎng)之前，科學(xué)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)進(jìn)行了幾百年，科學(xué)家通過(guò)構(gòu)造實(shí)驗(yàn)獲取新的知識(shí)，而Fisher并沒(méi)有這樣做，這正是偉大科學(xué)家的與眾不同之處。通過(guò)這道例題的講解，不僅向?qū)W生引入了Fisher的顯著性檢驗(yàn)，更重要的是開拓了學(xué)生的思路，培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想解決實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新能力。

4 假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的聯(lián)系

這是一道典型的總體均值未知時(shí),正態(tài)總體方差的右側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題。

解首先建立原假設(shè)和備擇假設(shè)，

選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(7)

給定顯著性水平α，得到該右側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域W為

因此接受原假設(shè), 即認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求。

事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題也可考慮用參數(shù)區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行解決。為了判斷σ2是否小(小是允許的),選左側(cè)置信區(qū)間，相應(yīng)地,求解χ2的右側(cè)置信區(qū)間。

選取樞軸量

(8)

表面上看這是一道一題多解的問(wèn)題，而事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)區(qū)間估計(jì)所使用的樞軸量(7)與假設(shè)檢驗(yàn)所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(8)有著相同的分布，因此，同一個(gè)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題關(guān)系密切，這一現(xiàn)象并不奇怪，因?yàn)閰^(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢本身是有聯(lián)系的，教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該重視這種聯(lián)系。

5 結(jié)論

教師應(yīng)重視多題一解、一法多用例題的選擇、開發(fā)，多渠道、多角度、全方位輻射性地思考問(wèn)題, 這樣不但可起到舉一反三、觸類旁通的作用, 而且培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、歸納性, 甚至獨(dú)創(chuàng)性，從而拓寬所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用范圍。數(shù)學(xué)的威力和魅力由此可見一斑。

教材往往出于簡(jiǎn)潔性和邏輯性的考慮，不著重強(qiáng)調(diào)描述知識(shí)發(fā)現(xiàn)的脈絡(luò)和過(guò)程，這就需要教師在授課過(guò)程中對(duì)教材進(jìn)行加工改編，改變通常的定義—定理—證明—例題的刻板演繹模式，在課堂上展示數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。而在此過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)睦}會(huì)起到畫龍點(diǎn)睛作用。既然截然不同的事物可以服從共同的規(guī)律，一個(gè)數(shù)學(xué)模型可以描述多種自然現(xiàn)象，那么教學(xué)中介紹多題一解、一法多用的案例，就有利于增進(jìn)學(xué)生的這種認(rèn)識(shí)。