1T2R三自由度海浪發(fā)電裝置設(shè)計及運動學(xué)分析

趙裕明，金振林，2*，馮海兵

(1.燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.河北省重型智能制造裝備技術(shù)創(chuàng)新中心，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

海洋波浪能是清潔的、無污染的可再生能源，有效利用波浪能量對緩解能源危機、減輕環(huán)境污染具有重要的作用和意義。自1974年Salter提出了點頭鴨波能轉(zhuǎn)換裝置后[1]，世界各國相繼開始了海浪發(fā)電技術(shù)的探索與研究。海浪發(fā)電技術(shù)按照工作原理主要分為振蕩水柱式、振蕩浮體式和越浪式等形式[2-4]。近年來振蕩浮體式海浪發(fā)電技術(shù)的研究較多，其原理是利用浮體與機架的相對運動，將波浪能轉(zhuǎn)換為機械能進而做功發(fā)電。最為典型的是英國的Pelamis波能裝置、Oyster波能轉(zhuǎn)換裝置和美國的PowerBuoy裝置[5-7]，這些裝置已經(jīng)開始商業(yè)化運行?，F(xiàn)有的振蕩浮體式海浪發(fā)電裝置絕大多數(shù)為單自由度機構(gòu)[1，3，6-7]，能量轉(zhuǎn)化效率并不理想。海面自由浮體能夠?qū)崿F(xiàn)六維運動，主要是垂蕩與搖擺運動，如果海浪發(fā)電裝置的浮子能夠吸收采集三維運動的動能與勢能，必將提高裝置的能量采集與轉(zhuǎn)換效率。Chen Weixing、馬春翔等將并聯(lián)機構(gòu)作為海浪發(fā)電裝置的波浪能量采集轉(zhuǎn)換裝置[8-10]，目前這類研究較少。

本文提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)一維移動和二維轉(zhuǎn)動含有冗余支鏈的三自由度并聯(lián)機構(gòu)，基于該機構(gòu)設(shè)計了一種海浪發(fā)電裝置的波浪能量轉(zhuǎn)換裝置，采集波浪能的浮子與機構(gòu)的動平臺固接，浮子在波浪力作用下的垂蕩和搖擺運動即機構(gòu)動平臺的一移兩轉(zhuǎn)運動。相對并聯(lián)機構(gòu)而言，波浪力即為并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動力，3條RUS支鏈被動受力為末端執(zhí)行器，中間布置的平面四桿機構(gòu)不僅作為約束分支，同時也作為末端執(zhí)行器承受載荷，這時該機構(gòu)便成為含有冗余支鏈的三自由度并聯(lián)機構(gòu)。相比于六自由度能量轉(zhuǎn)換機構(gòu)，本文所研究的機構(gòu)能有效避免浮子隨波推移不易復(fù)位的問題。此外，3條RUS支鏈的球副均布在動平臺圓周邊緣，使浮子受力均勻，冗余支鏈在限制浮子運動的同時承擔部分波浪力，提高了裝置的發(fā)電能力。本文首先介紹了海浪發(fā)電裝置的原理以及波浪能量轉(zhuǎn)換裝置的原型機構(gòu)，之后依次對浮子運動學(xué)、并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)、裝置工作空間、運動學(xué)性能指標進行了分析，該研究為裝置的動力學(xué)分析、結(jié)構(gòu)尺度優(yōu)化及樣機研制提供了理論基礎(chǔ)。

2 波浪能量轉(zhuǎn)換裝置

圖1所示的海洋波浪能量轉(zhuǎn)換裝置(以下簡稱為波能轉(zhuǎn)換裝置)為海浪發(fā)電設(shè)備的核心部分，作用是吸收和采集波浪能量，并將其轉(zhuǎn)化為機械能，為后續(xù)的機械能轉(zhuǎn)化為電能做準備。波能轉(zhuǎn)換裝置安裝固定在海洋平臺上，海洋平臺可以懸停于海面上，也可與海底固接。波能轉(zhuǎn)換裝置主要由運動浮子、能量轉(zhuǎn)換機構(gòu)、運動轉(zhuǎn)換裝置組成。運動浮子漂浮在海面上，隨著波浪一起運動，充分吸收波浪能量；能量轉(zhuǎn)換機構(gòu)將浮子的動能和勢能轉(zhuǎn)換為支鏈末端連桿的擺動；運動轉(zhuǎn)換裝置將機構(gòu)支鏈末端連桿的擺動轉(zhuǎn)換成整周回轉(zhuǎn)運動，帶動液壓缸往復(fù)運動并產(chǎn)生高壓油液，進而驅(qū)動液壓馬達并帶動發(fā)電機組運轉(zhuǎn)，液壓管路上設(shè)有蓄能器用來穩(wěn)定液壓系統(tǒng)的壓力。

圖1 海浪發(fā)電裝置虛擬樣機Fig.1 Virtual prototype of the wave power generating device

波能轉(zhuǎn)換裝置的原型為并聯(lián)機構(gòu)，由平面四桿機構(gòu)和3-RUS機構(gòu)兩部分組成，如圖2所示。

圖2 波能轉(zhuǎn)換裝置機構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic diagram of mechanism of device

其中，3-RUS機構(gòu)中的RUS支鏈一端通過轉(zhuǎn)動副RPi與固定平臺相連，另一端通過球副SPi與動平臺相連，兩個活動桿件通過虎克鉸UPi相連。3個轉(zhuǎn)動副RPi均布于固定平臺等邊三角形的3個頂點上，3個球副SPi通過立柱APiSPi與動平臺固接，立柱APiSPi垂直于動平臺AP1AP2AP3，APi均布于以GP為圓心的圓周上；平面四桿機構(gòu)中轉(zhuǎn)動副R1，R4固定在機架上，轉(zhuǎn)動副R4與RP1和RP3同軸，轉(zhuǎn)動副R1，R4，RP1，RP3同在一豎直平面內(nèi)，連桿R2R3的延長線R3GP通過虎克鉸與動平臺中心GP點相連，四桿機構(gòu)所有轉(zhuǎn)動副軸線相互平行。平面四桿機構(gòu)限制動平臺中心點GP只能在平面內(nèi)做二維移動，其中豎直方向為主運動，水平方向為伴隨運動，同時動平臺具有繞中心點GP處虎克鉸兩正交且水平的軸線轉(zhuǎn)動，故機構(gòu)具有兩轉(zhuǎn)一移3個獨立自由度。由于機構(gòu)含有3條RUS支鏈，為含有冗余支鏈的并聯(lián)機構(gòu)。

3 浮子運動學(xué)分析

浮子運動學(xué)是波能裝置浮子設(shè)計的基礎(chǔ)[11]。建立空間定坐標系Qf-xfyfzf，Qfxfyf面與靜水平面重合，zf軸過初始狀態(tài)的浮子中心豎直向上，xf指向波浪傳播方向；動坐標系GP-x′y′z′建立在浮子質(zhì)心GP點，z′軸垂直于浮子上表面方向向上，x′軸與AP2GP重合，如圖1和圖2所示。

浮子運動的角位移用歐拉角表示，坐標系GP-x′y′z′相對于Qf-xfyfzf的轉(zhuǎn)角為γ，β，α，γ為橫搖運動轉(zhuǎn)角，即繞xf軸的轉(zhuǎn)角，β為縱搖運動轉(zhuǎn)角，即繞yf軸的轉(zhuǎn)角，α為首搖運動轉(zhuǎn)角，即繞zf軸的轉(zhuǎn)角，則坐標系Qf-xfyfzf與坐標系GP-x′y′z′的關(guān)系為：

(1)

波浪擾動力由弗勞德-克雷洛夫力和繞射力兩部分組成，可表示為：

(2)

某一時刻海浪傳播方向是固定的，浮子的瞬時運動為垂蕩與縱搖運動，垂蕩運動即浮子沿zf軸的上下移動，其耦合運動方程為：

(3)

求解式(3)可得浮子運動軌跡為：

(4)

一個波周范圍內(nèi)浮子運動總功率為：

(5)

波浪功率為寬度Bw的波浪能沿波長方向所傳送能流，表示為：

(6)

其中：cwg為群速，深水中cwg=cw/2，淺水中cwg=cw。

則波能轉(zhuǎn)換裝置浮子的能量采集效率為：

(7)

式(5)與式(6)中只含有波高Hw的二次項，故能量采集效率ηf的值與波高Hw無關(guān)。

設(shè)定3種浮子的形狀分別為豎直圓柱體、上下表面為正方形的長方體及球體。設(shè)豎直圓柱體浮子圓截面直徑為Df，3種浮子均有一半浸沒在海水中，浮子材料、高度、靜水平面截面積和吃水深度均相等，靜水中圓柱體與長方體的排水體積和質(zhì)量相等，具體參數(shù)見表1。

表1 3種浮子的主要參數(shù)

結(jié)合我國海域的實際情況[12]，在分析浮子形狀對能量采集效率影響時，取波浪周期T為4～7 s，海浪波高為2 m，綜合考慮浮子的加工制造、安裝、維護問題，以及海浪發(fā)電裝置的發(fā)電能力等因素，令圓柱形浮子直徑Df的取值范圍為2～12 m。在對比分析3種浮子能量采集效率時，以波浪周期和浮子中間水平截面尺寸為變量，繪制能量采集效率圖譜，進而分析浮子形狀和尺度對能量采集效率的影響。

(a)T=4 s

(b)T=5 s

(c)T=6 s

(d)T=7 s圖3 浮子尺寸與能量采集效率的關(guān)系Fig.3 Relationship between floater size and efficiency of energy collection

從圖3可以看出，圓柱體浮子的波浪能量采集效率始終比長方體浮子高；當浮子尺寸Df確定時，周期T在4～7 s間變化，圓柱體和長方體浮子的能量采集效率變動較大，球體浮子效率變化相對較小；圓柱體浮子適用于波浪周期變化較小的海域，球形浮子適用于波浪周期頻繁變化的海域。

4 波能轉(zhuǎn)換裝置運動學(xué)分析

4.1 波能轉(zhuǎn)換裝置位置分析

平面四桿機構(gòu)決定動平臺中心GP點只能在xOPz平面內(nèi)移動，由于海面上漂浮的浮子具有沿豎直方向的垂蕩運動和繞兩正交水平軸的搖擺運動，故設(shè)計平面四桿機構(gòu)時，期望GP點在xOPz平面內(nèi)只沿z軸豎直運動，無x方向的水平運動或相對運動較小。

圖4 平面四桿機構(gòu)簡圖Fig.4 Schematic diagram of four-bar mechanism in planar

θRi(i=1，2，3)為R1R2桿、R2R3桿、R4R3桿與z軸負方向所成的角度，如圖4所示，矢量方程為：

R1R2+R2R3-R4R3-R1R4=0，

(8)

其中：R1R2，R2R3，R4R3，R1R4分別為R1R2桿、R2R3桿、R4R3桿、R1R4桿的矢量。

將式(8)展開整理得：

(9)

解方程得四桿機構(gòu)R2處轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角為：

(10)

坐標系OP-xyz中GP點的矢量閉環(huán)方程為：

rGP=OPR3+R3GP=lR3nR3+lR5nR5，

(11)

其中：nR3=[sinθR3，0，-cosθR3]T，nR5=[sinθR2，0，-cosθR2]T，OPR3為R4R3桿的矢量，nR3為其單位矢量；R3GP為R3GP桿矢量，nR5為其單位矢量。

將式(11)展開整理得動平臺中心GP點的位置為：

(12)

聯(lián)立式(12)建立動平臺的平動伴隨關(guān)系為：

(13)

設(shè)計四桿機構(gòu)使動平臺中心GP點沿z軸做垂蕩運動，而沿x軸的伴隨運動數(shù)值越小越好。平面四桿機構(gòu)幾何參數(shù)為lR1，lR2，lR3，lR4，lR5，結(jié)合式(10)和式(12)的GP點軌跡數(shù)學(xué)模型，借助MATLAB根據(jù)期望的末端軌跡進行四桿機構(gòu)尺度設(shè)計，最終確定各桿件的尺度關(guān)系為：

lR1∶lR2∶lR3∶lR4∶lR5=1∶2.5∶2.5∶2∶2.5.

(14)

通過分析可知，滿足式(14)的尺度比例且當lR1=1時，動平臺GP點沿z軸在[-2.2，1.7]范圍內(nèi)運動時，x方向最大波動量在0.009以內(nèi)，完全能夠滿足波浪能量轉(zhuǎn)換裝置的工況要求。式(10)和式(12)即為平面四桿機構(gòu)位置正反解。

3-RUS機構(gòu)的位置分析即確定動平臺位姿zGP，β，γ與各支鏈連架桿RPiUPi轉(zhuǎn)角位置間的關(guān)系。

固定平臺上RPi點在定坐標系OP-xyz中的位置矢量RPi可以表示為：

RPi=[rh(cosφPi-cos 60°)，rhsinφPi，0]T，

(15)

其中φPi=(2i-1)π/3.

(16)

桿件SPiGP在定坐標系OP-xyz中的位置矢量rSGi展開表示為：

(17)

構(gòu)造矢量閉環(huán)方程：

(18)

其中：nPi=[cosθPi，0，sinθPi]T，RPiUPi為RPiUPi桿的矢量，nPi為其單位矢量，θPi為桿件RPiUPi軸線與x軸正方向所成的角度；UPiSPi為UPiSPi桿的矢量，wPi為其單位矢量。

將式(18)中l(wèi)P2wPi移到等號一端并對等式兩端同時取范數(shù)得：

(19)

將式(15)～式(17)代入式(19)得到3-RUS機構(gòu)連架桿RPiUPi的轉(zhuǎn)角θPi(i=1，2，3)為：

(20)

4.2 波能轉(zhuǎn)換裝置速度分析

式(11)各項分別對時間求導(dǎo)得：

(21)

vh=[vhx，vhy，vhz]T，

將式(21)展開表示為：

(22)

聯(lián)立式(9)的方程組消去θR1后，各項分別對時間求導(dǎo)并整理得：

(23)

TR23=(-lR2lR3cosθR2sinθR3+lR3lR4sinθR3+
lR2lR3sinθR2cosθR3)/(lR2lR3sinθR2cosθR3-
lR2lR3cosθR2sinθR3+lR2lR4sinθR2).

將式(23)代入式(22)得平面四桿機構(gòu)的速度映射關(guān)系為：

(24)

其中：Tvhx=1/(lR3cosθR3+TR23lR5cosθR2)，Tvhz=1/(lR3sinθR3+TR23lR5sinθR2).

聯(lián)立式(24)得動平臺線速度伴隨關(guān)系為：

(25)

球副Si點的速度vSPi可表示為：

vSPi=vh+ωh×rSGi，

(26)

其中ωh為動平臺的角速度。

將式(26)表示成矩陣形式為：

(27)

式(18)中各項對時間求導(dǎo)得：

(28)

式(28)各項同時點乘wPi化簡整理得：

(29)

將式(26)代入式(29)得：

(30)

結(jié)合式(24)與式(30)，將波能轉(zhuǎn)換裝置機構(gòu)支鏈端速度與動平臺位姿速度的映射關(guān)系統(tǒng)一寫成矩陣形式為：

(31)

(32)

由式(31)和式(32)得到波能轉(zhuǎn)換裝置機構(gòu)的速度映射關(guān)系為：

(33)

Jh=JhtJhu，

其中：Jh表示波能轉(zhuǎn)換裝置機構(gòu)的速度雅克比矩陣，Jh∈R4×3。

4.3 波能轉(zhuǎn)換裝置加速度分析

式(22)各項分別對時間求導(dǎo)得：

(34)

式(23)中各項分別對時間求導(dǎo)整理得：

(35)

將式(23)、式(24)和式(35)代入式(34)整理得動平臺線加速度與R4R3桿的角加速度關(guān)系為：

(36)

式(30)各項分別對時間求導(dǎo)得：

(37)

式(27)兩端分別對時間求導(dǎo)得：

(38)

又有矢量UPiSPi可表示為：

lP2wPi=SPi-(RPi+lP1nPi).

(39)

式(39)各項對時間求導(dǎo)整理得：

(40)

將式(27)、式(30)、式(38)和式(40)代入式(37)整理得：

(41)

(42)

(43)

其中：Hhu1∈R3×3，Hhu1中第3行第3列的元素(Hhu1)3，3=TAhx-(TvhzTAhz)/Tvhx，其余元素均為0。

5 運動學(xué)仿真

設(shè)波能轉(zhuǎn)換裝置機構(gòu)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：lR1=2 m，lR2=5 m，lR3=5 m，lR4=4 m，lR5=5 m，lP1=9.5 m，lP2=1.4 m，lP3=1.5 m，rh=2.5 m。設(shè)動平臺的運動軌跡為：

(44)

借助MATLAB編程，得到機構(gòu)支鏈末端的理論角位移、理論角速度和理論角加速度，如圖5(a)～5(c)所示；利用軟件ADAMS對機構(gòu)進行運動學(xué)仿真，得到機構(gòu)的機構(gòu)支鏈末端的仿真角位移、仿真角速度和仿真角加速度，如圖5(d)～5(f)所示。

通過對比圖5(a)～5(c)與圖5(d)～5(f)可知，MATLAB理論計算曲線與ADAMS模型仿真曲線完全一致，驗證了機構(gòu)運動學(xué)推導(dǎo)的正確性；另外，機構(gòu)速度、加速度曲線變化連續(xù)、平滑，動力學(xué)性能較好。

(a)理論角位移(a)Theoretical angular displacement

(b)理論角速度(b)Theoretical angular velocity

(c)理論角加速度(c)Theoretical angular acceleration

(d)仿真角位移(d)Simulation angular displacement

(e)仿真角速度(e)Simulation angular velocity

(f)仿真角加速度(f)Simulation angular acceleration圖5 機構(gòu)角位移、角速度及角加速度理論、仿真曲線Fig.5 Theoretical and simulation curves of angular displacement，angular velocity and angular acceleration of the mechanism

6 工作空間分析

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間決定波浪能量轉(zhuǎn)換裝置浮子的運動能力。由于海洋波浪傳播方向的不確定性，故取機構(gòu)的靈活工作空間，即動平臺中心GP點在z方向的不同位置處，β，γ所達到的轉(zhuǎn)角集合。

對于波能轉(zhuǎn)換裝置機構(gòu)，運動副的運動范圍及桿件間的干涉限定了動平臺的工作空間。

轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角約束為：

(45)

其中：θR4為R1R2桿與R2R3桿之間的夾角，θR5為R4R3桿與R3GP桿之間的夾角。

球副與虎克鉸的轉(zhuǎn)角約束范圍為：

(49)

虎克鉸UP2與R3GP桿、R3R4桿間的干涉可以通過合理設(shè)計連桿的形狀來避免，但轉(zhuǎn)動副R3和虎克鉸UP2的位置無法調(diào)整，故其運動副中心點的距離應(yīng)滿足約束條件：

DRU≥1 m.

(50)

結(jié)合式(45)～式(50)及波能轉(zhuǎn)換裝置位置反解利用極坐標搜索法繪制機構(gòu)工作空間三維圖，如圖6所示。

圖6 機構(gòu)工作空間三維圖Fig.6 Three-dimensional graph of workspace

通過分析圖6和圖7可知，工作空間沿OPxz平面對稱，與機構(gòu)的對稱性相吻合，當浮子沿z軸的運動范圍為-3～0時，浮子能夠繞任意水平軸轉(zhuǎn)動±10°，減小z向的移動范圍，能夠增大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動能力，合理調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)能夠增大工作空間。

7 運動學(xué)性能評價指標

機構(gòu)的運動學(xué)傳遞性能與波能轉(zhuǎn)換裝置的壽命和能量損失有直接關(guān)系。海浪發(fā)電裝置通過浮子運動來采集波浪能量，然后通過波能轉(zhuǎn)換裝置將運動傳遞到運動轉(zhuǎn)換裝置，之后可以直接帶動發(fā)動機運轉(zhuǎn)，也可以轉(zhuǎn)換為液壓能再帶動發(fā)電機運轉(zhuǎn)。如果轉(zhuǎn)換過程采用液壓系統(tǒng)傳遞能量，在液壓缸所受被動力和缸徑一定的前提下，油液流速與支鏈末端角速度成正比，液壓系統(tǒng)中油液流速過高會導(dǎo)致能量損失過大，且液壓元件急速動作產(chǎn)生沖擊會損壞液壓系統(tǒng)，還容易使管道產(chǎn)生振動。另外，機構(gòu)支鏈末端角速度的響應(yīng)快慢直接影響運動轉(zhuǎn)換裝置和液壓缸的使用壽命。

利用雅克比矩陣的最小奇異值來控制支鏈末端桿件的角速度[17]，最小奇異值越大，支鏈末端桿件對浮子運動的響應(yīng)越慢，即浮子運動速度一定的前提下，最小奇異值越大，末端桿件的角速度越小，雅克比矩陣的最小奇異值可表示為：

(51)

根據(jù)圖6所示的工作空間，令zGP分別取值為[1，0，-1，-2，-3，-4]，利用式(51)繪制工作空間內(nèi)運動學(xué)性能指標σ分布圖，如圖7所示。

(a)zGP=1 m

(b)zGP=0

(c)zGP=-1 m

(d)zGP=-2 m

(e)zGP=-3 m

(f)zGP=-4 m圖7 運動學(xué)性能指標在工作空間內(nèi)分布圖Fig.7 Distribution of kinematic performance index in the workspace

通過分析圖7可知，運動性能評價指標σ的分布沿軸線γ=0對稱，與機構(gòu)結(jié)構(gòu)的對稱性相吻合，浮子在z向不同位置時，σ的變化范圍均不大，介于0.15～0.3之間，且浮子轉(zhuǎn)角在靠近工作空間中心位置時，運動學(xué)性能相對較優(yōu)。

8 結(jié) 論

本文提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)一維移動和二維轉(zhuǎn)動且含有冗余支鏈的三自由度并聯(lián)機構(gòu)，并基于該機構(gòu)設(shè)計了海浪發(fā)電裝置的能量采集轉(zhuǎn)換機構(gòu)。首先浮子垂蕩與縱搖運動的耦合方程以及建立了浮子形狀和尺寸與波浪能量采集效率的關(guān)系。然后建立了機構(gòu)動平臺與支鏈的速度、加速度映射關(guān)系，利用ADAMS軟件仿真驗證了理論模型的正確性。最后求解了機構(gòu)的工作空間，基于雅克比矩陣的最小奇異值分析了機構(gòu)的運動學(xué)性能。結(jié)果表明：圓柱體浮子適用于波浪周期變化較小的海域，球形浮子適用于波浪周期變化較大的海域；機構(gòu)的工作空間滿足海浪發(fā)電裝置浮子的運動要求，且在工作空間內(nèi)機構(gòu)的運動學(xué)性能良好，靠近工作空間中心處性能最優(yōu)。