探究核心素養(yǎng)下的《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考試題

甘肅 王新宏

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該形成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；新的課程標(biāo)準(zhǔn)也是教學(xué)與考試的綱領(lǐng)性文件；認(rèn)真探究2019年的高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)其中一些試題很好地體現(xiàn)了發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的指導(dǎo)思想，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以通過(guò)接受數(shù)學(xué)教育教學(xué)來(lái)形成和發(fā)展；在高考數(shù)學(xué)試題中聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)符合課程改革的方向，也有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)回歸到育人的正確軌道上來(lái).

在選做題中，大部分考生會(huì)選擇《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》，但2019年的高考結(jié)束之后，好多考生都說(shuō)以前的高考是換湯不換藥，今年的高考是直接換了個(gè)“碗”，真是太難了，不會(huì)做，不適應(yīng)；究其原因，主要是命題中心的專(zhuān)家們正在把高考向新課改的方向改革，關(guān)注創(chuàng)新，體現(xiàn)新課改的精神，讓高考由過(guò)去的能力為立意慢慢地向能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為立意轉(zhuǎn)化，充分考查考生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

【例1】(2019·全國(guó)卷Ⅰ·文22理22)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

(Ⅰ)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

點(diǎn)評(píng):這是答案匯編給出的解答,但絕大多數(shù)考生根本想不到解決問(wèn)題的突破口，就被困住了,找不到好的轉(zhuǎn)換解決辦法,只好放棄；現(xiàn)在的高考是基于核心素養(yǎng)下的高考，由過(guò)去的能力立意正在慢慢地向核心素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)化，徹底改變過(guò)去靠死記硬背公式、刷題搞題海戰(zhàn)術(shù)等低效的學(xué)習(xí)方式，要求考生深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想分析問(wèn)題，發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

(Ⅰ)分析一：參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程的常用方法有：代入消參法、平方相減消參法、三角消參法(利用sin2θ+cos2θ=1)等，但本題較新穎,直接利用這些方法都行不通，故需要冷靜思考，利用考生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化到能消參的軌道上去；因?yàn)閰?shù)方程中分母均為二次，分子一個(gè)為二次一個(gè)為一次，故可利用分離常數(shù)法，把二次轉(zhuǎn)化為一次，之后的消參就水到渠成、順理成章了.

點(diǎn)評(píng):①對(duì)絕大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)這題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是將參數(shù)方程化為普通方程，二是x為什么不等于-1.因此，它是一道有很高區(qū)分度的題，讓搞題海戰(zhàn)術(shù)的考生無(wú)所適從、束手無(wú)策.但對(duì)于數(shù)學(xué)基本功特別扎實(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)特別靈敏的考生，就是手到擒來(lái)、輕而易舉.

②無(wú)論是學(xué)生還是教師,不能只低頭犁地,更要抬頭看課程改革這片天,現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)是緊緊圍繞在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的六大核心素養(yǎng)下出題，所以需要從六大核心素養(yǎng)的角度來(lái)理解和復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)；這道題主要考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)；其中邏輯推理是以具體問(wèn)題為材料，文字的理解為幫手，敏銳的思考分析、快捷的反應(yīng)、迅速的掌握其內(nèi)在關(guān)系及核心的一種高級(jí)思維活動(dòng)，是新高考主要考查的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng),所以需重視邏輯思維能力的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生積極拓展思維的寬度,挖掘思維的深度,提升解題能力.

點(diǎn)評(píng)：利用橢圓的參數(shù)方程求最值是這類(lèi)題的常規(guī)方法，但解法2利用數(shù)形結(jié)合求最值顯得更直觀、簡(jiǎn)潔.

【例2】(2019·全國(guó)卷Ⅱ·文22理22)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線(xiàn)C:ρ=4sinθ上，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

(Ⅱ)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線(xiàn)段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

分析：本題主要考查極坐標(biāo)的幾何意義、動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求法等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

點(diǎn)評(píng):① (Ⅰ)(Ⅱ)兩問(wèn)直接用極坐標(biāo)來(lái)做要比化為直角坐標(biāo)簡(jiǎn)單、快速得多,所以極坐標(biāo)試題應(yīng)打破定式思維,盡量?jī)?yōu)先用極坐標(biāo)思想解題,而不是都化為直角坐標(biāo)來(lái)做,這不僅是一種解題方法,更是一種優(yōu)化策略、解題捷徑.

反思與建議

①警醒過(guò)度、低效的題海戰(zhàn)術(shù)

《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》選考題是大多數(shù)考生選做的試題，在高三的復(fù)習(xí)中，練習(xí)了大量的加減消參、代入消參、三角消參(利用sin2θ+cos2θ=1)、平方相減消參等，也練習(xí)了很多的化為直角坐標(biāo)系后解決相關(guān)問(wèn)題的試題，但像這樣轉(zhuǎn)換后消參，必須利用極坐標(biāo)思想解決的試題幾乎沒(méi)有，所以當(dāng)遇到這樣非常態(tài)的新題，考生的心理預(yù)防容易崩潰，這類(lèi)新題對(duì)考生的能力要求較高,僅憑刷題已無(wú)法達(dá)到中檔題不丟分的目的,所以我們必須引以為戒,在平時(shí)的復(fù)習(xí)中,很有必要精選一些這樣的新題,讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考,勤于推理，勇于轉(zhuǎn)化,加強(qiáng)自我鉆研的信心與精神，形成多思多悟的自覺(jué)意識(shí),提高思維的靈活性和批判性,促使數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)在高中課堂落地生根，開(kāi)花結(jié)果.

②堅(jiān)持極坐標(biāo)思想優(yōu)先的原則

許多考生受高三復(fù)習(xí)的影響，在做《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》選做題時(shí)，多化為直角坐標(biāo)系下的普通方程求解，形成了這樣的定式思維，往往就掉進(jìn)了高考命題專(zhuān)家們?yōu)槠湓O(shè)計(jì)的溫柔陷阱，要么運(yùn)算特別煩瑣，要么根本就解不出來(lái)；大家都知道，極坐標(biāo)中ρ為極徑，表示曲線(xiàn)上這一點(diǎn)與原點(diǎn)O之間的距離，為此與原點(diǎn)O有關(guān)的距離、面積或需直接寫(xiě)出ρ，θ之間的關(guān)系式等問(wèn)題都需優(yōu)先考慮運(yùn)用極坐標(biāo)中ρ的幾何意義去解決它.這不僅是一種解題思路，更多時(shí)候它要比化為直角坐標(biāo)運(yùn)算簡(jiǎn)便的多，是一種優(yōu)化策略，可謂事半功倍.

③靈活應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)我們發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)成績(jī)高的學(xué)生相比于數(shù)學(xué)成績(jī)一般的學(xué)生主要有兩個(gè)方面的差異,一是數(shù)學(xué)成績(jī)高的學(xué)生擅長(zhǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題,把一個(gè)外表看起來(lái)比較陌生、難的數(shù)學(xué)問(wèn)題,想方設(shè)法等價(jià)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的、容易的問(wèn)題再得以解決；二是他們擅長(zhǎng)通過(guò)畫(huà)圖，利用圖形的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題，這樣不但降低了思維的難度，而且?guī)椭鷺?gòu)建了解題的思路，順利找到解題的切入點(diǎn)或突破口，看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，減少了運(yùn)算量，優(yōu)化了解題的過(guò)程.所以高中數(shù)學(xué)中能畫(huà)圖的數(shù)學(xué)試題都需要畫(huà)圖，數(shù)形結(jié)合效率高.

④建立錯(cuò)題本是提高成績(jī)必備的利器