Gram-Charlier展開在生產(chǎn)和套期保值的應用

陳玲菊

(1.閩江學院數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院，福建 福州 350108；2.生態(tài)與資源統(tǒng)計福建省高校重點實驗室，福建 福州 350108)

0 引言

近年來，Gilbert等應用一種負指數(shù)效用函數(shù)和3階的泰勒展開近似式研究偏度對套期保值決策的影響[1]。由于泰勒展開在3階截尾，所以就無法考慮更高階的影響，如峰度。類似地，Lien運用負指數(shù)效用函數(shù)分析偏度對最佳產(chǎn)量和套期保值決策的影響中使用的偏正態(tài)分布不是厚尾[2]。這些局限性啟發(fā)了Lien 和 Wang 使用厚尾的偏學生分布，但是該分布的4個系數(shù)并不一一對應于股價的前4階矩，這樣就無法分離4階矩各自在策略中的作用[3]。基于此，運用Gram-Charlier (GC) 展開式作為半?yún)?shù)工具來放松通常的正態(tài)分布假設。由于GC分布的偏度和峰度對應其參數(shù)，所以具有正態(tài)分布所沒有的彈性。因此，被廣泛應用于金融數(shù)據(jù)分析。例如，Leon用GARCH-GC展開式模型研究股票和外匯市場，發(fā)現(xiàn)動態(tài)高階矩模型具有更好的擬合預測能力[4]。王鵬和王建瓊利用GC展開式研究中國股票市場的高階矩波動特征，其結(jié)果表明能描述偏度和峰度時變特征的高階矩波動模型有著更強的刻畫現(xiàn)實的能力[5]。更多關(guān)于方差及高階矩在套期保值和資產(chǎn)分配等金融決策問題中的應用，可參考文獻[6-9]。

基于以上的研究，本文嘗試將GC展開式應用于生產(chǎn)和套期保值模型。由于GC分布的偏度和峰度對應不同的參數(shù)，所以可以將偏度和峰度在套期保值中各自的作用分離出來，因此具有比較大的彈性。文章的主要工作是在將效用函數(shù)進行GC展開的基礎上，討論最佳產(chǎn)量及最佳套期保值策略。由于本文是第一次將GC展開應用于研究偏度和峰度對套期保值的影響，所以是對套期保值研究方法的一個拓展的一個嘗試，得到的結(jié)論也具一定的一般性。

1 基本模型

(1)

其中，H是遠期合同中出售的產(chǎn)品數(shù)量。

參照文獻[2-3]定義效用函數(shù)具有指數(shù)形式U(ω)=-exp(-kω)，其中，ω為利潤，k>0為Arrow-Pratt 風險規(guī)避參數(shù)。

(2)

定理1效用函數(shù)的均值可以表示為

證明由(2)及指數(shù)效用函數(shù)可得

(3)

ξ(x,μπ,σπ,k)=cφ(x,μπ,σπ,k)。

(4)

因此, 有

(5)

(6)

(7)

最后，由式(3)-式(7)可得

證畢。

在定理1給出的效用函數(shù)的GC展開式的基礎上，討論最佳產(chǎn)量與最佳套期保值策略。

2 最佳產(chǎn)量

定理2存在最佳產(chǎn)量Q*,使得C′(Q*)=P。因此，即期價格的偏度和峰度對最佳生產(chǎn)決策沒有影響。

證明注意到μπ=μp(Q-H)+PH-C(Q),σπ=σp|Q-H|,Sπ=Sp，且

(8)

由于均值-方差套期保值者只考慮均值和方差而不考慮偏度和峰度，所以Sp=0，Kp=3，因此有l(wèi)nΔ(σπ,Sπ,Kπ)=0。對比均值-方差方法，式(8)中GC展開方法包含特殊項lnΔ(σπ,Sπ,Kπ)。接著對Q和H求偏導，可以得到其一階條件如下：

(9)

(10)

注意到?σπ/?H=σpsign(H-Q)=-?σπ/?Q，且

3 最佳套期保值策略

討論最佳套期保值決策的一階條件。

首先定義y=H-Q。當y>0時為對沖過度，而y<0時為對沖不足。式(10)可以改寫為

(11)

令x=kσpy，則

(12)

令y*=H*-Q*是最佳的對沖過度(當y*>0)或?qū)_不足(當y*<0)量。如果Sp=0,Kp=3，則有

此時，y*是期貨市場的最佳遠期頭寸,即最佳投機交易量。進一步地，當P=μp時y*=0，且y*獨立于Sp和Kp，這意味著當遠期交貨價格等于即期現(xiàn)貨價格時，不存在投機，即最佳期貨頭寸等于商品產(chǎn)量。

4 結(jié)論

本文對一類指數(shù)型效用函數(shù)的均值進行正態(tài)分布的GC展開如定理1所示，然后利用定理1中效用函數(shù)均值的一階條件得到了最佳產(chǎn)量只取決于成本C(·)和遠期價格P的結(jié)論。由于成本是嚴格的凸函數(shù)，所以最佳產(chǎn)量取值具有唯一性。這些結(jié)論在當未來的現(xiàn)貨價格服從偏正態(tài)分布或偏t分布時仍然成立[2-3]。同時，運用定理1中效用函數(shù)均值的一階條件，文章給出了投機不存在的條件，即在Sp=0,Kp=3條件下，當遠期交貨價格等于即期交貨價格均值時，最佳期貨頭寸等于商品產(chǎn)量。此時投機交易量與峰度或者偏度無關(guān)。 本文是GC展開式在生產(chǎn)與套期保值中應用的初步探討。關(guān)于利用GC展開式研究偏度和峰度在套期保值策略中的應用是未來研究工作的重點。