關(guān)于復(fù)Hermite陣與實(shí)對(duì)稱陣的相似

許曉玲

(閩江學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

和實(shí)對(duì)稱矩陣一樣，(復(fù))Hermite陣是應(yīng)用非常廣泛的一類結(jié)構(gòu)矩陣。實(shí)對(duì)稱矩陣和Hermite陣有許多共同的地方，但多數(shù)人似乎通常只習(xí)慣于討論對(duì)稱陣而忽視了對(duì)Hermite陣的討論[1-12]. 事實(shí)上，從計(jì)算的角度來(lái)說(shuō)，這兩類矩陣最不同的地方是：復(fù)Hermite陣通常要涉及到復(fù)數(shù)的運(yùn)算，而實(shí)對(duì)稱矩陣則不需要。具體到特征值問(wèn)題來(lái)說(shuō)，眾所周知，Hermite陣酉相似于實(shí)對(duì)角陣，即復(fù)Hermite陣的特征值都是實(shí)的，但特征向量卻肯定是復(fù)的。由于復(fù)運(yùn)算的工作量通常是實(shí)運(yùn)算的4倍，因此如何減少計(jì)算Hermite陣特征對(duì)的復(fù)運(yùn)算量，顯然是一個(gè)有意義的、值得研究的問(wèn)題。1965年，著名的數(shù)值分析專家Wilkinson把一個(gè)N階復(fù)Hermite陣特征對(duì)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)2N階實(shí)對(duì)稱陣特征對(duì)的計(jì)算問(wèn)題，開(kāi)辟了一條通過(guò)變換方式將它的特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值問(wèn)題的處理之路[6]。具體來(lái)說(shuō)，假定A=B+iC是一個(gè)N階Hermite陣，其中B與C是N階實(shí)矩陣，i是一個(gè)虛數(shù)單位，那么容易證明：B是實(shí)對(duì)稱陣，C是實(shí)反對(duì)稱陣，2N階實(shí)對(duì)稱陣

(1)

的每個(gè)特征值都是偶數(shù)重的，是A的特征值。這樣就可以通過(guò)充分利用已有的實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的有效算法求出M的特征值，從而求出復(fù)Hermite陣A的特征值。但是由于轉(zhuǎn)化后得到的矩陣階數(shù)翻倍，因此能否針對(duì)這樣的2N階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值問(wèn)題設(shè)計(jì)出快速有效的算法，成為這種復(fù)轉(zhuǎn)實(shí)的轉(zhuǎn)換是否有意義的關(guān)鍵。

受文獻(xiàn)[13]想法的啟發(fā)，本文討論一種比Wilkinson給出的更有效的復(fù)轉(zhuǎn)實(shí)的轉(zhuǎn)化方式：研究有哪些特殊類型或形狀的N階復(fù)Hermite陣的特征值問(wèn)題只需要通過(guò)簡(jiǎn)單的酉相似變換可轉(zhuǎn)化為N階(而不是2N階)的實(shí)對(duì)稱陣特征值問(wèn)題來(lái)處理。包括三對(duì)角的和箭形的矩陣，很容易通過(guò)酉相似變換到與復(fù)Hermite矩陣同形狀的實(shí)對(duì)稱陣，這樣它的特征對(duì)就很容易通過(guò)酉相似變換后得到的同形的實(shí)對(duì)稱陣的特征對(duì)計(jì)算得到。

1 三對(duì)角和箭形Hermite矩陣與同形實(shí)對(duì)稱陣的相似

定理1復(fù)n階Hermite三對(duì)角矩陣

(2)

酉相似于實(shí)n階對(duì)稱三對(duì)角陣

(3)

證明構(gòu)造酉矩陣

P=diag(p0,p1,…,pn-1)

(4)

至于特征向量的計(jì)算，有

推論2只要|bi|=|ci|,i=1,2,…,n-1，那么兩n階三對(duì)角矩陣(不論是復(fù)Hermite矩陣還是實(shí)的對(duì)稱陣)。

都是(酉)相似的。

這個(gè)推論說(shuō)明，兩個(gè)同階的、對(duì)角相等的三對(duì)角矩陣，不論是復(fù)的Hermite矩陣還是實(shí)的對(duì)稱陣，只要它們相應(yīng)的次對(duì)角元的模(絕對(duì)值)相等，它們就是相似的。

定理1還有一個(gè)很有趣的推論。

推論3實(shí)對(duì)稱矩陣

與實(shí)對(duì)稱三對(duì)角矩陣

下面討論另一形狀的矩陣——箭形矩陣，得到完全類似于三對(duì)角Hermite矩陣的結(jié)果。

定理2復(fù)n階箭形Hermite矩陣

(5)

酉相似于實(shí)n階箭形實(shí)對(duì)稱矩陣

(6)

證明與定理1的證明類似，構(gòu)造酉矩陣

F=diag(f0,f1,…,fn-1)

(7)

其中，

下面兩個(gè)推論的證明類似推論1、推論2的證明。

推論5只要|di|=|ei|,i=1,2,……,n。那么，兩n階箭形矩陣(不論是復(fù)Hermite陣，還是實(shí)對(duì)稱陣)

都是(酉)相似的。

2 推廣與討論

很容易驗(yàn)證上節(jié)有關(guān)三對(duì)角和箭形Hermite矩陣的結(jié)果可推廣到諸如下面形狀的矩陣

但是，下面一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明并不是所有的復(fù)Hermite矩陣都會(huì)酉相似于一個(gè)實(shí)對(duì)稱陣。

例如：3階的復(fù)Hermite矩陣

事實(shí)上，A的3個(gè)近似特征值為-1.955 5，0.335 6，7.619 9，而對(duì)應(yīng)的同型實(shí)對(duì)稱矩陣