激光跟蹤儀多測站抗差馬氏光束法平差

郭迎鋼，趙文斌，李宗春，張冠宇，楊 浩

(1. 戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001；2. 中國科學(xué)院 上海高等研究院，上海 201800)

1 引 言

激光跟蹤儀是將精密激光測距技術(shù)和精密角度測量技術(shù)相結(jié)合而研發(fā)出的一款精密測量儀器[1-2]，坐標測量精度可達幾十微米，具有快速、動態(tài)、高精度等特點，在航空航天、機械加工制造、大型設(shè)備精密安裝、計量檢定等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[3-7]。為了提高基于激光跟蹤儀空間坐標測量的精度、效率和適用范圍，國內(nèi)外學(xué)者從儀器現(xiàn)場檢定與校準[8-9]、合作目標檢測[10]、建網(wǎng)模式優(yōu)化[11-12]、解算模型完善[13]、測量不確定度評定[14]、受限空間內(nèi)精密坐標傳遞[15]等方面開展了廣泛而深入的研究。

在大型復(fù)雜設(shè)備安裝測量及空間目標姿態(tài)測量中，由于被測目標尺寸較大或者存在遮擋，難以在一個測站完成測量任務(wù)，需要多次設(shè)站或者多臺儀器聯(lián)合測量[16]，因此需要對多測站進行平差解算，同時求解被測點坐標及激光跟蹤儀測站的位置和姿態(tài)參數(shù)。激光跟蹤儀的多測站數(shù)據(jù)處理涉及函數(shù)模型、隨機模型的建立，平差基準的選擇，粗差的定位與剔除等問題，作為一個研究熱點，許多學(xué)者圍繞這些問題進行了研究[17-19]。關(guān)于激光跟蹤儀多測站平差模型的研究，1998年，Meid[20]對激光跟蹤儀光束法平差的權(quán)重、約束條件等進行了研究，提出了加權(quán)光束法平差模型。2002年，Calkins[21]在光束法平差的基礎(chǔ)上研究了統(tǒng)一平差計量網(wǎng)絡(luò)(Unified Spatial Metrology Network，USMN)，并應(yīng)用于Spatial Analyzer(SA)軟件。2010年，Predmore[22]在考慮每個測量點不確定度橢球的形狀和方向的基礎(chǔ)上，基于多元統(tǒng)計中的馬氏距離建立目標函數(shù)進行多測站觀測數(shù)據(jù)的平差解算，取得了很好的應(yīng)用效果。2012年，周維虎等人[23]基于光束法平差模型研究了激光跟蹤儀測量精度的評定方法。2018年，丁陽等人[24]研究了基于光束法平差的多測站激光跟蹤儀數(shù)據(jù)處理，并指出觀測值權(quán)值對平差結(jié)果影響較大。

受文獻[22]的啟發(fā)，本文對激光跟蹤儀多測站抗差馬氏光束法平差展開研究。在傳統(tǒng)激光跟蹤儀光束法平差的基礎(chǔ)上，引入馬氏距離的概念對平差準則進行改造，由原來的使“觀測值改正數(shù)加權(quán)平方和最小”改造為使“觀測值到加權(quán)平均值的馬氏距離平方和最小”，并在計算加權(quán)平均坐標時對粗差觀測值進行剔除，構(gòu)建了激光跟蹤儀多測站抗差馬氏光束法平差模型。然后利用仿真試驗和實測數(shù)據(jù)試驗，對該模型的適用性及解算精度進行了測試。

2 算法原理

2.1 激光跟蹤儀多測站測量

設(shè)激光跟蹤儀的水平角觀測值為H，垂直角觀測值為E，斜距觀測值為S，則第k號點在測站坐標系下的坐標為：

(1)

如圖1所示，3臺激光跟蹤儀分別按自由設(shè)站法測量了空間內(nèi)分布的一些控制點。由于不同測站觀測的點坐標屬于獨立的測站坐標系，為了獲取控制點在空間全局坐標系內(nèi)的坐標，需要將多測站的測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的測量坐標系下。

圖1 激光跟蹤儀多測站測量示意圖Fig.1 Schematic diagram of laser tracker multi-station measurement

以三維七參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型為基礎(chǔ)進行坐標轉(zhuǎn)換。由于激光跟蹤儀測距精度很高，各測站的尺度因子取為1，以第1測站為基準測站，第i測站坐標系先繞X軸旋轉(zhuǎn)α、再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β、再繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ，再平移至第1測站坐標系的坐標轉(zhuǎn)換模型為：

(2)

令R=R(γ)R(β)R(α)，則：

(3)

式(2)也可表示為：

(4)

2.2 光束法平差模型

假設(shè)激光跟蹤儀在空間內(nèi)布設(shè)了m個測站，對p個控制點進行了測量，則未知參數(shù)個數(shù)為：

t=6(m-1)+3p.

(5)

設(shè)總觀測數(shù)為n，則多余觀測數(shù)為：

r=n-t.

(6)

V=AδX+l，

(7)

iΣk=BΣLBT，

(8)

其中：

根據(jù)觀測向量的協(xié)方差陣定權(quán)，即：

(9)

式中σ0為單位權(quán)中誤差。

以VTPV=min為平差準則，使所有目標點觀測值相對于坐標最或然值的歐氏距離加權(quán)平方和最小，同時解算未知參數(shù)(包括控制點在測量坐標系內(nèi)的三維坐標及測站坐標系向測量坐標系轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)、平移參數(shù))的最小二乘解，此即為激光跟蹤儀多測站傳統(tǒng)光束法平差(Traditional Bundle Adjustment，TBA)模型。

2.3 抗差馬氏光束法平差模型

由式(8)可以得到第k號點在第i測站坐標系下坐標(ixk，iyk，izk)的協(xié)方差陣Σk。設(shè)第i測站坐標系到第1測站坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣為(1Ri)T，則該測站觀測的第k號點在第1測站坐標系下的坐標iXk=[1Xk，1Yk，1Zk]T對應(yīng)的協(xié)方差陣為：

(10)

設(shè)m個測站均觀測了第k號點，由于每個測站的觀測值相互獨立，根據(jù)誤差傳播定律，第k號點的協(xié)方差矩陣：

(11)

(12)

由馬氏距離的定義可知，第i測站觀測第k號點的觀測值iXk到加權(quán)平均坐標μk的馬氏距離：

(13)

m個測站均觀測了第k號點，文獻[22]中定義第k號點對應(yīng)的平均馬氏距離為：

(14)

然后以所有控制點的平均馬氏距離平方和最小為平差準則，即：

(15)

文獻[22]只考慮了觀測值的先驗精度，如果觀測值中存在粗差，但其先驗精度與其他觀測值并無區(qū)別，按照式(10)～ 式(15)進行計算難以抵抗粗差觀測值對解算結(jié)果的影響。而且，第k號點的協(xié)方差陣Σk是由其三維坐標的方差及協(xié)方差構(gòu)成的。已知3×3行列式的幾何意義為其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積[25]，式(14)中將第k號點協(xié)方差矩陣行列式值的立方根|Σk|1/3作為權(quán)因子來求平均馬氏距離，這種加權(quán)方法會使精度低、方差及協(xié)方差大的點在計算平均馬氏距離時擁有更大的權(quán)重，是不合理的。

為此，本文在文獻[22]的基礎(chǔ)上進行改進。記第j測站觀測值對應(yīng)坐標jXk到加權(quán)平均坐標μk的殘差為jvk，則：

(16)

然后判斷ivk是否大于3倍單位權(quán)中誤差。若是ivk大于3倍單位權(quán)中誤差，則在計算第k號點的協(xié)方差矩陣及加權(quán)平均坐標時，第j測站對應(yīng)的協(xié)方差和點坐標均不參與計算。即式(11)改為：

(17)

將式(12)改為：

(18)

定義第k號點對應(yīng)的馬氏距離：

(19)

然后以所有控制點的馬氏距離平方和最小為平差準則，即：

(20)

據(jù)此，同時求解控制點在測量坐標系下的三維坐標及測站坐標系向測量坐標系轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)、平移參數(shù)，稱之為抗差馬氏光束法平差(Robust Mahalanobis Bundle Adjustment，RMBA)模型。

3 試驗與分析

為了驗證RMBA模型的適用性及其解算精度，進行了仿真試驗和實測數(shù)據(jù)試驗。美國New River Kinematics 公司的SA軟件是一款功能強大的工業(yè)測量軟件，常用于處理激光跟蹤儀多測站觀測數(shù)據(jù)，經(jīng)受了粒子加速器準直安裝、航空航天部件裝配、計量檢定等領(lǐng)域的測量實踐考驗，其解算結(jié)果可以作為本文方法的比對對象。

3.1 仿真數(shù)據(jù)試驗

設(shè)計了6 m×4 m×2 m空間內(nèi)分布的12個控制點，擬用Leica AT402激光跟蹤儀在4個測站位置分別觀測這12個控制點?？刂泣c及測站坐標見表1，空間分布如圖2所示。

表1 控制點及測站坐標

圖2 激光跟蹤儀多測站模擬測量試驗布局Fig.2 Simulation experiment layout of laser tracker multi-station measurement

以MATLAB為工具進行了模擬測量。根據(jù)12個控制點及4個測站的已知坐標，按照水平角1.5″、垂直角1.8″、斜距0.5 μm/m×D的測量精度，在相應(yīng)的觀測值上加入隨機誤差，模擬生成了每個測站的觀測值。以第1測站坐標系為測量坐標系，分別按照TBA，RMBA，文獻[22]方法和SA軟件(2019.09.10版)4種方式處理仿真數(shù)據(jù)，解算的12個控制點在測量坐標系下的坐標與真值的三維偏差及其均方根(RMS)如表2所示。

表2 控制點三維坐標偏差及其均方根

由表2可以看出，對于該組模擬數(shù)據(jù)，TBA解算結(jié)果的坐標偏差均方根為0.057 mm，文獻[22]方法解算結(jié)果的坐標偏差均方根為0.040 mm，SA軟件解算結(jié)果的坐標偏差均方根與文獻[22]方法的結(jié)果相近，為0.041 mm，本文提出的RMBA模型解算結(jié)果的坐標偏差均方根為0.031 mm。結(jié)果表明，TBA的解算精度最低，本文方法的解算精度優(yōu)于文獻[22]方法與SA軟件的解算精度。

為了驗證4種方法解算效果的穩(wěn)定性，按照同樣的方式隨機又生成了10組模擬數(shù)據(jù)，對比4種方法對應(yīng)的12個控制點坐標與真值的三維偏差均方根如表3所示。

表3 控制點三維坐標偏差均方根

由表3可以看出，10組模擬數(shù)據(jù)的測試結(jié)果中，TBA的三維偏差均方根最大，文獻[22]方法的三維偏差均方根在大部分情況下小于SA的結(jié)果，RMBA的三維偏差均方根均為最小，與表2中的結(jié)論一致，驗證了4種方法解算效果的穩(wěn)定性。

模擬測量試驗的范圍在10 m以內(nèi)，測量精度約為±0.075 mm。為了測試不同方法的抗差性，在表2對應(yīng)的模擬數(shù)據(jù)中測站1照準Q1的測距觀測值加上0.20 mm，將其改造為粗差觀測值。分別用4種方法處理此含有粗差的模擬觀測數(shù)據(jù)，解算結(jié)果如表4所示。

表4 控制點三維坐標偏差及均方根(含粗差)

對比表4和表2可知，在觀測值中加入粗差后，TBA解算的控制點三維坐標偏差均方根由0.057 mm增大為0.127 mm，且所有點對應(yīng)的三維坐標偏差均明顯變大，表明粗差觀測值影響了所有點坐標的解算結(jié)果。文獻[22]方法解算的控制點三維坐標偏差均方根由0.057 mm增大為0.120 mm，與TBA結(jié)果不同的是，文獻[22]結(jié)果中只有Q1點的三維坐標偏差明顯變大，其余點的三維坐標偏差未受到明顯影響。SA軟件解算結(jié)果的坐標偏差均方根由0.041 mm變?yōu)?.042 mm，幾乎未受到影響。RMBA方法的坐標偏差均方根由0.034 mm變?yōu)?.029 mm，與加入粗差前的結(jié)果相比甚至精度略有提高。分析其原因是，粗差對應(yīng)的協(xié)方差和坐標值均未參與加權(quán)平均坐標的計算，相當(dāng)于將第1測站照準Q1的所有觀測值剔除，其計算結(jié)果有可能比原始觀測值的計算結(jié)果更優(yōu)。

為了進一步測試4種方法針對不同位置、不同大小、不同類型粗差的抗差性，設(shè)計了如下5組帶有粗差的觀測數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)一：在模擬數(shù)據(jù)中，測站1照準Q1的測距觀測值加上0.50 mm，將其改造為粗差觀測值，其余觀測數(shù)據(jù)不變。

數(shù)據(jù)二：在模擬數(shù)據(jù)中，測站1照準Q1、測站3照準Q8的測距觀測值加上0.20 mm，將其改造為粗差觀測值，其余觀測數(shù)據(jù)不變。

數(shù)據(jù)三：在模擬數(shù)據(jù)中，測站1照準Q1、測站3照準Q8的測距觀測值加上0.50 mm，將其改造為粗差觀測值，其余觀測數(shù)據(jù)不變。

數(shù)據(jù)四：在模擬數(shù)據(jù)中，測站1照準Q1的水平角觀測值加上10″，將其改造為粗差觀測值，其余觀測數(shù)據(jù)不變。

數(shù)據(jù)五：在模擬數(shù)據(jù)中，測站1照準Q1、測站3照準Q8的水平角觀測值加上10″，將其改造為粗差觀測值，其余觀測數(shù)據(jù)不變。

分別用四種方法處理這5組含有粗差的模擬觀測數(shù)據(jù)，解算結(jié)果與設(shè)計坐標的三維坐標偏差均方根統(tǒng)計如表5所示。

由表5中數(shù)據(jù)一、數(shù)據(jù)二和數(shù)據(jù)三對應(yīng)的結(jié)果可以看出，當(dāng)觀測值中含有測距粗差時，TBA和文獻[22]方法的三維坐標偏差均方根與表2中的RMS相比明顯變大；SA和RMBA的結(jié)果與表2中的RMS相比略有增大，但仍保持在同一量級。由數(shù)據(jù)四和數(shù)據(jù)五的結(jié)果可以看出，當(dāng)觀測值中含有測角粗差時，除了TBA外，其余3種方法的三維坐標偏差均方根無明顯變化，分析其原因是由于該算例的測量范圍較小，距離較近，由測角誤差引起的點位偏差較小，導(dǎo)致平差結(jié)果對測角粗差不敏感?？偟膩砜矗琓BA和文獻[22]的抗差性較弱，SA軟件與本文算法均能夠有效抵抗粗差觀測值的影響，解算精度與處理無粗差觀測數(shù)據(jù)的精度基本保持在同一量級。

表5 5組粗差數(shù)據(jù)的三維坐標偏差均方根

3.2 實測數(shù)據(jù)試驗

利用1臺Leica AT402激光跟蹤儀在上海光源實驗大廳按自由設(shè)站法采集了4個測站的數(shù)據(jù)，共有42個控制點，測量場景如圖3所示。圖3中，點 5到點BD821的距離約為100 m。

圖3 實測數(shù)據(jù)試驗測量場景示意圖Fig.3 Schematic diagram of measurement situ of actual data experiment

SA軟件經(jīng)受了眾多實踐應(yīng)用的考驗，可以用其他方法的解算結(jié)果與SA的解算結(jié)果公共點轉(zhuǎn)換后的點位偏差來評價其精度。分別用TBA、文獻[22]方法、RMBA及SA軟件處理這4個測站的實測數(shù)據(jù)，將4組平差結(jié)果轉(zhuǎn)換至同一坐標系后，求TBA、文獻[22]方法與RMBA解算的控制點坐標到SA解算的控制點坐標的偏差，結(jié)果統(tǒng)計情況如表6～表8所示。

已知SA軟件處理這4個測站實測數(shù)據(jù)的點位中誤差為0.05 mm，最大點位誤差為0.21 mm。對比表6～表8可知，TBA解算的控制點坐標與SA解算的控制點坐標最大偏差達0.45 mm，三維坐標偏差均方根為0.24 mm，與SA結(jié)果的差異較大。文獻[22]方法的計算結(jié)果與SA解算的控制點坐標最大偏差達0.21 mm，三維坐標偏差均方根為0.11 mm。RMBA解算的控制點坐標與SA解算的控制點坐標最大偏差為0.21 mm，三維坐標偏差均方根為0.07 mm，表明RMBA的平差結(jié)果與SA軟件的平差結(jié)果在同一精度量級。

表6 TBA解算的坐標與SA解算坐標的偏差統(tǒng)計

表7 文獻[22]方法解算的坐標與SA解算坐標的偏差統(tǒng)計

表8 RMBA解算的坐標與SA解算坐標的偏差統(tǒng)計

4 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)激光跟蹤儀多測站光束法(TBA)平差模型的基礎(chǔ)上，通過引入馬氏距離改造了平差準則，以“使觀測值到加權(quán)平均值的馬氏距離平方和最小”為平差準則，并在計算加權(quán)平均坐標時對粗差觀測值進行剔除，構(gòu)建了抗差馬氏光束法(RMBA)平差模型。通過MATLAB仿真試驗對比了TBA、文獻[22]方法、SA軟件和RMBA 4種模型的解算精度，結(jié)果表明RMBA解算結(jié)果的精度優(yōu)于TBA、文獻[22]方法和SA軟件的解算精度，而且RMBA模型具有抗差性。利用Leica AT402激光跟蹤儀在上海光源實驗大廳100 m范圍內(nèi)的4個測站觀測數(shù)據(jù)進行實測數(shù)據(jù)試驗，分別用TBA、文獻[22]方法和RMBA處理了數(shù)據(jù)，并與SA軟件的平差結(jié)果進行了對比，結(jié)果表明RMBA的解算結(jié)果與SA軟件的平差結(jié)果在同一精度量級。

不足之處是，仿真數(shù)據(jù)試驗的網(wǎng)形結(jié)構(gòu)較為單一，實測試驗的測站數(shù)及控制點數(shù)還不夠多。 下一步可開展更為豐富的仿真數(shù)據(jù)試驗和實測試驗，驗證RMBA模型在處理不同網(wǎng)形結(jié)構(gòu)、不同測量精度的數(shù)據(jù)時的性能。