基于管狀導(dǎo)體模型鋼軌內(nèi)阻抗計(jì)算

(蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070)

鋼軌作為牽引回流和軌道電路信號(hào)電流的通道，其阻抗直接影響著軌道電路的傳輸性能[1]。當(dāng)鋼軌中有交流電流時(shí)，由于集膚效應(yīng)的存在，電流主要集中分布在鋼軌表面，導(dǎo)致鋼軌橫截面電流密度分布不均勻，從而致使鋼軌電阻增加和內(nèi)電感降低。鋼軌內(nèi)阻抗是鋼軌阻抗計(jì)算中的重要參數(shù)，準(zhǔn)確計(jì)算鋼軌內(nèi)阻抗對(duì)于牽引供電系統(tǒng)中鋼軌阻抗建模具有重要意義。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算進(jìn)行了大量研究。DWIGHT等[2]研究了無(wú)限寬平面導(dǎo)體和管狀圓柱形導(dǎo)體的集膚效應(yīng)，為研究鋼軌內(nèi)阻抗提供了理論依據(jù)。吳命利等[3]采用含Bessel 函數(shù)的內(nèi)阻抗公式直接計(jì)算了管狀導(dǎo)體和實(shí)心圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)阻抗，但未曾考慮大參數(shù)下內(nèi)阻抗計(jì)算問(wèn)題。ARNOLD 等[4-6]提出不同條件下各種內(nèi)阻抗計(jì)算的近似公式，并研究了正方形截面、矩形截面、空心圓截面等不同橫截面導(dǎo)體的內(nèi)阻抗，避免了直接計(jì)算Bessel 函數(shù)，但計(jì)算結(jié)果誤差較大。DOMMEL等[7-8]通過(guò)對(duì)Bessel函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式近似和漸近展開計(jì)算了圓導(dǎo)線的內(nèi)阻抗。BROWN 等[9]將鋼軌等效為圓柱形導(dǎo)體，利用修正Bessel函數(shù)計(jì)算了較低頻率下(60 Hz以下)鋼軌內(nèi)阻抗，計(jì)算結(jié)果精度較高，但僅適用于低頻情況，高頻時(shí)直接計(jì)算修正Bessel函數(shù)將出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定、難以收斂的問(wèn)題。彭濤等[10]將鋼軌等效為管狀導(dǎo)體，通過(guò)簡(jiǎn)化Bessel函數(shù)表示的內(nèi)阻抗公式，近似計(jì)算了高頻時(shí)鋼軌內(nèi)阻抗；HILL 等[11]基于電磁場(chǎng)有限元法研究了鋼軌內(nèi)阻抗隨電流、頻率的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)有限元結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差較小，表明有限元法可用于鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算，計(jì)算精度高，但所需計(jì)算資源較大。AMOS 等[12-13]通過(guò)編程計(jì)算了Bessel 函數(shù)及其修正形式，但在大參數(shù)下計(jì)算時(shí)，由于出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定而無(wú)法應(yīng)用到導(dǎo)體單位內(nèi)阻抗求解中。朱峰等[14]利用鋼軌橫截面面積相等的原則，計(jì)算了等效半徑，將鋼軌等效為實(shí)心圓導(dǎo)體，推導(dǎo)出內(nèi)阻抗的計(jì)算公式，并利用余弦函數(shù)和多項(xiàng)式近似計(jì)算Bessel函數(shù)，得到大參數(shù)下內(nèi)阻抗計(jì)算公式，但計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比誤差較大；VUJEVI? 等[15]對(duì)修正Bessel 函數(shù)進(jìn)行縮放，得到了實(shí)心和管狀圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)阻抗，計(jì)算精度高且避免了數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，但對(duì)于鋼軌這種不規(guī)則截面導(dǎo)體未提及。本文作者根據(jù)鋼軌橫截面面積及周長(zhǎng)，計(jì)算得到鋼軌等效半徑，將鋼軌等效為管狀導(dǎo)體模型，在此基礎(chǔ)上，利用修正Bessel函數(shù)表示出管狀導(dǎo)體的內(nèi)阻抗計(jì)算公式。針對(duì)大參數(shù)下計(jì)算修正Bessel函數(shù)時(shí)出現(xiàn)的數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定及收斂困難問(wèn)題，利用縮放比例因子，對(duì)修正Bessel函數(shù)進(jìn)行縮放，并采用數(shù)值積分法對(duì)縮放后的修正Bessel函數(shù)求解，計(jì)算得到鋼軌內(nèi)阻抗公式。最后，利用該公式分析鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流頻率、幅值的變化規(guī)律。同時(shí)，基于有限元法對(duì)P60型鋼軌模型進(jìn)行仿真計(jì)算，將仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，以期為牽引供電系統(tǒng)建模時(shí)鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算提供參考。

1 鋼軌內(nèi)阻抗計(jì)算公式

1.1 鋼軌等效模型

鋼軌橫截面與圓導(dǎo)線不同，呈現(xiàn)為“工”字形的不規(guī)則形狀，考慮集膚效應(yīng)時(shí)無(wú)法直接計(jì)算其內(nèi)阻抗，需將鋼軌等效為管狀圓柱形導(dǎo)體。當(dāng)鋼軌中存在直流電流時(shí)，將不會(huì)出現(xiàn)集膚效應(yīng)，電流均勻分布在鋼軌橫截面，故根據(jù)鋼軌橫截面面積相等的原則計(jì)算得到等效半徑ra；當(dāng)鋼軌中存在交流電流時(shí)，由于集膚效應(yīng)的存在，鋼軌橫截面中電流分布不均勻，主要集中分布在鋼軌表面，故根據(jù)鋼軌橫截面周長(zhǎng)相等的原則計(jì)算得到等效半徑，即管狀導(dǎo)體外半徑re。按照鋼軌橫截面與等效管狀導(dǎo)體橫截面相等原則，計(jì)算管狀導(dǎo)體半徑：

式中：s為鋼軌橫截面積；l為鋼軌截面周長(zhǎng)；ri和re分別為等效管狀導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑。

鋼軌等效管狀圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑示意圖如圖1所示。

圖1 鋼軌等效管狀導(dǎo)體Fig.1 Rail equivalent tubular conductor

選取鋼軌長(zhǎng)度為1 m，電導(dǎo)率σ=6×106S m，計(jì)算不同型號(hào)鋼軌的基本參數(shù)，如表1所示。

表1 不同型號(hào)鋼軌的基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of different types of rails

1.2 直流內(nèi)阻抗計(jì)算公式

導(dǎo)體的直流內(nèi)阻抗包括導(dǎo)體本身的直流電阻與直流電感，直流電阻由導(dǎo)體的物理性質(zhì)決定，僅與導(dǎo)體的電導(dǎo)率、橫截面積有關(guān)。根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，將鋼軌等效為管狀導(dǎo)體模型，則單位長(zhǎng)度管狀導(dǎo)體的直流電阻Rdc為

式中：σ為導(dǎo)體電導(dǎo)率。

在電磁學(xué)中，當(dāng)圓柱形導(dǎo)體流過(guò)直流電流時(shí)，導(dǎo)線的內(nèi)部和外部都有磁場(chǎng)存在，將產(chǎn)生內(nèi)磁通和外磁通，由此產(chǎn)生的電感有內(nèi)電感和外電感，外電感與導(dǎo)體尺寸及所處環(huán)境有關(guān)，內(nèi)電感與電流頻率有關(guān)。本文僅研究導(dǎo)體的內(nèi)電感，根據(jù)內(nèi)磁通、電流及內(nèi)電感的關(guān)系，計(jì)算直流電流下單位長(zhǎng)度圓柱形導(dǎo)體內(nèi)電感。首先，根據(jù)文獻(xiàn)[16]定義導(dǎo)體內(nèi)電感Ldc為

式中：ψ為圓柱形導(dǎo)體內(nèi)部總磁鏈；I為通過(guò)圓柱形導(dǎo)體橫截面的總電流。

而對(duì)于圓柱形導(dǎo)體，根據(jù)安培環(huán)路定律及磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算其內(nèi)部總磁鏈ψ[17]：

式中：μ=μrμ0，為導(dǎo)體磁導(dǎo)率；μr為導(dǎo)體相對(duì)磁導(dǎo)率；μ0=4π×10-7H/m，為真空磁導(dǎo)率。

根據(jù)式(3)和式(4)，得到直流電流下單位長(zhǎng)度圓柱形導(dǎo)體內(nèi)電感為

1.3 交流內(nèi)阻抗計(jì)算公式

考慮集膚效應(yīng)而忽略鄰近效應(yīng)計(jì)算圓導(dǎo)線的內(nèi)阻抗時(shí)，涉及Bessel 函數(shù)及其修正形式[3]。由于鋼軌橫截面不規(guī)則，因此，將鋼軌等效為管狀圓柱形導(dǎo)體，其內(nèi)阻抗計(jì)算公式可以用Bessel 函數(shù)、修正Bessel函數(shù)表示，而修正Bessel函數(shù)所表示的內(nèi)阻抗公式與Bessel 函數(shù)所表示的內(nèi)阻抗公式相比，其數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性更好且計(jì)算精度較高。對(duì)于管狀圓柱形導(dǎo)體，內(nèi)阻抗為導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度與流過(guò)導(dǎo)體橫截面總電流之比，利用修正Bessel函數(shù)，導(dǎo)體內(nèi)阻抗-Z可表示為

式中：ω=2πf，為角頻率(f為頻率)；j 為虛數(shù)單位；α為衰減常數(shù)。

文獻(xiàn)[18]中給出了集膚電阻比與集膚內(nèi)電感比的定義，利用式(2)～(6)，計(jì)算管狀圓柱形導(dǎo)體的集膚電阻比與內(nèi)電感比：

式中：Rac為交流電流下單位長(zhǎng)度導(dǎo)體電阻；Re()表示內(nèi)阻抗的實(shí)部；Lac為交流電流下單位長(zhǎng)度導(dǎo)體內(nèi)電感；Im()表示內(nèi)阻抗的虛部。

以P60 型鋼軌為例，根據(jù)式(8)和式(9)計(jì)算集膚電阻比與內(nèi)電感比隨參數(shù)αr(r為管狀導(dǎo)體內(nèi)外半徑之差)的變化，其中，參數(shù)αr作為修正Bessel 函數(shù)中的變量，其取值直接影響內(nèi)阻抗公式數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，而鋼軌的高磁導(dǎo)率、高頻率、高電導(dǎo)率及大物理尺寸都會(huì)使αr變大，因此，引入該參數(shù)描述大參數(shù)情況，集膚電阻比與內(nèi)電感比計(jì)算結(jié)果分別如圖2(a)和圖2(b)所示。

從圖2可以看出：當(dāng)參數(shù)αr超過(guò)48 后，計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)震蕩，導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定，計(jì)算結(jié)果不可靠，甚至無(wú)法得出計(jì)算結(jié)果。

其原因如下：1)在第1 類和第2 類修正Bessel函數(shù)所表示的內(nèi)阻抗公式中，由于第2類Bessel函數(shù)值的數(shù)量級(jí)比第1類Bessel函數(shù)值小e2·--γ·r，而內(nèi)阻抗公式中包含分?jǐn)?shù)及各種運(yùn)算，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定；2)大參數(shù)會(huì)導(dǎo)致利用軟件直接計(jì)算Bessel函數(shù)時(shí)出現(xiàn)收斂困難，使計(jì)算結(jié)果超出計(jì)算機(jī)的技術(shù)限制。由參數(shù)αr可知，高頻率、高磁導(dǎo)率以及大物理尺寸等因素都將導(dǎo)致出現(xiàn)大參數(shù)問(wèn)題，而對(duì)于鋼軌這種鐵磁材料，電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率均較大。同時(shí)，鋼軌作為信號(hào)電流和牽引電流回流的共同通道，信號(hào)電流頻率范圍為1 700～2 600 Hz，牽引電流頻率為工頻50 Hz，鋼軌中電流頻率分布范圍寬。以上原因?qū)?dǎo)致計(jì)算鋼軌內(nèi)阻抗時(shí)出現(xiàn)大參數(shù)問(wèn)題。

基于原因1)所導(dǎo)致的計(jì)算內(nèi)阻抗時(shí)出現(xiàn)的數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定問(wèn)題，利用縮放比例因子對(duì)第1類和第2類修正Bessel函數(shù)進(jìn)行縮放，縮放關(guān)系為：

式中：n=0,1，表示Bessel函數(shù)的階數(shù)；x為i和e，分別表示管狀導(dǎo)體的內(nèi)半徑與外半徑。

由式(10)和式(11)可知：第1類修正Bessel函數(shù)縮小了，而第2 類修正Bessel 函數(shù)放大了，使第1 類和第2 類修正Bessel 函數(shù)數(shù)值的數(shù)量級(jí)接近，因此，計(jì)算內(nèi)阻抗時(shí)避免了數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定問(wèn)題。根據(jù)式(6)、式(10)及式(11)，縮放后內(nèi)阻抗計(jì)算公式為

從圖3可以看出：縮放內(nèi)阻抗計(jì)算公式后，集膚電阻比與內(nèi)電感比在計(jì)算時(shí)穩(wěn)定，消除了數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定問(wèn)題。

圖2 集膚電阻比和內(nèi)電感比與參數(shù)αr的關(guān)系Fig.2 Relationship between skin resistance ratio and internal inductance ratio with parameter αr

圖3 縮放后集膚電阻比和內(nèi)電感比與參數(shù)αr的關(guān)系Fig.3 Relationship between skin resistance ratio and internal inductance ratio with parameter αr after scaling

2 計(jì)算修正Bessel函數(shù)

計(jì)算修正Bessel函數(shù)時(shí)，一般采用無(wú)窮級(jí)數(shù)和的方法，但當(dāng)大參數(shù)出現(xiàn)時(shí)，將使級(jí)數(shù)項(xiàng)增多，出現(xiàn)級(jí)數(shù)收斂困難，無(wú)法直接使用軟件計(jì)算。因此，采用數(shù)值積分法計(jì)算修正Bessel函數(shù)。

2.1 第1類修正Bessel函數(shù)計(jì)算

第1類零階修正Bessel函數(shù)，采用數(shù)值積分法可將其表示為

式中：θ為積分變量，取值為[0，π/2]。

根據(jù)縮放關(guān)系及歐拉公式簡(jiǎn)化式(13)并分離等式的實(shí)部與虛部，則縮放后第1類零階修正Bessel函數(shù)可表示為

式中：a和b為關(guān)于大參數(shù)及積分變量的中間變量，其表達(dá)式為

第1類一階修正Bessel函數(shù)，采用數(shù)值積分法可將其表示為

根據(jù)縮放關(guān)系及歐拉公式簡(jiǎn)化式(16)并分離等式的實(shí)部與虛部，則縮放后第1類一階修正Bessel函數(shù)可表示為

2.2 第2類修正Bessel函數(shù)計(jì)算

第2類零階修正Bessel函數(shù)，采用數(shù)值積分法可將其表示為

式中：t為積分變量，取值為[0，tm0]；tm0為將無(wú)窮積分區(qū)間截?cái)嗪筠D(zhuǎn)換為有限積分區(qū)間的上限，

根據(jù)縮放關(guān)系及式(18)，采用截?cái)喾ㄇ笕》e分上限，并分離等式的實(shí)部與虛部，則縮放后第2類零階修正Bessel函數(shù)可表示為

式中：d為關(guān)于大參數(shù)及積分變量的中間變量，其表達(dá)式為

第2類一階修正Bessel函數(shù)，采用數(shù)值積分法可將其表示為

式中：tm1為將無(wú)窮積分區(qū)間截?cái)嗪筠D(zhuǎn)換為有限積分區(qū)間的上限。

基于式(13)～(23)，采用數(shù)值積分法分別計(jì)算出第1 類零階、一階修正Bessel 函數(shù)及第2 類零階、一階修正Bessel函數(shù)，避免了以往采用無(wú)窮級(jí)數(shù)和法求解大參數(shù)下修正Bessel函數(shù)時(shí)出現(xiàn)收斂困難的問(wèn)題。

3 有限元仿真

以60 kg/m 的P60 型鋼軌為例，按照鋼軌的實(shí)際形狀繪制鋼軌模型，并根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置鋼軌材料參數(shù)。在仿真中鋼軌電導(dǎo)率σ=6×106S/m，相對(duì)磁導(dǎo)率假定為μr=100，且鋼軌周圍為空氣?？紤]到交流電流流經(jīng)鋼軌時(shí)出現(xiàn)集膚效應(yīng)(集膚效應(yīng)實(shí)際為渦流效應(yīng))，使用渦流求解器進(jìn)行求解，將激勵(lì)設(shè)為正弦工頻電流。仿真中對(duì)鋼軌進(jìn)行網(wǎng)格剖分時(shí)，由于鋼軌橫截面呈“工”字型，形狀不規(guī)則，而對(duì)有限元中二維區(qū)域剖分時(shí)，通常采用三角形單元和矩形單元，矩形單元適合離散矩形區(qū)域，三角形單元可用于離散不規(guī)則區(qū)域，因此，選擇三角形單元?jiǎng)澐咒撥壎S模型?？紤]集膚效應(yīng)的影響，仿真時(shí)電流頻率范圍為0～104Hz，當(dāng)頻率達(dá)到104Hz時(shí)，鋼軌最小集膚深度為0.2 mm，因此，鋼軌表面網(wǎng)格劃分時(shí)單元邊長(zhǎng)小于0.2 mm。網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖4所示，鋼軌表面由于集膚效應(yīng)的存在，網(wǎng)格剖分更密。最后，進(jìn)行仿真計(jì)算，得到鋼軌橫截面的電流密度分布圖，如圖5所示。由圖5可見(jiàn)，電流主要集中分布在鋼軌表面。

通過(guò)計(jì)算渦流場(chǎng)中的電場(chǎng)損耗(歐姆損耗)和磁場(chǎng)儲(chǔ)能(平均能量)，分別得到鋼軌電阻和內(nèi)電感。根據(jù)表1中P60型鋼軌基本參數(shù)及仿真中所設(shè)置的材料參數(shù)，利用數(shù)值積分法即式(13)～(22)，編程計(jì)算修正Bessel函數(shù)，并利用縮放后內(nèi)阻抗計(jì)算公式得到鋼軌等效為管狀導(dǎo)體后的電阻及內(nèi)電感，將計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果比較，二者相對(duì)誤差δ為

圖4 鋼軌有限元網(wǎng)格劃分Fig.4 Finite element meshing of rail

圖5 鋼軌電流密度分布Fig.5 Current density distribution of rail

式中：y為計(jì)算結(jié)果；y0為有限元仿真結(jié)果。

根據(jù)式(12)計(jì)算得到單位長(zhǎng)度鋼軌電阻、內(nèi)電感與頻率的變化關(guān)系，計(jì)算結(jié)果分別如圖6～8所示。

從圖6可以看出：P60 型鋼軌電阻隨電流頻率的增大而增大，在頻率較低時(shí)，電阻變化趨勢(shì)顯著，隨著頻率的增大，電阻變化趨勢(shì)逐漸變緩。

從圖7可以看出：P60 型鋼軌電感隨電流頻率的增大而減小，且計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果相比較，誤差較大。其主要原因是鋼軌處于無(wú)限開域中，而在仿真計(jì)算時(shí)，采用一定大小的求解域代替無(wú)限開域，且鋼軌周圍被空氣所包圍，因此，仿真計(jì)算的電感包括模型的外電感與內(nèi)電感，外電感與鋼軌周圍環(huán)境有關(guān)，而采用內(nèi)阻抗計(jì)算公式計(jì)算電感時(shí)，僅計(jì)算了鋼軌內(nèi)電感。由于集膚效應(yīng)，隨著電流頻率增加，鋼軌內(nèi)部電流趨向于鋼軌表面分布，根據(jù)文獻(xiàn)[19]可知，當(dāng)電流頻率達(dá)到1 MHz時(shí)，電流基本集中分布在鋼軌表面，此時(shí)可認(rèn)為鋼軌內(nèi)部無(wú)電流分布，即單位長(zhǎng)度鋼軌內(nèi)電感為0 μH/m，從而得到鋼軌外電感，將有限元計(jì)算得到的電感數(shù)據(jù)減去外電感即為鋼軌內(nèi)電感。鋼軌內(nèi)電感隨頻率變化的關(guān)系如圖8所示，由圖8可見(jiàn)，鋼軌內(nèi)電感變化趨勢(shì)與鋼軌電感隨頻率變化趨勢(shì)相一致。根據(jù)式(24)得到鋼軌電阻和內(nèi)電感的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果之間的相對(duì)誤差，如圖9所示。

圖6 P60鋼軌電阻與頻率的關(guān)系Fig.6 Relationship between P60 rail resistance and frequency

圖7 P60鋼軌電感與頻率的關(guān)系Fig.7 Relationship between P60 rail inductance and frequency

圖8 P60鋼軌內(nèi)電感與頻率的關(guān)系Fig.8 Relationship between P60 rail internal inductance and frequency

圖9 頻率變化時(shí)鋼軌電阻和內(nèi)電感計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的相對(duì)誤差Fig.9 Relative error between the calculated results and the simulated results of rail resistance and internal inductance with frequency variation

從圖9可以看出：當(dāng)頻率在0～104Hz 范圍內(nèi)時(shí)，鋼軌電阻相對(duì)誤差小于4%，而鋼軌內(nèi)電感相對(duì)誤差小于5%，因此，計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果之間相對(duì)誤差均在±5%以內(nèi)。

4 鋼軌內(nèi)阻抗影響分析

4.1 電流頻率影響

電氣化鐵路系統(tǒng)中，軌道電路信號(hào)電流頻率較高，而牽引回流頻率為工頻50 Hz，頻率較低。鋼軌為牽引回流與信號(hào)電流的共同通道，因此，流經(jīng)鋼軌的電流頻率范圍較寬。為研究不同型號(hào)鋼軌電阻、內(nèi)電感隨電流頻率的變化規(guī)律，設(shè)定研究頻率范圍為0～10 kHz。根據(jù)表1中不同型號(hào)鋼軌的基本參數(shù)，采用數(shù)值積分法編程計(jì)算縮放后第1 和第2 類修正Bessel 函數(shù)，將其代入縮放后內(nèi)阻抗計(jì)算式(12)，計(jì)算結(jié)果分別如圖10和圖11所示。由圖10～11可見(jiàn)，單位長(zhǎng)度鋼軌電阻、內(nèi)電感與電流頻率呈非線性關(guān)系。

圖10 不同型號(hào)鋼軌電阻與頻率的關(guān)系Fig.10 Relationship between rail resistance and frequency of different types of rails

圖11 不同型號(hào)鋼軌內(nèi)電感與頻率的關(guān)系Fig.11 Relationship between rail internal inductance and frequency of different types of rails

從圖10可以看出：鋼軌電阻隨電流頻率的增加而增大；在頻率較低時(shí)，電阻增大趨勢(shì)比較明顯，而隨著頻率逐漸增加，電阻增大趨勢(shì)變緩。針對(duì)不同型號(hào)鋼軌可以看出，在同一頻率下，鋼軌橫截面越小，鋼軌電阻越大。

從圖11可以看出：鋼軌內(nèi)電感隨電流頻率的增加而減小。在頻率較低時(shí)，內(nèi)電感減小趨勢(shì)比較明顯；隨著頻率的增加，內(nèi)電感變化越來(lái)越小，逐漸趨于零；在同一頻率下，鋼軌橫截面越小，內(nèi)電感越大，但差值較小，因此，鋼軌型號(hào)對(duì)鋼軌內(nèi)電感影響較小。

4.2 電流幅值的影響

鋼軌是鐵磁性材料，不同電流幅值會(huì)導(dǎo)致鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率發(fā)生變化，且出現(xiàn)磁飽和現(xiàn)象，因此，不同電流幅值下鋼軌內(nèi)阻抗也將發(fā)生變化。而對(duì)于電氣化鐵路系統(tǒng)，鋼軌中存在軌道電路信號(hào)電流與牽引電流回流，信號(hào)電流較小，幅值一般為毫安級(jí)，而牽引電流回流幅值較大，一般為幾百安培。因此，研究電流幅值對(duì)鋼軌內(nèi)阻抗影響時(shí)，主要考慮工頻50 Hz 牽引電流回流的影響。對(duì)于牽引供電系統(tǒng)，當(dāng)列車在不同工況下運(yùn)行時(shí)，鋼軌中牽引電流回流大小不一，如長(zhǎng)編組的高速動(dòng)車組滿負(fù)荷運(yùn)行時(shí)，流經(jīng)鋼軌的電流可高達(dá)800 A；而當(dāng)高速動(dòng)車組在站內(nèi)?？繒r(shí)，流經(jīng)鋼軌的電流幅值小于30 A。為研究電流幅值對(duì)鋼軌內(nèi)阻抗的影響，以P60型鋼軌為例，設(shè)定電流幅值范圍為100～1 000 A，頻率為50 Hz。通過(guò)安培環(huán)路定理，計(jì)算不同電流幅值所產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)文獻(xiàn)[20]中P60型鋼軌的μr-H曲線(μr為相對(duì)磁導(dǎo)率，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度)，得到與電流幅值對(duì)應(yīng)的鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率，結(jié)果如表2所示。

表2 工頻情況下不同電流幅值對(duì)應(yīng)的鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率Table 2 Relative permeability of rail corresponding to different current amplitudes at power frequency

在工頻情況下，將表2中相對(duì)磁導(dǎo)率數(shù)據(jù)代入式(12)，計(jì)算得到鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流幅值變化的規(guī)律，分別如圖12～13 所示。根據(jù)式(24)計(jì)算電流幅值變化時(shí)鋼軌電阻與內(nèi)電感計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果之間的相對(duì)誤差，結(jié)果如圖14所示。

圖12 P60鋼軌電阻與電流幅值關(guān)系Fig.12 Relationship between P60 rail resistance and current amplitude

圖13 P60鋼軌內(nèi)電感與電流幅值關(guān)系Fig.13 Relationship between P60 rail internal inductance and current amplitude

從圖12和圖13可以看出：鋼軌電阻、內(nèi)電感與電流幅值呈非線性關(guān)系，且鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流幅值變化趨勢(shì)一致，均隨電流幅值的增大而增大；當(dāng)增大到最大值后，開始緩慢減小。這主要是由于鋼軌是鐵磁材料，存在磁飽和效應(yīng)，即當(dāng)電流幅值增大時(shí)，鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率增大，但當(dāng)電流幅值超過(guò)某一定值(如表2中電流超過(guò)600 A)時(shí)，相對(duì)磁導(dǎo)率開始減小，從而導(dǎo)致鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流幅值的增大呈現(xiàn)出先增大而后緩慢減小的現(xiàn)象。從圖14可以看出：當(dāng)電流幅值在100～1 000 A 變化時(shí)，鋼軌電阻和內(nèi)電感計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果之間的相對(duì)誤差均在±5%以內(nèi)。

圖14 電流變化時(shí)鋼軌電阻和內(nèi)電感計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的相對(duì)誤差Fig.14 Relative error between calculated results and simulated results of rail resistance and internal inductance with current variation

5 結(jié)論

1)基于鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型，采用縮放比例因子縮放內(nèi)阻抗計(jì)算公式，通過(guò)數(shù)值積分法進(jìn)行計(jì)算，避免了大參數(shù)下數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定及收斂困難問(wèn)題，將鋼軌電阻和內(nèi)電感的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)二者的相對(duì)誤差在±5%以內(nèi)。

2)利用縮放修正Bessel 函數(shù)表示的內(nèi)阻抗公式，計(jì)算得到的鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流頻率的變化曲線，表明該公式正確地反映了鋼軌電阻隨頻率增大而增大且內(nèi)電感隨頻率增大而減小的變化規(guī)律。

3)不同型號(hào)鋼軌在同一頻率下，鋼軌電阻差異較大，且鋼軌橫截面積越小，電阻越大；不同型號(hào)鋼軌內(nèi)電感差異較小，鋼軌橫截面積對(duì)內(nèi)電感影響較小。

4)繪制了鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流幅值變化的曲線，由于鋼軌是鐵磁材料，鋼軌電阻與內(nèi)電感隨電流幅值的增大呈現(xiàn)先增大而后緩慢減小的變化趨勢(shì)。

5)提出了準(zhǔn)確計(jì)算鋼軌內(nèi)阻抗的公式，可為牽引網(wǎng)建模時(shí)鋼軌內(nèi)阻抗計(jì)算提供參考。