復(fù)合LINEX損失下逆指數(shù)分布模型參數(shù)的Bayes可靠性分析

李蘭平

(湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410205)

0 引言

逆指數(shù)分布是一類重要的壽命分布模型，該模型參數(shù)的統(tǒng)計推斷問題的研究得到了諸多學(xué)者的關(guān)注和研究。文獻[1]在參數(shù)的無信息先驗分布下,討論了平方誤差損失、熵?fù)p失和LINEX損失函數(shù)下逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計問題；文獻[2]利用收縮估計方法導(dǎo)出了逆指數(shù)分布參數(shù)的各類收縮估計問題；文獻[3]在加權(quán)平方誤差損失和MLINEX損失函數(shù)下分別得到了逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計Minimax估計；文獻[4]研究了逆指數(shù)模型參數(shù)的損失和風(fēng)險函數(shù)的Bayes估計，并探討了各估計的保守性質(zhì)。

損失函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計推斷中起著重要的作用。平方誤差損失函數(shù)是貝葉斯分析中最常用的函數(shù)。但在某些可靠性和壽命領(lǐng)域，過高估計和低估對決策結(jié)果有不同的影響。在這些情況下，平方誤差損失函數(shù)不能很好地工作。一些學(xué)者提出了若干非對稱損失函數(shù)，如LINEX損失、熵?fù)p失函數(shù)等[5-7]。近年來，文獻[8]提出了一種基于LINEX的對稱損失函數(shù),并稱之為復(fù)合LINEX損失函數(shù)，并指出了該損失函數(shù)的一些優(yōu)良性質(zhì)，并在該損失函數(shù)下研究了正態(tài)分布和指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計。近年來，文獻[9-11]研究了基于復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)，分別研究了Poisson分布、帕累托分布和BurrXII分布參數(shù)的Bayes估計。

設(shè)隨機變量X服從逆指數(shù)分布,相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(1)

其中θ為未知參數(shù).

本文將在參數(shù)的先驗分布為共軛伽瑪先驗分布下，研究基于復(fù)合LINEX損失函數(shù)的逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計問題。

1 預(yù)備知識

先驗分布和損失函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計推斷中起著重要的作用。在本文中，參數(shù)的先驗分布設(shè)為伽瑪先驗分布Γ(α,β)，概率密度函數(shù)

(2)

作為貝葉斯統(tǒng)計推斷的重要組成部分，損失函數(shù)在統(tǒng)計估計的穩(wěn)健性起著關(guān)鍵的作用。由于在估計可靠性和故障率時，往往高估會帶來更大的損失，因此雖然平方誤差損失函數(shù)是應(yīng)用最廣泛的損失函數(shù)，但發(fā)展新的對稱和非對稱損失函數(shù)也是非常必要的。LINEX損失函數(shù)是最常用的非對稱損失函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式為

(ii)LINEX損失函數(shù)

L(Δ)=ecΔ-cΔ-1,c≠0，

(3)

下面討論基于復(fù)合LINEX的損失函數(shù)下的逆指數(shù)分布未知參數(shù)的Bayes估計。復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)是在LINEX損失函數(shù)的基礎(chǔ)上提出的[8]，其數(shù)學(xué)表達式為

L(Δ)=Lc(Δ)+L-c(Δ)=ecΔ+e-cΔ-2,

(4)

其中Δ=δ-θ，c>0為L(Δ)的形狀參數(shù)。圖1給出了c=1時該損失函數(shù)的圖像。

圖1 當(dāng)c=1時復(fù)合LINEX對稱 損失函數(shù) L(Δ)的圖像Fig.1 Compound LINEX symmetric loss function L(Δ) with c=1

(5)

2 Bayes估計

(6)

證明給定樣本觀測值x=(x1,x2,…,xn)，得到參數(shù)θ的似然函數(shù)

(7)

由似然函數(shù)(2)和伽瑪先驗概率密度函數(shù)(4)，利用貝葉斯定理得參數(shù)θ的后驗概率密度函數(shù)為

h(θ|x)∝l(θ;x)·π(θ)∝

θn+α-1e-(β+t)θ。

(8)

從式(8)可知，參數(shù)θ的后驗分布仍然為伽瑪分布Γ(n+α,β+T)，對應(yīng)的密度函數(shù)為

(9)

于是，有

和

于是，根據(jù)公式(5)，參數(shù)θ的Bayes估計為

3 數(shù)值模擬分析和結(jié)論

表1 不同樣本量下的估計值和均方誤差(α=1， β=1)Tab.1 Estimates and mean square errors under different sample sizes(α=1, β=1)

表2 不同樣本量下的估計值和均方誤差(α=0.5， β=1.5)Tab.2 Estimates and mean square errors under different sample sizes(α=0.5, β=1.5)

從表1和表2可以看出，基于復(fù)合LINEX的損失函數(shù)下得到的Bayes估計值受到損失函數(shù)的形狀參數(shù)c的影響。當(dāng)樣本量n很小時，參數(shù)c的值對估計結(jié)果的影響更大，但隨著樣本量n變大，均方誤差估計值在減小。特別地，當(dāng)樣本量n大于50時，c的影響幾乎可以忽略，各個估計值也都越來越接近參數(shù)的真值。同時，當(dāng)樣本量n較大時，先驗分布的變化對估計結(jié)果的影響較小。