素養(yǎng)導(dǎo)向下的高考數(shù)學(xué)
——新高考I卷(供山東省使用)試題分析

山東 楊長(zhǎng)智

新高考I卷(供山東省使用)試題是國家考試中心為山東省命制的高考試題(以下簡(jiǎn)稱山東卷)，試題以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))為依據(jù)，以高考評(píng)價(jià)體系為準(zhǔn)繩.命題突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，試題由能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，試題穩(wěn)中求變，變中求新，多項(xiàng)選擇題、半開放試題的出現(xiàn)體現(xiàn)了課改方向.

筆者參加了教學(xué)考試雜志社“優(yōu)師計(jì)劃”一輪基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)評(píng)體系(山東省)項(xiàng)目，這個(gè)項(xiàng)目適用于新高考地區(qū)高三學(xué)生一輪復(fù)習(xí)階段，其研發(fā)成果將作為一輪復(fù)習(xí)階段的基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè), 對(duì)一輪復(fù)習(xí)階段的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行檢驗(yàn)，故項(xiàng)目整體研發(fā)邏輯是構(gòu)建一個(gè)完善的知識(shí)體系，并擬定以原創(chuàng)試卷的形式結(jié)合測(cè)評(píng)體系，檢測(cè)學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)階段知識(shí)的薄弱點(diǎn)，實(shí)際高效地幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，為二輪復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ).

本文將從試題特點(diǎn)、項(xiàng)目匹配度、內(nèi)容主線、思維維度、教學(xué)啟示等方面對(duì)山東卷進(jìn)行分析.

一、試題特點(diǎn)

1.在題型和試卷結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了調(diào)整

山東卷的題型結(jié)構(gòu)為8個(gè)單選題，每題5分，共40分；4個(gè)多選題，每題5分，共20分；4個(gè)填空題，每題5分，共20分；6個(gè)解答題，共70分，其中有一道半開放試題.

原來高考題中單純的單項(xiàng)選擇題，存在著一定的猜測(cè)幾率，而多項(xiàng)選擇題，可以考查學(xué)生對(duì)每個(gè)選項(xiàng)的思考，減少了答題的隨機(jī)性，作為5分的選擇題，學(xué)生得3分的較多，更容易得到基礎(chǔ)分.多選題的多級(jí)得分模式有利于提高低水平考生的得分，也有利于區(qū)分出高能力考生.半開放試題的引入，增強(qiáng)試題條件的開放性，對(duì)數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力的考查能夠起到積極的作用.

2.試題背景設(shè)置彰顯立德樹人的育人目標(biāo)

山東卷強(qiáng)調(diào)應(yīng)用背景與前沿問題、現(xiàn)實(shí)及體育、勞育的銜接，第4題日晷問題將傳統(tǒng)文化與立體幾何完美結(jié)合；第6題再生數(shù)與“抗疫”結(jié)合；第12題信息熵與科技前沿聯(lián)系；第5、15題分別考查了體育、勞育；第19題環(huán)保問題讓學(xué)生意識(shí)到保護(hù)環(huán)境的重要性.從試題的背景來看，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)，堅(jiān)持立德育人.

3.注重?cái)?shù)學(xué)理性思維，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

山東卷注重對(duì)數(shù)學(xué)理性思維的考查，第7題正六邊形中的數(shù)量積問題，考查了數(shù)量積的運(yùn)算法則，利用坐標(biāo)運(yùn)算更加接近問題的本質(zhì)；第17題半開放試題，學(xué)生選擇可能不同，但考查的都是三角形中邊角的數(shù)量關(guān)系；第22 題橢圓問題，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查更加到位，從角度為直角可以得出直線恒過定點(diǎn).

4.從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，突出對(duì)核心素養(yǎng)的考查

22道題目，每道題都對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行了考查，雖然高考提倡“多一點(diǎn)思維，少一點(diǎn)運(yùn)算”，但不可否認(rèn)，運(yùn)算關(guān)仍然是制約學(xué)生成績(jī)提高的關(guān)鍵因素.直觀想象不單純是在立體幾何中考查，在第8，10，18題的函數(shù)、三角、數(shù)列中也有所體現(xiàn).

二、項(xiàng)目匹配度

從項(xiàng)目的考點(diǎn)細(xì)目表來看，設(shè)置內(nèi)容包括知識(shí)點(diǎn)的考查、試題的呈現(xiàn)方式、試題結(jié)構(gòu)、試題情境、數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)的落實(shí)及試題的難度系數(shù)等方面.從對(duì)山東卷的分析可以看出，我們的項(xiàng)目與國家命題中心的思路完全吻合.

1.知識(shí)點(diǎn)分布依據(jù)全國卷及新高考地區(qū)的考頻特點(diǎn)分布，整卷涉及知識(shí)點(diǎn)數(shù)不少于40個(gè).

2.題型與結(jié)構(gòu)

單選題8道、多選題4道、單空題3道、多空題1道(雖然今年高考沒有此題型，但近幾年的高考中都顯露出此信息)、解答題6道.

3. 試卷命題素材

命題情景創(chuàng)設(shè)(素材選擇)標(biāo)準(zhǔn)：堅(jiān)持科學(xué)性、反映時(shí)代性、體現(xiàn)民族性并凸顯公共性.素材本身無科學(xué)性錯(cuò)誤，不存在由于學(xué)生生活環(huán)境偏差導(dǎo)致的不公平測(cè)量結(jié)果的可能.素材主題積極向上，弘揚(yáng)民族精神.

4.試題情境

試題情境可分為課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境.

課程學(xué)習(xí)情境：選取的情境型材料直接源于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，材料所隱含的知識(shí)與方法之間的關(guān)聯(lián)也為學(xué)生所熟悉，相應(yīng)的情境活動(dòng)的進(jìn)行直接源于已有知識(shí)與方法的回憶性再現(xiàn).

探索創(chuàng)新情境：選取的情境型材料源于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，但材料的表述方式、材料所隱含的知識(shí)與方法之間的關(guān)聯(lián)，較為隱形地源于學(xué)生的已有學(xué)習(xí)體驗(yàn)或?qū)W習(xí)儲(chǔ)備.相應(yīng)情境活動(dòng)的進(jìn)行必須依賴于材料的創(chuàng)造性解讀與轉(zhuǎn)換、相關(guān)方法的創(chuàng)造性遷移與運(yùn)用.

生活實(shí)踐情境：選取的情境材料源于實(shí)際的社會(huì)生活問題(包括衣食住行、衛(wèi)生健康、文體娛樂、生產(chǎn)制造、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)等方面)，材料所隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法、數(shù)學(xué)問題模型的建構(gòu)和解決都較為直接地源于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備.

從山東卷分析可以得出課程學(xué)習(xí)情境題15道，探索創(chuàng)新情境題3道，生活實(shí)踐情境題4道，與 “優(yōu)師計(jì)劃”項(xiàng)目中試題的設(shè)置大致相當(dāng).

三、內(nèi)容主線

課標(biāo)將高中知識(shí)內(nèi)容分為預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)幾個(gè)方面，按四基中基礎(chǔ)知識(shí)層次，各部分設(shè)置分值如下表：

題號(hào)內(nèi)容分值知識(shí)點(diǎn) 預(yù)備知識(shí)(課時(shí):18)函數(shù)(課時(shí):82)幾何與代數(shù)(課時(shí):86)概率與統(tǒng)計(jì)(課時(shí):46)1集合52復(fù)數(shù) 53排列組合54立體幾何55統(tǒng)計(jì)56函數(shù)57向量58函數(shù)59圓錐曲線510三角函數(shù)511不等式512概率513圓錐曲線514數(shù)列515三角函數(shù)516立體幾何517三角函數(shù)1018數(shù)列1219概率1220立體幾何1221函數(shù)1222圓錐曲線12分值合計(jì)15595422分值占比0.10.3930.360.147課時(shí)占比0.0780.3530.3710.198

從上表可以看出，教學(xué)內(nèi)容與高考考查對(duì)應(yīng)分值占比大致相當(dāng)，這就提示我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)時(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，落實(shí)通性通法，不要為趕進(jìn)度壓縮課時(shí)，造成“夾生飯”現(xiàn)象.

四、思維維度

對(duì)每道題目的分析主要從以下幾個(gè)方面入手：知識(shí)點(diǎn)的考查、試題的呈現(xiàn)方式(文字題、圖表文字題、圖形文字題)、試題結(jié)構(gòu)(單一、綜合、創(chuàng)新或新定義)、試題情境(課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境)、數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)的落實(shí)及試題的難度系數(shù)等方面.

(一)預(yù)備知識(shí)

1.設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|2

A.{x|2

C.{x|1≤x<4} D.{x|1

【答案】C.

本題考查了集合的并集運(yùn)算，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)單一，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.9左右，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )

A.62% B. 56% C. 46% D. 42%

【答案】C.

本題以體育鍛煉為背景，考查集合內(nèi)容，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)單一，試題情境為生活實(shí)踐情境，需要有一定的閱讀理解能力，與韋恩圖結(jié)合，考查了數(shù)形結(jié)合思想，難度系數(shù)在0.8左右，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則( )

【答案】ABD.

本題以不等式為載體，對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.7左右，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(二)函數(shù)

6.基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) ( )

A. 1.2天 B. 1.8天

C. 2.5天 D. 3.5天

【答案】B.

本題與生物學(xué)融合，跨學(xué)科命題，考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)創(chuàng)新，試題情境為探索創(chuàng)新情境，基于新冠肺炎疫情初始階段累計(jì)感染病例數(shù)的數(shù)學(xué)模型的研究成果，考查相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)以及從資料中提取信息的能力，突出數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，需要有一定的閱讀理解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，難度系數(shù)在0.6左右，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

8.若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( )

A. [-1,1]∪[3,+∞)

B. [-3,-1]∪[0,1]

C. [-1,0]∪[1,+∞)

D. [-1,0]∪[1,3]

【答案】D.

本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，對(duì)思維的考查要求較高，難度系數(shù)在0.6左右，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

10.如圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖象，則sin(ωx+φ)= ( )

【答案】BC.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與變換，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是圖形文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.7左右，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14.將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．

【答案】3n2-2n.

本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和的公式，對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.8左右，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

本題以三角函數(shù)為載體，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是圖形文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為生活實(shí)踐情境，在考查幾何知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),難度系數(shù)在0.6左右，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

本題以三角函數(shù)為載體，題目屬于半開放試題，選擇權(quán)交給考生是個(gè)新意，充分體現(xiàn)了能力立意和情境創(chuàng)新的要求，對(duì)數(shù)形結(jié)合以及化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為探索創(chuàng)新情境，難度系數(shù)在0.7左右，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

18.已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8．

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100．

【答案】(Ⅰ)an=2n；(Ⅱ)S100=480.

本題以數(shù)列為載體，對(duì)函數(shù)與方程思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.6左右，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

21.已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

本題以導(dǎo)數(shù)為載體，對(duì)分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.3左右，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(三)幾何與代數(shù)

A. 1 B. -1 C. i D. -i

【答案】D.

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，學(xué)生需掌握共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)單一，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.8左右，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

4.日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為( )

A.20° B. 40° C. 50° D. 90°

【答案】B.

本題以中國的傳統(tǒng)文化日晷為背景，考查了線面角，對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是圖形文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為生活實(shí)踐情境，對(duì)閱讀理解能力要求較高，難度系數(shù)在0.6左右，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

A. (-2,6) B. (-6,2)

C. (-2,4) D. (-4,6)

【答案】A.

本題考查了平面向量數(shù)量積，對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，對(duì)思維的考查要求較高，“多考一點(diǎn)想的，少考一點(diǎn)算的”，難度系數(shù)在0.6左右，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

9.已知曲線C:mx2+ny2=1.( )

A. 若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

D. 若m=0，n>0，則C是兩條直線

【答案】ACD.

本題以曲線為載體，對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.7左右，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.8左右，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

本題以立體幾何為載體，題目涉及了直四棱柱、球、截面的有關(guān)知識(shí)，對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.3左右，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

(Ⅰ)證明：l⊥平面PDC；

(Ⅱ)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

本題以立體幾何為載體，對(duì)線面關(guān)系及角的度量進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是圖形文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.4左右，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

本題以橢圓為載體，對(duì)函數(shù)與方程思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.3左右，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(四)概率與統(tǒng)計(jì)

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有( )

A. 120種 B. 90種

C. 60種 D. 30種

【答案】C.

本題考查了排列組合，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)單一，試題情境為課程學(xué)習(xí)情境，難度系數(shù)在0.8左右，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

A. 若n=1，則H(X)=0

B. 若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D. 若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y)

【答案】AC.

本題以隨機(jī)變量為載體，對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為探索創(chuàng)新情境，考查學(xué)生獲取新知識(shí)的能力和對(duì)新問題的理解探究能力.難度系數(shù)在0.4左右，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

19.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5 和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：

SO2PM 2.5 [0,50](50,150](150,475]32184[0.35](35,75]6812(75,115]3710

(Ⅰ)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM 2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；

(Ⅱ)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：

SO2PM 2.5 [0,150](150,475][0,75](75,115]

(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？

P(K2≥k)0.050 0.0100.001k3.8416.63510.828

.

【答案】(Ⅰ)0.64；

(Ⅱ)

SO2PM2.5 [0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010

(Ⅲ)有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中的PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

本題以統(tǒng)計(jì)概率為載體，對(duì)概率及列聯(lián)表進(jìn)行了考查，試題的呈現(xiàn)形式是圖表文字題，試題結(jié)構(gòu)綜合，試題情境為生活實(shí)踐情境，難度系數(shù)在0.7左右，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

五、教學(xué)啟示

1.落實(shí)《課標(biāo)》教學(xué)目標(biāo)，注重教學(xué)的有效性

《課標(biāo)》指導(dǎo)和規(guī)范了整個(gè)高中教學(xué)過程，面向全體高中學(xué)生.在每部分內(nèi)容的后面，設(shè)置了“教學(xué)提示”，教師要結(jié)合提示落實(shí)每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).在教學(xué)過程中既要關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展，又要注重高考選拔的要求，以學(xué)生為中心，注重教學(xué)的有效性.

2.夯實(shí)四基，提高運(yùn)算能力

鮑建生教授指出：數(shù)學(xué)的四基是以認(rèn)知模塊的形式呈現(xiàn)出來的，在教學(xué)中要達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的積累、基本技能的演練、基本思想方法的形成，在三者的基礎(chǔ)上，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)填充其中；學(xué)生能夠在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，準(zhǔn)確的完成解題過程，這對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)有著較高的要求，教師要在每一節(jié)課，給足學(xué)生時(shí)間，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦.

3.注重能力發(fā)展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)