Gram-Charlier展開在生產(chǎn)和套期保值的應(yīng)用

陳玲菊

(1.閩江學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108；2.生態(tài)與資源統(tǒng)計(jì)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350108)

0 引言

近年來，Gilbert等應(yīng)用一種負(fù)指數(shù)效用函數(shù)和3階的泰勒展開近似式研究偏度對(duì)套期保值決策的影響[1]。由于泰勒展開在3階截尾，所以就無法考慮更高階的影響，如峰度。類似地，Lien運(yùn)用負(fù)指數(shù)效用函數(shù)分析偏度對(duì)最佳產(chǎn)量和套期保值決策的影響中使用的偏正態(tài)分布不是厚尾[2]。這些局限性啟發(fā)了Lien 和 Wang 使用厚尾的偏學(xué)生分布，但是該分布的4個(gè)系數(shù)并不一一對(duì)應(yīng)于股價(jià)的前4階矩，這樣就無法分離4階矩各自在策略中的作用[3]?；诖?，運(yùn)用Gram-Charlier (GC) 展開式作為半?yún)?shù)工具來放松通常的正態(tài)分布假設(shè)。由于GC分布的偏度和峰度對(duì)應(yīng)其參數(shù)，所以具有正態(tài)分布所沒有的彈性。因此，被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)分析。例如，Leon用GARCH-GC展開式模型研究股票和外匯市場，發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)高階矩模型具有更好的擬合預(yù)測能力[4]。王鵬和王建瓊利用GC展開式研究中國股票市場的高階矩波動(dòng)特征，其結(jié)果表明能描述偏度和峰度時(shí)變特征的高階矩波動(dòng)模型有著更強(qiáng)的刻畫現(xiàn)實(shí)的能力[5]。更多關(guān)于方差及高階矩在套期保值和資產(chǎn)分配等金融決策問題中的應(yīng)用，可參考文獻(xiàn)[6-9]。

基于以上的研究，本文嘗試將GC展開式應(yīng)用于生產(chǎn)和套期保值模型。由于GC分布的偏度和峰度對(duì)應(yīng)不同的參數(shù)，所以可以將偏度和峰度在套期保值中各自的作用分離出來，因此具有比較大的彈性。文章的主要工作是在將效用函數(shù)進(jìn)行GC展開的基礎(chǔ)上，討論最佳產(chǎn)量及最佳套期保值策略。由于本文是第一次將GC展開應(yīng)用于研究偏度和峰度對(duì)套期保值的影響，所以是對(duì)套期保值研究方法的一個(gè)拓展的一個(gè)嘗試，得到的結(jié)論也具一定的一般性。

1 基本模型

(1)

其中，H是遠(yuǎn)期合同中出售的產(chǎn)品數(shù)量。

參照文獻(xiàn)[2-3]定義效用函數(shù)具有指數(shù)形式U(ω)=-exp(-kω)，其中，ω為利潤，k>0為Arrow-Pratt 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避參數(shù)。

(2)

定理1效用函數(shù)的均值可以表示為

證明由(2)及指數(shù)效用函數(shù)可得

(3)

ξ(x,μπ,σπ,k)=cφ(x,μπ,σπ,k)。

(4)

因此, 有

(5)

(6)

(7)

最后，由式(3)-式(7)可得

證畢。

在定理1給出的效用函數(shù)的GC展開式的基礎(chǔ)上，討論最佳產(chǎn)量與最佳套期保值策略。

2 最佳產(chǎn)量

定理2存在最佳產(chǎn)量Q*,使得C′(Q*)=P。因此，即期價(jià)格的偏度和峰度對(duì)最佳生產(chǎn)決策沒有影響。

證明注意到μπ=μp(Q-H)+PH-C(Q),σπ=σp|Q-H|,Sπ=Sp，且

(8)

由于均值-方差套期保值者只考慮均值和方差而不考慮偏度和峰度，所以Sp=0，Kp=3，因此有l(wèi)nΔ(σπ,Sπ,Kπ)=0。對(duì)比均值-方差方法，式(8)中GC展開方法包含特殊項(xiàng)lnΔ(σπ,Sπ,Kπ)。接著對(duì)Q和H求偏導(dǎo)，可以得到其一階條件如下：

(9)

(10)

注意到?σπ/?H=σpsign(H-Q)=-?σπ/?Q，且

3 最佳套期保值策略

討論最佳套期保值決策的一階條件。

首先定義y=H-Q。當(dāng)y>0時(shí)為對(duì)沖過度，而y<0時(shí)為對(duì)沖不足。式(10)可以改寫為

(11)

令x=kσpy，則

(12)

令y*=H*-Q*是最佳的對(duì)沖過度(當(dāng)y*>0)或?qū)_不足(當(dāng)y*<0)量。如果Sp=0,Kp=3，則有

此時(shí)，y*是期貨市場的最佳遠(yuǎn)期頭寸,即最佳投機(jī)交易量。進(jìn)一步地，當(dāng)P=μp時(shí)y*=0，且y*獨(dú)立于Sp和Kp，這意味著當(dāng)遠(yuǎn)期交貨價(jià)格等于即期現(xiàn)貨價(jià)格時(shí)，不存在投機(jī)，即最佳期貨頭寸等于商品產(chǎn)量。

4 結(jié)論

本文對(duì)一類指數(shù)型效用函數(shù)的均值進(jìn)行正態(tài)分布的GC展開如定理1所示，然后利用定理1中效用函數(shù)均值的一階條件得到了最佳產(chǎn)量只取決于成本C(·)和遠(yuǎn)期價(jià)格P的結(jié)論。由于成本是嚴(yán)格的凸函數(shù)，所以最佳產(chǎn)量取值具有唯一性。這些結(jié)論在當(dāng)未來的現(xiàn)貨價(jià)格服從偏正態(tài)分布或偏t分布時(shí)仍然成立[2-3]。同時(shí)，運(yùn)用定理1中效用函數(shù)均值的一階條件，文章給出了投機(jī)不存在的條件，即在Sp=0,Kp=3條件下，當(dāng)遠(yuǎn)期交貨價(jià)格等于即期交貨價(jià)格均值時(shí)，最佳期貨頭寸等于商品產(chǎn)量。此時(shí)投機(jī)交易量與峰度或者偏度無關(guān)。 本文是GC展開式在生產(chǎn)與套期保值中應(yīng)用的初步探討。關(guān)于利用GC展開式研究偏度和峰度在套期保值策略中的應(yīng)用是未來研究工作的重點(diǎn)。